2013届全国中考数学3年2模拟之专题突破4 5特殊四边形版

４．５特殊的四边内容清能力要矩形、菱形、正方形的概掌握特殊四边形的概念并能做出判断矩形、菱形、正方形的性质和判能利用特殊四边形的性质及判定定理解决相关问题．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关会解决特殊四边形之间的关系线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义理解并掌握重心的性质运用三角形、四边形或正六边能解决一般四边形及正六边形的相关问题—、选择１．（２０１２·山东临沂）如图，正方形犃犅犆犇的边长为４ｃｍ，动点犘、犙同时从点犃出发，以１ｃｍ／狊的速度分别沿犃→犅→犆和犃→犇→犆的路径向点犆运动，设运动时间为狓（单位：ｓ），四边形犘犅犇犙的面积为狔（单位：ｃｍ２），则狔与狓（狓）之间

菱形的周长为 Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．．（·山东日照）在菱形犃犅犆犇中，犈是犅犆边上的点，连犅函数关系可以用图象表示为

犃犈交犅犇于点犉，若犈犆２犅犈犉 Ａ． Ｂ．

的值是 Ｃ．４

Ｄ．５（第１题２．（２０１２·辽宁大连）菱形犃犅犆犇中，对角线犃 ８，犅 ６，

４．（２０１２·山东烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能（（第４题Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．５．（２０１２·天津）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转９０°，所得图形一定与原图形重合的是（）．Ａ．平行四边 Ｂ．矩Ｃ．菱 Ｄ．正方６．（２０１２·湖北荆门）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图（１）；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图（）；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个的菱形，如图（３）；如此反复操作下去，则第２０１２个图形中直角三角形的个数有（）．（第６题Ａ．８０４８ Ｂ．４０２４Ｃ．２０１２ Ｄ．１０６６７．（２０１２·湖北恩施州）如图，菱形犃犅犆犇和菱形犈犆犌犉的边长分别为２和３，∠ １２０°，则图中阴影部分的面积是 （第７题

，犈、犉、犌、犎分别是犃犅、犅犆、犆犇、犇犃的中点犈犌２犉犎 （第１２题 （第１３题．（·四川宜宾）如图，已知正方形犃犅犆犇的边长为，连犃犆、犅犇，犆犈平分∠犃犆犇交犅犇于点犈，则犇 １４．（２０１２·安徽）如图，犘是矩形犃犅犆犇内的任意一点，连结犘犃、犘犅、犘犆、犘犇，得到△犘犃犅、△犘犅犆、△犘犆犇、△犘犇犃，设它们的面积分别是犛１、犛２、犛３、犛４，给出如下结论：犛１＋犛２犛３＋犛４；②犛２＋犛４犛１＋犛３；③若犛３２犛１犛４２犛２；④若犛１犛２，则点犘在矩形的对角线上Ｃ．

Ｂ． 其中正确的结论的序号 （把所有正确结论的序都填在横线上８．（２０１１·安徽芜湖）如图，从边长为犪＋４）ｃｍ的正方形纸片中剪去一个边长为犪＋１）ｃｍ的正方形犪＞０），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（８

（第１４题 （第１５题（第题．（·广东梅州）如图，连结在一起的两个正方形的边长都（第题Ａ．（２犪２＋５犪）ｃｍ Ｂ．（３犪＋１５）ｃｍ １ｃｍ，一个微型机器人由点犃开始按犃犅犆犇犈犉犆犌犃…的顺序Ｃ．（６犪＋９）ｃｍ Ｄ．（６犪＋１５）ｃｍ．（·广东佛山）依次连结菱形的各边中点，得到的四边是

正方形的边循环移动．①第一次到达点犌时移动 ｃｍ②当微型机器人移动了２０１２ｃｍ时，它停 点．（·江苏扬州）如图，将矩形犃犅犆犇沿犆犈折叠，点犅Ａ．矩

Ｂ．菱形 好落在边犃犇的犉处，如果犃犅犅

２，那么ｔａｎ∠犇犆犉的值３Ｃ．正方 Ｄ．梯．（·福建莆田）下列命题中，真命题是（Ａ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形Ｂ．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形Ｃ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形Ｄ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形１１．（２０１０·甘肃兰州）如图，菱形犃犅犆犇的周长为犇犈⊥犃犅，垂足为犈，ｓｉｎ ３，则下列结论正确的个数５（①犇 ３ｃｍ；②犅 １ｃｍ；③菱形的面积为１５ｃｍ２④犅 ２槡１０ｃｍＡ．１ Ｂ．２Ｃ．３ Ｄ．４

