2022年广东省梅州市叶塘中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年广东省梅州市叶塘中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在上存在，使，则实数的取值范围（

）A．

B．C．

D．参考答案：D2.已知，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要ex-ax2=0有两个正根，即=-a有两个正根，设g（x）=，x＞0，求导g′（x）=,令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递减，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递增，∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=﹣，要使=-a有两个正根，即使g（x）与y=-a有两个交点，故实数a的范围是.故答案为：B.

3.已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，若有且仅有3个零点，则等价为有且仅有3个根，即与有三个不同的交点，作出函数和的图象如图，当a=1时，与有无数多个交点，当直线经过点时，即，时，与有两个交点，当直线经过点时，即时，与有三个交点，要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，即，故选：A．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.4.在中，“”是“”的（

）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：C5.已知a＞0，b＞0，则“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据指数函数以及对数函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴log2a＞log2b?a＞b?，故选：C．6.若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为

（）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：7.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣5参考答案：D【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，又||=5，||=7，则=||?||cos（π﹣B）=﹣||?||cosB=﹣5×7×=﹣5．故选D【点评】此题考查了余弦定理，以及平面向量数量积的运算．注意与的夹角是π﹣B，而不是B，学生做题时容易出错．8.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则?U（A∩B）=（） A．{4} B． {3，5} C． {1，2，4} D． ?参考答案：C略9.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：B10.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（

）A．甲应付钱 B．乙应付钱C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少参考答案：B由分层抽样知识可知，，则甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.故选：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设正数a，b，c满足++≤，则=

．参考答案：考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质“取等号的条件”即可得出．解答： 解：∵a，b，c为正数，∴（a+b+c）=14+++++=36．当且仅当a：b：c=1：2：3．∵++≤，∴++=，∴==．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．12.若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于.参考答案：因为半圆的周长为，所以圆锥的母线为1。设圆锥的底面半径为，则，所以。圆锥的高为，所以圆锥的轴截面面积为。13.已知满足,则的最大值为

参考答案：答案:314.四棱锥的所有侧棱长都为，底面是边长2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值

.参考答案：略15.函数的零点个数是

▲

．参考答案：3当时，由得，设，作出函数的图象，由图象可知，此时有两个交点。当时，由，解得。所以函数的零点个数为3个。16.在下列结论中：①函数为奇函数；②函数的图象关于点对称；③函数的图象的一条对称轴为；④若，则.其中正确结论的序号为

（把所有正确结论的序号都填上）．参考答案：①③17.若数列{an}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{an}为“差非增数列”．给出下列数列{an}，n∈N*：①an=2n++1，②an=n2+1，③an=2n+1，④an=ln，⑤an=2n+．其中是“差非增数列”的有（写出所有满足条件的数列的序号）．参考答案：③④【考点】数列递推式．【分析】把恒成立化为an+an+2≤2an+1恒成立，然后逐一验证5个数列得答案．【解答】解：①若an=2n++1为“差非增数列”，则恒成立，即恒成立，此式显然不正确，①不是“差非增数列”；②若an=n2+1为“差非增数列”，则n2+1+（n+2）2+1≤2（n+1）2+2，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”；③若an=2n+1为“差非增数列”，则2n+1+2（n+2）+1≤2[2（n+1）+1]，即0≤0恒成立，此式显然正确，③是“差非增数列”；④若an=ln为“差非增数列”，则ln+ln≤2ln，即恒成立，也就是2n+3≥0恒成立，此式显然正确，④是“差非增数列”；⑤若an=2n+为“差非增数列”，则，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”．故答案为：③④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：函数的定义域为，．…………………1分（Ⅰ）当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………………………4分（Ⅱ）函数的定义域为．

（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………5分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；………………6分由，即，得．………7分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

……8分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．…………………9分（Ⅲ））因为存在一个使得，则，等价于.………………10分令，等价于“当时，”.

对求导，得.

……………11分因为当时，，所以在上单调递增.……………13分所以，因此.

…………14分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当时，.

………10分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，不满足题意.

…………………11分（2）当时，令得.（ⅰ）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，，所以.

………ks5u…12分（ⅱ）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.………ks5u…………13分（ⅲ）当，即时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为.

………14分【解析】略19.函数f（x）=|x﹣a|，a＜0（Ⅰ）若a=﹣2求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若a=﹣2，分类讨论，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；（Ⅱ）求出函数f（x）的值域为[﹣，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=|x+2|，f（x）+f（2x）=|x+2|+|2x+2|＞2，不等式可化为或或解得x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）；（Ⅱ）f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x≥时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则x≥﹣，所以函数f（x）的值域为[﹣，+∞），因为不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为，解得a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围为（﹣1，0）．【点评】本题考查不等式的解法，考查函数的值域，考查学生转化问题的能力，属于中档题．20.如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；（2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）过点B1作B1N⊥AB．说明△BNB1为等腰直角三角形，证明AB1⊥BB1．AA1⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB1A1，得到BC⊥AB1，然后证明AB1⊥平面BCC1B1．（2）建立空间直角坐标系A﹣xyz．如图，求出平面ABD的一个法向量．平面BCC1B1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：如图，过点B1作B1N⊥AB．∵∠B1BN=45°，故△BNB1为等腰直角三角形，∴B1N=BN=1，∴，∴，∴AB1⊥BB1．又∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC．又AB⊥BC，且AB∩AA1=A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，又∵BC∩BB1=B，∴AB1⊥平面BCC1B1．（2）解：如图，建立空间直角坐标系A﹣xyz．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），B1（1，0，1），C1（1，2，1），∴，∴，．由（1）知，平面BCC1B1的一个法向量为．设平面ABD的一个法向量为，则即令y=1，则∴，．故二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．21.设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=log2（an+1），求数列{bn?an}的前n项和为Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过对an+1=2an+1变形可得（an+1+1）=2（an+1），进而可得{an+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；（2）通过，可得bn?an=n?2n﹣n，记A=1×21+2×22+…+n?2n，利用错位相减法计算A﹣2A的值，进而计算可得结论．【解答】解：（1）∵an+1=2an+1，∴（an+1+1）=2（an+1）∵a1+1=2≠0，∴an+1≠0，∴，∴{an+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，∴，∴；（2）∵，∴