分离常数参数法

方法四分离(常数)参数法练高考一、X, _、【2016高考北京文数】函数f(x)=—-(X>2)的最大值为 .X—1【答案】21 一一，，…【解析】f(x)=1+——<1+1=2，即最大值为2.X一1tanBcostanBcosA【2016高考山东理数】在^ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA+tanB)= +cosB(I)证明：a+b=2c；(II)求cosC的最小值.【答案】(I)见解析；(II)1【解析】由题意知2——+—-=——-—+——-—-i^COSCOS-DyCOSj1!COS-DCOSCOS.D化简得2(siuJcos5+sin5cosji)=sinJ+sinB；艮=sin+sinB.因为4+E+C=近所以，siu(/+月)=sin(^—C)=sinC.从而sin^+51115=25111(7.由正弦定理得“+Ad・(n(n)由(i)知c=a+b

~2~所以cosC=2ab(a+b)2a2+b2——z- 所以cosC=2ab2ab当且仅当a=b时，等号成立.故cosC的最小值为1.【2016高考天津理数】已知｛。」是各项均为正数的等差数列，公差为d,对任意的neN*,b〃是九和气门的等差中项.设七=b\—b：neN*，求证：｛cj是等差数列；设。广d,T=tn(-1)nb2,neN*，求证：咒T<-d_.k=1 k=1k【答案】(I)详见解析(II)详见解析【解析】⑴证明：由题意得玲=时蚓有=入虬4因此。阱1_=2京(疗阱卫一。阱1)=翌'，所以｛&｝是等差数列■⑴)证明：孔=(*+A罚+(*+昉)+(7打+盅)=2t/(0j+疗耳 F')=2d——(昭? =2c12fi^fi+1)所以#¥=冰名^讦去(£—雨)=讦(1—不)〈讦.【2016高考江苏卷】已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a。1,b。1).设a=2,b=2.求方程f(x)=2的根；若对任意xeR，不等式f(2x)>mf(x)—6恒成立，求实数m的最大值；若0<a<1,b>1，函数g(x)=f(x)—2有且只有1个零点，求ab的值。【答案】(1)①0②4(2)1【解析】(1)因为a=2,b=-，所以f(x)=2x+2-x.

①方程f(x)=2，即2x+2-x=2，亦即(2x)2—2X2x+1=0,所以(2x-1)2=0，于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)>mf(x)一6对于xgA恒成立，且f(x)>0,(f(x))2+4所以m<—————对于xgA恒成立.f(x)而(而(f(x))"4=f(x)―而 f(x) J f(x)>十(x)•亮=…f^=4,所以m<4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g⑴=f⑴-2只有1个零点，而g(0)=f(0)—2=a0+b0-2=0，所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=axIna+bxInb，又由0<a<1,b>1知Ina<0,lnb>0，lna、所以g'(x)=0有唯一解x=log(-).0bInba令h(x)=g'(x)，则h'(x)=(axIna+bxInb)'=ax(Ina)2+bx(Inb)，从而对任意xGA，h■(x)>0，所以g'(x)=h(x)是(-8,+8)上的单调增函数，于是当xG(-8,x0)，g'(x)<g'(x0)=0；当x已气,+8)时，g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-8,x0)上是单调减函数，在(x0,+8)上是单调增函数.下证x=0.0TOC\o"1-5"\h\zx 「 x若x<0，则x<^0<0，于是g(^0)<g(0)=0，0 02 2x又g(log2)=ay2+bi%2-2>ay2-2=0，且函数g(x)在以^和log2为端点的闭区间上的图象不a 2 axx间断，所以在~2和log2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0<a<1，所以log2<0，又~2<0，所以x1<0与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0〉0，同理可得，在X0和log.2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.因此，X0=0.Ina,于是一 =1，故lna+lnb=0，所以ab=1.Inb5.【2016高考新课标3理数】设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)，其中a〉0，记If(x)l的最大值为A.求f'(x)；求A；证明If'(X)l<2A.Ic… ，12-3a,0<a<—5…、- 、…、 , … a2+6a+11 , 【答案】(I)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx；(II)A=\—— ，了vav1；(m)见解析.8a53a-2,a>1【解析】f'(x)=-2asin2x一(a一1)sinx.当论1时,|f0t)|=gsitL2x+〈由—1Xb§x+1)|<2(^—1)=3/7-2=/(0}TOC\o"1-5"\h\z因此，A=3a-2. 4分当。<白<1日寸，将/'(工)变形为工+(々一1)3$工一1.令= +S—3—1,则/是|或圳在［―L1］上的最大值，或—0=4君①=勿一2』且当『=守时，氛「厕得根小值，概小值为欢乎)=一竺也—1=Sa 8口解得*一：(舍去)，八!.当0va<5时，g(t)在(一1,1)内无极值点，Ig(-1)1=a，lg(1)l=2-3a，Ig(-1)lvlg(1)l，所以A=2-3a.1 1—a当2vav1时，由g(-1)—g(1)=2(1—a)〉0，知g(-1)>g(1)>g(^—).5 4a.J-a (1-a)(1+7a) 1—a、、a2+6a+1又lg( )l-1g(T)l= ——>0，所以A=lg(—)l=—-——.4a 8a 4a 8a