（第１７题１７．（２０１２·山西）如图，已知菱形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅犇分别为６ｃｍ、８ｃｍ，犃犈⊥犅犆于点犈，则犃犈的长是１８．（２０１２·四川攀枝花）如图，正方形犃犅犆犇中，犃犅４是犅犆的中点，点犘是对角线犃犆上一动点，则犘犈＋犘犅的最小值为 二、填空

（第１１题１２．（２０１２·四川凉山州）如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犆 犅犇

（第１９题１９．（２０１２·辽宁铁岭）如图，点犈、犉、犌、犎分别为菱形犃１犅１犆１犇１ ２７．（２０１２·河南）如图，在菱形犃犅犆犇中，犃 ２，∠犇犃 ６０°边的中点，连结犃犉、犅犌、犆１犎、犇犈得四边形犃犅２犆犇２，以类推得四边形犃３犅３犆３犇３…，若菱形犃１犅１犆１犇１的面积为犛，则四边形犃狀犅狀犆狀犇狀的面积为 ２０．（２０１２·黑龙江齐齐哈尔）如图所示，沿犇犈折叠长方形犃犅犆犇的一边，使点犆落在犃犅边上的点犉处，若犃犇 ８，且△犃犉犇的面积为６０，则△犇犈犆的面积 （第２０题

点犈是犃犇边的中点，点犕是犃犅边上一动点（不与点犃重合），延长犕犈交射线犆犇于点犖，连结犕犇、犃犖．（）求证：四边形犃犕犇犖是平行四边形（）填空①当犃犕的值 时，四边形犃犕犇犖是矩形②当犃犕的值 时，四边形犃犕犇犖是菱形獉．（·江苏宿迁）如图，邻边不獉

的矩形花圃犃犅犆犇，它 （第２７题—边犃犇利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是６ｍ．若矩形的面积为４ｍ２，则犃犅的长度是 利用的围墙长度超过６ｍ）．２２．（２０１１·河北）已知菱形犃犅犆犇，其顶点犃、犅在数轴上对应的数分别为４和１，则犅犆 ．（第２２题 （第２３题点，且犇犈犃犅，则菱形犃犅犆犇的面积为ｃｍ２．．（·河北）如图，矩形犃犅犆犇的顶点犃、犅在数轴上，犆

２８．（２０１１·河南）如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犅，犅犆５槡３∠犆３０°．点犇从点犆出发沿犆犃方向以每秒２个单位长的速度向点犃匀速运动，同时点犈从点犃出发沿犃犅方向以每秒１个单位长的速度向点犅匀速运动，当其中一个点达终点时，另一个点也随之停止运动．设点犇、犈运动的时是狋秒狋＞）．过点犇作犇犉⊥犅犆于点犉，连结犇犈、犈犉（）求证：犃犈犇犉（）四边形犃犈犉犇能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由（）当狋为何值时，△犇犈犉为直角三角形？请说明理由（第２８题６，点犃对应的数 １，则点犅所对应的数（第２８题（第２４题 ２５．（２０１０·山东临沂）正方形犃犅犆犇的边长为犪，点犈、犉分别是对角线犅犇上的两点，过点犈、犉分别作犃犇、犃犅的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 三、解答

２９．（２０１０·吉林长春）如图，四边形犃犅犆犇与四边形犇犈犉犌都是矩形，顶点犉在犅犃的延长线上，边犇犌与犃犉交于点犎，犃犇，犇犎，犈犉．求犉犌的长．犈分别在直线犃犇的两侧，且犃 犇犈，∠（）求证：四边形犅犆犈犉是平行四边形

∠犇，犃 犇犆 （第２９题（２）若∠犃犅 ９０°，犃 ４，犅 ３，当犃犉为何值时，四边犅犆犈犉是菱形（第２６题１．特殊平行四边形是历年中考必考内容之一，题型有填空题、选择题，更多以证明题、求值计算题及探索性问题、几何动问题出现．试题强调基础，突出能力，源于教材，变中求新，考查学生的发散思维能力．２０１３年中考除应注意以上几点外，估计还有加大题量的趋势．本节知识与轴对称、旋转及平移和函数等知识结合考查

