2022年湖南省常德市鸭子港中学高三数学理联考试题含解析

2022年湖南省常德市鸭子港中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），=3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得丨AB丨及中点E，利用点斜式方程，求得G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，则设丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60°∴直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=．则直线l的方程为：y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：3x2﹣10x+3=0，则x1+x2=，x1x2=1，则y1+y2=（x1﹣1）+（x2﹣1）=，=，∴AB中点E（，），则EG的方程的斜率为﹣，则EG的方程：y﹣=﹣（x﹣），当x=0时，则y=，则G（，0），则G到直线l的距离d==，丨AB丨=x1+x2+p=，则S△ABG=×丨AB丨?d=××=，故选C．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题．2.定义在上的函数是它的导函数，且恒有成立，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.设函数则（A）（B）（C）（D）参考答案：A，所以，选A.4.曲线：在点处的切线恰好经过坐标原点，则曲线、直线、轴围成的图形面积为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知幂函数的图像经过点（9，3），则=（

）

A.3

B.

C.

D.1参考答案：C略6.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（

）A.-5

B.1

C.2

D.3参考答案：D略7.函数的定义域是

(

) A．

B．（1，+） C．（-1，1）∪（1，+∞）

D．（-，+）参考答案：C略8.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B． C． D．2参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得；该四棱锥是直四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，梯形的上底长为1，下底长为2，高为2；所以，该四棱锥的体积为V=S底面积?h=×（1+2）×2×2=2．故选：D．9.已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2参考答案：D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量垂直数量积为0列式求得a值．【解答】解：∵=（1，2），=（a，﹣1），∴由⊥，得1×a+2×（﹣1）=0，即a=2．故选：D．10.若动圆的圆心在抛物线上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点

()A.(0,2)

B．(0，－3)

C.

(0,3)

D．(0,6)参考答案：C：直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3).二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=．参考答案：{3，4}【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．参考答案：由题意可得双曲线的方程为，在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，与双曲线第一象限的交点的坐标为，记与轴交于点，因为，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为．13.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________________种。参考答案：【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；

从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法

故填；【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加“某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；14.设，若，则

．参考答案：1略15.已知矩形,沿对角线将它折成三棱椎，若三棱椎外接球的体积为，则该矩形的面积最大值为

.参考答案：16.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是_______________．参考答案：略17.若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，a为实数.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设是函数f(x)的导函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）答案不唯一，见解析（2）【分析】（1）函数求导后，分三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间（2）根据不等式恒成立，分离参数可得，时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.【详解】（1）函数的定义域是..（i）当时，令，得；令，得或，所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增；（ii）当时，对任意恒成立，且不恒为0，所以函数在上单调递增；（iii）当时，令，得；令，得或，所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.（2）等价于，得，得，因为，所以.所以不等式两边同时除以，得，即，得.所以.即对任意恒成立.设，，，则，.所以函数在区间上是增函数，在区间上是增函数.所以，.所以.所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.19.已知p：x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：∈R，＋－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．参考答案：略20.已知等比数列{an}的各项均为正数，，公比为q；等差数列{bn}中，，且{bn}的前n项和为Sn，，.（1）求{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足，求{cn}的前n项和Tn.参考答案：（1），，（2）试题分析：（1）利用等差数列与等比数列的关系式，列出方程，即可求出通项公式；（2）表示出，利用裂项求和，求解即可.r试题解析：(1)设数列的公差为，

，，

(2)由题意得：，

.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.

21.(12分)某中学号召学生在放假期间至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）。现统计了该校100名学生参加活动的情况，他们参加活动的次数统计如图所示。（1）求这些学生参加活动的人均次数；（2）从这些学生中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；（3）从这些学生中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随即变量的分布列和数学期望。

参考答案：解析：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（Ⅰ）该合唱团学生参加活动的人均次数为

3分（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为

6分（Ⅲ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知；；

9分

的分布列为：

10分

的数学期望：．

12分22.(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、。指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．

(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件、、，