2-3a,0<a<-5TOC\o"1-5"\h\za2+6a+11 .综上， ,<a<1.综上，8a 53a一2,a>1(III)由(1)得If'(x)1=1-2asin2x-(a-1)sinxl<2a+1a-11.当0<a<5时，If'(x)l<1+a<2-4a<2(2-3a)=2A.1 , .a1 3,当一<a<1时，A=—+—+—>1，所以If'(x)l<1+a<2A.5 88a4当a>1时，If'(x)l<3a-1<6a-4=2A，所以If'(x)l<2A.练模拟 - 一./兀兀、 1.【2018届河北省邯郸市高三1月检测】已知关于x的不等式mcosx>2-x—x2【解析】m—x2【解析】m> 最大值，因为当xg数m的取值范围为()A.B,+8)A.B,+8)B.(3,+8)C.[2,+8)D.(2,+8)【答案】C八兀)/0"八兀)/0"时(2)COS2x2—x2 -2xcosx+(2一x2)sinx )'=cosxX 一一 •一 ，令y=xcosx—sinx,y=cosx—xsinxX 一一 •一 ，令y=xcosx—sinx,yTOC\o"1-5"\h\z,2—x2 2—x2 2—x2 2—0因此( )'v0,由因为 为偶函数，所以 最大值为一-=2,m>2,选C.cosx cosx cosx cos0一、 r _八兀2.设函数f(x)=xcosx+x，xgR.若当0<。<时，不等式f(msin9)+f(1—m)>0恒成立，则实数m的取值范围是(cosxZ1 1八A.G-,1] B.G-,1) C.[1,+8) D.(-8,1]【答案】D【解析】易得f(x)是奇函数，fXx)=3x2+1>0nf(x)在r上是增函数，又

f(msin0)>f(m-1)nmsin0>m-1nm< —,0<sin0<1n —nm<1,故选D.1-sin0 1-sin03.若函数f3)=—a-2x与g(x)=4x+a+1的图象有交点，则a的取值范围是( )A.a<2-A.a<2-2.巨或a>2+2^2B.a<-1D.a<2-2^2【答案】D令t=2x+1(t>0)，4x+1【解析】由-a-2x=4x令t=2x+1(t>0)，2x+112—2t+2 2入则-a= =t+—-2>2\：2~2,.•.a<2-2^2，故选D.t t4.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mgR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】(x-1)2+y2=2.【解析】由题意得：半径等于冬竺=j妃牛=,，1+ <代+业^<技，当且仅当m=1时取等号，、：m2+1 m2+1 '；m2+1vm2+1所以半径最大为r=、耳，所求圆为(x-1)2+y2=2.5.【2018届高三训练题】已知正实数x，y满足等式x+y+8=xy，若对任意满足条件的x，y，不等式(x+y)2-a(x+y)+1^0恒成立，则实数a的取值范围是【答案】(一8，亏］8【解析】、正实数x，y满足x+y+8=xy(x+y-8)(x+y+4)>0x+y+4>0.Lx+y—8>0•••x+y>8(当且仅当x=y=4时，取等号)v对任意满足条件的正实数x，y都有不等式

(x+y)2-a(x+y)+1>0・•・a<(x+y)+-^对任意满足条件的正实数x,y恒成立，x+y令t=x+y(t>8)，则f(t)=t+-在(8,+8)上为单调增函数，t1一165・f(t)=t+->8+—=—(当且仅当t=8即x=y=4时，取等号)t8 8.<65..a<—8・实数a的取值范围是(-8,，^8故答案为(-8,658练原创I-x,x<0,1.已知函数f(x)=〈 若关于x的方程f(x)=a(x+1)有三个不相等的实数根，则实数a的取值范x,x〉0.围是( )1 小、A.顷1 小、A.顷+8) B.(0,+8)C.(0,1)1D.(哼分段函数和过定点的直线在如上图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示:

计算切线斜率，假设直线与y=yfx的切点为(x0,y0)计算切线斜率，假设直线与y=yfx的切点为(x0,y0)，对函数求导可得y'=2『，那么可以得到如下三个y=a(x+1)0 0y0讲后两个方程代入到第一个方程中，得到\,：'F=~^(x+1)，即2x0知％一解得X0—1，从而斜率a1 1 _1.—-天，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率ae(0,p2诲0 2 2故选D.2.若曲线C:y=ax2(a>0)与曲线C:y=ex存在公共切线，则a的取值范围为()2「、「、ne20,e2e20,e2A.—,+3B.—C. ,+3D.—L8JV8」4L什 >V41【答案】C【解析】根据题意函数与函数在(0,+3)上有公共点ex令ax2=ex得：a=—，

x2得：x=2，，x2设f(x)=竺则f(x)=工2色，由f'(得：x=2，，x2当0<x<2时，f(x)<0，函数f(x)=竺在区间(0,2)上是减函数，x2当x>2时，f(x)>0，函数f(x)=竺在区间(2,+3)上是增函数，x2.・.当x=2时，函数f(x)=三在g”)上有最小值f(2)专，.•.。号，故选C.3.已知函数f(x)=x-m4X+5当1<x<9时，f(x)>1有解，则实数m的取值范围为(13A.m13A.m<—3【答案】BB.m<5C.m<4D.m<5【解析】令t=5,则1<t<3时，g(t)=12-mt+5>1有解，即m<t+ 4u=t+-在［1,2］是减函数，在［2,3］是增函数，u=t+-e［4,5］，所以只需m 4u=t+-在［1,2］是减函数，在［2,3］是增函数，u=t+-e［4,5］，所以只需m<5，故选B.tt4.方程log1（a—2了）=