题目，有一定难度．许多新题、活题、压轴题，将出现于此章节．分值在～１０分左右．本章节矩形、菱形、正方形可互相揉合，亦可单独命题，在解答开放型题时，应分清是属于条件开放，还是属于结论开放，弄懂题意，分析已知条件，执果索因是解题的一大法宝． 名称判性１·有一个角是名称判性１·有一个角是 除具有平行四边形的性质外，还有：１． 都是直角２． 相等３．犛 犪犫表示长和宽）４．既是 ，又 ２的平行四边形（定义·有 是直角的矩形四边形３· 形．二、菱形的性质与判名判性菱１．有 名判性菱１．有 四边形（定义２． 四边形．３． 边形．除具有平行四边形的性质外，还有：１． 都相等２．对角线 ，且每一条对角线 对角．３．犛 对角线长．４．既是 ，又

．矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，对称中心是对线的交点；也是轴对称图形，分别 条对称轴２．矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线 正方形的对角线相等且互相垂直平分．【例１】（２０１２·山东济宁）如图，将矩形犃犅犆犇的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形犈犉犌犎，犈犎１２厘米，犈 １６厘米，则边犃犇的长是 Ａ．１２厘 Ｂ．１６厘Ｃ．２０厘 Ｄ．２８厘【解析】本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形，再根据直角三角形及全等三角形的性质解答我们先求△犈犉犎是直角三角形，再根据勾股定理求出犉犎２０，再利用全等三角形的性质解答即可．【答案】设斜线上两个点分别为犘、犙，如图∵点犘是点犅对折过去的名判性正方１．有 是直角名判性正方１．有 是直角， 四边形（定义２． 的矩形３． 的菱形４．对角线 平行四边形除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有：１．对角线与边的夹角 ２．犛 （犪表示边长 ∠犎犈犃 ∠犎犈犘．同理∠犘犈犉 ∠犅犈犉． 这四个角互补 ∠犘犈犎＋∠犘犈 ９０° 四边形犈犉犌犎是矩形 △犇犎犌≌△犅犉犈，△犎犈犉是直角三角形∴犅犇 犘犉∵犃犎犘∴犃犎犉∵犈１２ｃｍ，犈 １６（ｃｍ 犉 犉犎 故选Ｃ．

槡１２２＋１６ ２０（ｃｍ 即∠犃犗 ∠犆犗 ９０°，进而得出△犃犗犇≌△犆犗犈，即可得槡犈犎２＋犈犉四边形槡犈犎２＋犈犉（２）利用当∠犃犆犅 ９０°时，犗犇∥犅犆，即有△犃犇犗∽△犃犅犆，即可得出犃犆和犇犈的长即可得出四边形犃犇犆犈的面积．【答案】（）证明：由题意可知直线犇犈是线段犃犆的垂直平分线 犃犆⊥犇犈，即∠犃犗犇 ∠犆犗犈 犃犇 犆犇，犃犗 犆犗． 犆犈∥犃犅 ∠犃犇 ∠犈犗犆【例】（２０１２·广东梅州）如图，已知△犃犅犆，按如下骤作图１

△犃犗犇≌△犆犗犈 犗 犗犈①分别以犃、犆为圆心，以大作弧，交于两点犕、犖

２犃犆的长为半径在犃犆两 四边形犃犇犆犈是菱形（２）当∠犃犆 ９０°时②连结犕犖，分别交犃犅、犃犆于点犇、犗③过犆作犆犈∥犃犅交犕犖于点犈，连结犃犈、犆犇（）求证：四边形犃犇犆犈是菱形（２）当∠犃犆 ９０°，犅 ６，△犃犇犆的周长为１８时，求四

犗犇∥犅犆 △犃犇犗∽△犃犅犆 犗 犃 １犅 犃 形犃犇犆犈的面积 犅犆６ 犗犇３ △犃犇犆的周长为１８ 犃犇＋犃犗 犃 ９犃犗 犗 槡犃犇２犃犗２３ 犃犗４【解析】此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的边形面积求法，根据已知得出△犃犇犗∽△犃犅犆，进而求出犃犗

犇犈６，犃 ８ 长是解题关键 ２犃犆·犇 ２×８×６２４（）利用直线犇犈是线段犃犆的垂直平分线，得出犃犆⊥犇犈—、选择１．（２０１２·浙江台州模拟）对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ Ａ．菱 Ｂ．矩Ｃ．正方 Ｄ．等腰梯．（２０１２·湖北枣阳模拟）图，在矩犃犅犆犇中，犈、犉分别是边犃犇、犅犆的点，点犌、犎在犇犆边上，且犌 ３

（第３题 （第４题．（·湖北安陆模拟）如图，在正方形犃犅犆犇中，点犈在犃犅边上，且犃犈∶犈 ２∶１，犃犉⊥犇犈于犌，交犅犆于犉，犇犆．若犃犅 １５，犅犆 １６，则图中阴影部分面积是（ Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

△犃犈犌的面积与四边形犅犈犌犉的面积之比为 Ａ．１∶ Ｂ．４∶（第２题 Ｃ．１∶ Ｄ．２∶．（·浙江杭州模拟）下列图形中，周长不是３２的图形３．（２０１２·山东文登四校模拟）如图，矩形犃犅犆犇中，犇犈⊥犃犆 于犈，且∠犃犇犈∶∠犈犇犆 ３∶２，则∠犅犇犈的度数为（ Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． ６．（２０１１·安徽芜湖模拟）如图，边长为１的正方形犃犅犆犇绕点犃逆时针旋转４５度后得到正方形犃犅′犆′犇′，边犅′犆′与犇犆交于点犗，则四边形犃犅′犗犇的周长是（）．獉Ａ．２槡 Ｂ．Ｄ＋（第６题 （第７题

（第１１题．（·安徽中考模拟）如图，菱形犃犅犆犇的两条对角线别长６和８，点犘是对角线犃犆上的一个动点，点犕、犖分别是边犃犅、犅犆的中点，则犘犕＋犘犖的最小值是 三、解答．（·安徽安庆一模）如图，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆、犅相交于点犗，犈、犉分别是犗犃、犗犅的中点（１）求证：△犃犇犈≌△犅犆犉（２）若犃 ４ｃｍ，犃 ８ｃｍ，求犆犉的长７．（２０１１·河南新乡模拟）如图，菱形犃犅犆犇的周长为４０ｃｍ （第１２题犇犈⊥犃犅，垂足为犈，ｓｉｎ ３，则下列结论正确的有 ５①犇 ６ｃｍ ②犅 ２ｃｍ③菱形面积为６０ｃｍ２ ④犅 ４槡１０ｃｍＡ．１ Ｂ．２Ｃ．３ Ｄ．４二、填空８．（２０１２·北京市东城区模拟）如图，已知矩形犃犅犆犇中，犈是犃犇上的一点，过点犈作犈犉⊥犈犆交边犃犅于点犉，交犆犅的延长线于点犌，且犈犉犈犆．若犇犈ｃｍ，矩形犃犅犆犇的周长为３２ｃｍ，犆犌的长 （第８题 （第９题９．（２０１２·江苏盐城阜宁县模拟）如图，在矩形犃犅犆犇中，对角线犃犆、犅犇交于点犗，已知∠犃犗犇１２０°，犃犅２．５，则犃犆的长为 ．（·江苏盐城模拟）如图所示，把一个长方形纸片沿犈犉折叠后，点犇、犆分别落在犇′、犆′的位置．若∠犈犉犅∠犃犈犇′等

１３．（２０１２·内蒙古呼和浩特模拟）如图所示，四边形犃犅犆犇是正方形，点犈是边犅犆的中点，且∠犃犈犉９０°，犈犉交正方形外角平分线犆犉于点犉，取边犃犅的中点犌，连结犈犌．（）求证：犈犌犆犉（２）将△犈犆犉绕点犈逆时针旋转９０°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后犆犉与犈犌的位置关系．（第１３题１４．（２０１１·宁夏银川模拟）如图， 犃犅犆犇中，犅犈平∠犃犅犆交犃犇于点犈，犇犉平分∠犃犇犆交犅犆于点犉（１）求证：△犃犅犈≌犆犇犉（）若犅犇⊥犈犉，则判断四边形犈犅犉犇是什么特殊四边形，请证明你的结论．（第１４题１５．（２０１１·江苏连云港模拟）在正方形犃犅犆犇中，点犘是犆犇边上一动点，连结犘犃，分别过点犅、犇作犅犈⊥犘犃、犇犉⊥犘犃，垂足分别为犈、犉，如图（）．（）请探究犅犈、犇犉、犈犉这三条线段的长度具有怎样的数关系？若点犘在犇犆的延长线上，如图（２），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点犘在犆犇

的延长线上呢？如图（），请分别直接写出结论（）就（）中的三个结论选择一个加以证明 （第１５题１．如图，在菱形犃犅犆犇中，对角线犃犆、犅犇相交于点犗，犕、犖分别是边犃犅、犃犇的中点，连结犗犕、犗犖、犕犖，则下列叙述正确的是（）．Ａ．△犃犗犕和△犃犗犖都是等边三角四边形犕犅犗犖和四边形犕犗犇犖都是菱Ｃ．四边形犃犕犗犖与四边形犃犅犆犇是位似图Ｄ．四边形犕犅犆犗和四边形犖犇犆犗都是等腰梯 （第１题 （第２题

４．如图，矩形犃犅犆犇中，犇犈⊥犃犆于点犈，犃犈∶犈 ３∶１，若犇犆ｃｍ，求犃犆的长（第４题．正方形犃犅犆犇的边犆犇在正方形犈犆犌犉的边犆犈上犅犈、犇犌２．如图，在矩形犃犅犆犇中，犃 ４，犅 ４槡３，点犈是折线 （１）观察猜想犅犈与犇犌之间的大小关系，并证明你的结论 犇犆上的一个动点（点犈与点犃不重合），点犘是点关于犅犈的对称点．在点犈运动的过程中，使△犘犆犅为等腰三角形的点犈的位置共有（ Ａ．２ Ｂ．３Ｃ．４ Ｄ．５３．如图，直线犾过正方形犃犅犆犇的顶点犅，点犃、犆到直线犾的距离分别是１和２，则正方形的边长是 （第３题

（）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个图形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．（第５题．５特殊的四边１．Ｂ［解析］①０≤狓≤４时狔犛△犃犅犇－犛△犃犘 －１狋＋８２②４≤狓≤８时， 犛△犅犆犇－犛△犆犘 ２２．Ａ［解析］根据菱形对角线互相垂直平分以及勾股定理求得该菱形边长是．３．Ｂ［解析］犈点时犅犆的中点，知犅犈∶犃犇１∶３，由三角形相似得犅犉１．犉犇４．Ｃ［解析］答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数为．５．Ｄ［解析］正方形旋转９０°和１８０°后都与原图形重合，其余３个旋转后与原图形重合．６．Ｂ［解析］第１个图形，有４个直角三角形；第２个图形，有４个直角三角形；第３个图形，有８个直角三角形；第４个图形，有８个直角三角形…依次类推，当狀为奇数时，三角形的个数是２（狀＋１）；当狀为偶数时，三角形的个数是２狀个．所以，第２０１２个图形中直角三角形的个数是２×２４０２４．Ａ［解析］设犅犉、犆犈相交于点犕，根据相似三角形对应边成比例列式求出犆犕的长度，从而得到犇犕的长度，再求出菱形犃犅犆犇边犆犇上的高与菱形犈犆犌犉边犆犈上的高，然后根据阴影部分的面积犛犅犇犕＋犛犇犉犕，列式计算即可得解．８．Ｄ［解析］矩形面积等于犪）２－犪）２（６犪）ｃｍ９． ［解析］菱形对角线垂直平分．Ａ［解析］对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形．１１． ［解析］由题意知，菱形的边长为５ｃｍ，由犇犈⊥犃犅ｓｉｎ犃３，得犇 ３ｃｍ，犃 ４ｃｍ，犅 １ｃｍ，菱形５面积为１５ｃｍ，犅 槡１０ｃｍ．故选Ｃ 菱形犃犅犆犇面 犃犅×犇犈２槡３１２． ［解析］由题意犃犆犅犇６知四边形犈犉犌犎为边 ２４． ［解析］利用犃犅犆犇，可得点犅所对应的数为５等于３的菱形，因为菱形对角线互相垂直平分，所以犈犌 ２５．１犪 ［解析］根据正方形的性质知：△犃犅犇与△犆犅＋犉犎４×（６÷２）２３６ ［解析］过犈作犈犉⊥犇犆于犉，利用正方形的性 关于对角线犅犇对称，所以图中阴影部分的面积之和等质；角平分线的性质及勾股定理求解． 于△犃犅犇的面积，即１犪２．２１４．② ［解析］过点犘分别向犃犇、犅犆作垂线段，两个三角等于矩形面积的一半．犛１＋犛３犛２＋犛４，又因为犛１犛２，则犛 在△犃犅犆和△犇犈犉中烄∠ ∠犇的面积等于矩形面积的一半．犛１＋犛３犛２＋犛４，又因为犛１犛２，则犛 在△犃犅犆和△犇犈犉中烄∠ ∠犇

犃犉犇犆∴犃犉＋犉犆犇犆＋犉犆，即犃犆犇犉犃犆犇犉犛３犛１犛

１犛犃犅犆犇，所以④一定成立２

，烆犃犅犇犈 △犃犅犆≌犇犈犉（１５．７ ［解析］①由图可知，从犃开始，第一次移动到点，共经过犃犅、犅犆、犆犇、犇犈、犈犉、犉犆、犆犌七条边，所以共移动了ｃｍ．② 机器人移动一圈是ｃｍ，８…… 移动ｃｍ，是第２５１圈后再走ｃｍ正好到达犈点１６． ［解析］由矩形犃犅犆犇沿犆犈折叠，点犅恰好落在犃

∴犅犆犈犉，∠犃犆 ∠犇犉犈∴犅犆∥犈犉 四边形犅犆犈犉是平行四边形（）连结犅犈，交犆犉与点犌 四边形犅犆犈犉是平行四边形 当犅犈犆犉时，四边形犅犆犈犉是菱形 ∠犃犅犆，犃犅，犅犆犃犇的犉处，即可得犅 犆犉，犆 犃犅，

犅 ３，

∴犃 槡犃犅＋犅犆５得犆 ２，然后设犆 ３狓，利用勾股定理 ∠犅犌 ∠犃犅犆９０°，∠犃犆 ∠犅犆犌犆 △犃犅犆∽△犅犌犆可求得犇犉的值，继而求得ｔａｎ∠犇犆犉的值５１７．２４ｃ ［解析 四边形犃犅犆犇是菱形５

犃

犆犌，即犅 ９

犆犌３∴犆 １犃犆３ｃｍ，犅 １犅犇４ｃｍ，犃犗⊥犅犗 ∴犆 ５ ∵犉犌犆犌∴犅 槡犃犗＋犅犗５ｃｍ ∴犛菱形

犅犇·犃犆

×６×８２４ｃｍ

∴犉犆２犆 ５∴犃犉犃犆－犉犆５－ ７∵犛菱形犃犅犆犇犅犆×犃犇∴犅犆×犃犈∴犃 ５ｃｍ１８．２槡 ［解析］连结犇犈、犅犇 点犅与点犇关于犃犆对称 犇犈的长即为犘犈＋犘犅的最小值∵犃犅，犈是犅犆的中点∴犆犈槡犆犇＋犆犈在Ｒｔ△犆犇槡犆犇＋犆犈

当犃 ７时，四边形犅犆犈犉是菱形（第２６（第２６题犇

槡４２＋２

２槡５ ２７．（１ 四边形犃犅犆犇是菱形１狀

［解析］由特殊总结出一般性．可 犖犇∥犃犕１９．（５

犛或５狀

∠犖犇 ∠犕犃

，∠犖犇 ∠犃犕犈计算出犃２犅２犆２犇 １犛５

点

是犃

中点８２０．８

犇犈犃犈［解析］犃犇８，且△犃犉犇的面积为６０，得犃犉１５ △犖犇犈≌△犕犃犈由勾股定理得犇犉犇犆．所以犅犉，再设犆犈狓，则犅犈狓，犈犉犆犈狓，在犈犅犉中运用勾股定理求

犖 犕犃 四边形犃犕犇犖是平行四边形 （２）①１；②２出 ４，则△犇犈犆的面积为８ ２８．（１）在△犇犉犆中，∠犇犉犆９０°，∠犆３０°，犇犆２狋２１．１ ［解析］设犃犅狓ｍ，则狓（２狓），即２狓－６狓＋４．解得狓１１或狓２（因邻边不等故舍去）．２２． ［解析］犅犆犃犅（）２３．２槡 ［解析］由犈是犃犅中点，得犃 １犃犇，∠犃犇２槡犃犇－犃犈槡犃犇－犃犈槡２－槡３

犇犉狋又犃犈狋∴犃犈犇犉（）能．理由如下∵犃犅⊥犅犆，犇犉⊥犅犆 犃犈∥犇犉又犃犈犇犉 四边形犃犈犉犇为平行四边形∵犃犅犅犆·ｔａｎ３０°槡３×槡３３∴犃犆犃犅∴犃犇犃犆－犇犆２狋若使 犃犈犉犇为菱形，则需犃犈犃犇．即狋１０－２狋狋１０．３ 当狋１０时，四边形犃犈犉犇为菱形３（３）①∠犈犇犉９０°时，四边形犈犅犉犇为矩形．在Ｒｔ△犃犈犇中，∠犃犇犈 ∠犆３０°，

四边形犃犅′犗犇的周长１＋１＋狓＋１－槡３＋（槡２－１）－槡２（槡２－１—１－２＋槡７． ［解析］①②③正确，犅犇２槡１０ｃｍ８． ［解析 犃犇犃犈＋４ 矩形犃犅犆犇的周长为３２ｃｍ∴２（犃犈＋犃犈＋４）３２．解得犃犈６．∴犃犉，犅犉由犃犇∥犅犆，可证△犃犈犉∽△犅犌犉∴犃犇２犃犈．即１０－２狋２狋 ５

犃犈犃犉２犅犌犅２②∠犇犈犉时，由（２）知犈犉∥犃犇 ∠犃犇 ∠犇犈犉９０° ∴犃犇犃犈·ｃｏｓ６０°，即１０－２ １狋狋４２

∴犅犌∴犆犌９． ［解析］△犃犅犗为等边三角形，所以犃犆２犗犃１０．５０°［解析］∠犇犈 ∠犇′犈 ∠犅犉犈６５° ∠犃犈犇′（∠犇犈犉＋∠犇′犈犉）③∠犈犉犇９０°时，此种情况不存在 １１． ［解析］由对角线是６和８，知菱形边长为５，作犕关综上所述，当 ５或４时，△犇犈犉为直角三角形２２９． 四边形犃犅犆犇和四边形犇犈犉犌为矩形 ∠犇犃 ∠犇犃犅９０°，∠犌９０°，犇犌犈犉∵犈犉６，犇 ５犇犎－犃犇槡５２－∴犌犎 犇犌－犇犎 犈犉－犇犎 在Ｒｔ犇犎－犃犇槡５２－

犃犆的对称点犕′，连结交犃犆于点犘，则此时犘犕犘犖和最小为线段犕′犖的长，此时犕′ 犃犅５１２．（１ 四边形犃犅犆犇为矩形 犃犇犅犆，犗犃犗犆，犗犅犗犇，犃犆犅犇，犃犇∥犅犆∴犗犃犗犅犗犆，∠犇犃 ∠犗犆犅 ∠犗犆 ∠犗犅犆 ∠犇犃 ∠犆犅犉∴犃

３ 犃

１犗犃，犅２

１犗犅２ ∠ ∠犇犃 ９０°，∠犉犎 ∠犇犎犃 △犉犌犎∽△犇犃犎

∴犃犈犅犉 △犃犇犈≌△犅犆犉 犇

*犎．犃犎

（）过点犉作犉犌犅犆于犌点，则犉犌犆 ∠犇犆犅∴犌犎·犃

１× ３

犉犌∥犇犆 △犅犉犌∽△犅犇犆１．Ｃ ［解析］对角线互相平分的四边形是平行四边形，又因为相等所以是矩形，互相垂直是菱形，总上所述该四边

∴犉犅犉犇犆犅

犅．犅犆是正方形

由（１）可得犅 １犅 ２． ［解析］结犈犉△犈犗犉∽△犎犌犗犈犉１５犎，再由犗点向两三角形作高，根据相似求得犈犗犉

∴犉８

高为６，△犎犌犗高为２，所以△犈犗犉面积为４５，△犎犌犗 ∴犉犌２ｃｍ，犅犌１ｃｍ积为５．阴影部分面 １５×８－４５－５７０ ∴犌犆犅犆－犅犌４－１３（ｃｍ３． ［解析 ∠犃犇犈∶∠犈犇犆３∶２，∠犃犇犆９０