专题五-通风网络理论

专题五通风网络理论通风网络是通风理论的重要组成部分，通风网络图是网络分析的重要依据。随着计算机技术的不断发展，通风网络理论的实用价值亦体现出来，越发重要了。§5-1图论的基本知识图论是一个十分重要的数学分支，是建立和研究离散数学模型的重要数学工具之一。图论中的术语由于目前尚未统一，故给概念的描述带来了一定的困难。本专题(课程)主要采用网络理论中通常使用的术语。一.图的基本知识图是用来研究一组具体事物之间相互关系的抽象代数。用点表示事物，用连线表示不同事物之间的关系。这样就形成了用这些点和连线表示事物特征的抽象图形。如：事物↖↗不同事物间的联系（一）图的定义

图1：角联网络图例图的定义图2：简单网络图例图的定义图是由作为研究对象的有限个点（如m个）的集合ｖ和表达这些点之间关系的n条连线的集合Ｅ所组成的，可以记作如图⑴，⑵，它们都是以v1,v2,…,vm标记点的集合，以e1,e2,…,en标记点的连线（简称为线）的集合所组成的．是点的有穷非空集合（即为节点的集合）记作Ｖ（Ｇ），其元素为点

是图Ｇ的连线的集合，记作Ｅ（Ｇ）其元素为线．图的定义给出的图的基本定义包括［Ｇ＝（Ｖ、Ｅ、Φ）］图的定义３、Φ是以Ｅ到Ｖ中的有序或无序偶对所成集合的映射。即：对于集合Ｅ中的每一个元素，按照某一规则，都可在集合Ｖ中找到唯一元素与之对应。

如例如：图２可记作：

具有m个点，n条连线的图，通常也称为（m，n)图。图２就是一个（６，８）图．

图论中，用带箭头的线表示有向分支，箭头方向表示由初节点指向末节点的方向．图的定义图的定义我们称每条线都是分支的图为有向图，若连线无方向，则称无向边（简称边）。称每条线都是边的图为无向图；即含有分支又含有边的图，称为混合图。

图的定义简单图：任意两点间只有一条边或分支相连接。（图1、图2）多重图：两点间有两条以上或分支相连接。（下页图3）图的定义图3、一个多重图（二）、线度线度是图论中的一个重要数据．简单地讲，在图Ｇ（Ｖ，Ｇ）中，与某个点相关联的边（或分支）的数目，就是该点的线度，记作

例如：上页图中出为+入为-（三）图的连通性在一个图Ｇ中，如果在每一对点之间至少存在一条链连接，则称Ｇ为连通图。否则就是不连通图。思考：风洞是否是连通图？（四）网络与权函数一个图G=（V，E）和定义在G的边或分支集E或点集V上的一个实函数f(e)或f(v)，称为一个网络或有权图。即：有权图叫做网络。记作：N=（G，f），函数f叫权函数。

网络的图解是通过在图的分支或点的旁边注明权来表示。由上分析可见：通风网络是一个由多个有方向的分支组成的连通图。1、节点：三条以上分支的相交点称作节点，用vi来表示。

风流方向：

2、割点：是节点的一种形式，当把割点从图中去掉时，原网路图可分为若干子图。

二、通风网络的基本术语通风网络的基本术语3、风路：两个节点间的分支。记作ei。

4、回路：由两条以上风路形成的闭合圈，记作bi。5、网孔：回路内无其它风路时，称为网孔。是回路的特殊形式。试分别指出图中回路、网孔的个数6、通路：从v1到vm由不同风路组成的一条路径，记作Pi。通风网络的基本术语图中红色部分为一个通路通风网络的基本术语7、通风系统图：在通风平面图上标有风流方向风量﹑通风设施及其安装位置，借以表明所有通风区域情况的图形。8、通风网路图：是在通风系统图的基础上抽象而成的，用单线条表示的示意图（无位置要求，所以可美化）。1.质量守恒定律：在单位时间内，任一节点流入

和流出空气质量的代数和为零。三﹑通风网路的基本性质当密度变化可以忽略不计时ρij单位为kg/m3·m3/s=kg/s通风网路的基本性质2.能量守恒定律：在任何回路（或网孔）上所发生的风流能转换的代数和为零。式中:hij—在第i个回路上的第j条风路的风压值，Pa

hfij—在第i个回路上的第j条风路中风机的风压，Pa

hzij—在第i个回路上的第j条风路的自然风压，Pa

当回路中既无通风机又忽略自然风压时,

即为风压平衡定律。通风网路的基本性质3.阻力定律:∵管道流多为完全紊状态,∴其阻力定律为通风网路的基本性质4.风路中的串联特性:

①总风量和分风量的关系:

②总风压和分风压的关系:

③总风阻和分风阻的关系:

通风网路的基本性质5.风路的并联特性：①风量:

②风压:

③风阻:

通风网路的基本性质nRRR11110L+=nnRhRhRhRh221100L++=RhQRhQRhQ,,222111000L===风阻并联的推导5—2通风网路的拓扑关系

一﹑网路拓扑的定义

通风网路图也称为拓扑图,即是用线段（有向分支）和节点表示的图，均称拓扑图。如：右图可表示为有向图G(V,E,Φ)。网路拓扑的定义这里表示第Ｋ条边以vi为始节点，vj为终节点其中对于无向图如何？二、树的概念及其定理1、子图:下页图中的1、2、3称为子图：非连通图一般由若干子图所构成。2、树：树是网路图G中的一个子图G`。若G`是连通图，且包含图G中所有节点，但又不形成回路，则称G`为G的一个生成树，简称树。3、余树：在网路图中，把树去掉，剩下的部分图形称为余树，用L表示。树的概念及其定理树的概念及其定理4.树支：包含在树中的分支（边），叫树枝。记作ET

∴树是ET的集合。

5.余支：不包含在树中的其它分支或边叫余支。用EL表示。∴余树是EL的集合。6.定理：网路图G(V，E),︱V︳=m，︱E︳=n。则其树必有m个节点和（m-1）条分支（或边）；若网路图G的（m-1）条分支（或边）不形成回路，则这（m-1）条分支必是G的一个树。树的概念及其定理树的概念及其定理可见，一个G的生成树是包含了图G的全部节点，但不包含任何回路的连通子图。而余树EL则可能含有回路。

由定理知：

5—3图的矩阵表示借助于图的图解表示，虽然可使图的概念的描述具有一定的直观性，但这种表示方法却有局限性，尤其是随着顶点和边的数的增加，要用图的结构就变得很困难，而且，图解表示也不便于图的运算。因此，有必要应用代数的方法来表示一个图，这就是图的矩阵表示。图的矩阵表示图实现矩阵表示后

①图的运算非常有效

②可以实现图在计算机里的存储与运算图的矩阵表示设图G=（V，E）是一个（m,n）图，则图G即可按其各元素之间的关联或邻接关系，用关联矩阵、邻接矩阵或其它方式表示。由于不论是用何种矩阵来表示，矩阵总是与m个点n条边（或分支）的某种排列次序有关，所以在论及图的矩阵表示时，必须预先绘出点和边的排列次序。一、节点邻接矩阵D节点邻接矩阵D—点与点间的分支数（边数）

如：G（V，E），︱V︳=m,︱E︳=n其中即，dij是节点vi到vj之间是相连接的分支（或边）的个数。节点邻接矩阵D如图：v1到v2有两条边相连

所以d12=2，即：节点邻接矩阵DD矩阵中，行反映vi的入度，列反映vj的出度。

有向图的D矩阵不对称。

无向图的D矩阵对称。关联矩阵A

定义

并令:

则称Aa为网路图G的完全关联矩阵二、关联矩阵A关联矩阵A∴A矩阵中，行对应网路图G的各个节点

列对应网路图G的各条边（或分支）。如，上图的完全关联矩阵为：关联矩阵的秩定理1.关联矩阵的秩定理：若网路图G（V，E），

︱V︳=m，︱E︳=n，

若Aa是其完全关联矩阵，则Aa的秩为m-1.补充知识——秩向量组的秩：向量组中的极大无关组的向量个数唯一确定，叫做这个向量组的秩。相关：若中有一向量可以经其余的向量线性表示，这个向量组就叫做线性相关。

充要条件：矩阵的秩：矩阵的行秩或列秩定义为A的秩补充知识——秩∴根据关联矩阵的秩定理可知：把Aa矩阵中的任意一行去掉，所剩下m-1行均线性独立。把这（m-1）×n的矩阵称为基本关联矩阵，简称关联矩阵A补充知识——秩如上例

关联矩阵的秩定理关联矩阵等价于G（网络图）。G的性质可以通过A的运算获得。改变G中的节点或边的排列次序，相当于对A的行或列进行调换。也就是说，从A（关联矩阵）可知通风网路中的每一个节点连着那些风路，风向如何等。关联矩阵的秩定理对于任一通风网路，有风量矩阵Q，即其中QT表示Q的转置矩阵当矩阵A和Q的排列顺序相同时，风量平衡方程

可表示为：

关联矩阵的秩定理如上例关联矩阵树定理既然A包含了网路图G中的所有信息，就可以从A中决定哪些边是树，哪些边是余树，因此，图论中还有一个定理。2.关联矩阵树定理：有m个节点的网络图G的关联矩阵A。它的（m-1）个列向量线性无关的充要条件是这些列与网路图G的树支相对应。关联矩阵树定理由这个定理可知，A（关联矩阵）可以分为余支和树支的两个子矩阵，即是对应树支的子矩阵是对应余支的子矩阵；其中ATAL并且关联矩阵树定理网路图含树的数目定理一个网路图G所包含的树的形式不是唯一的，树的个数可由下面的定理来计算：3.网路图含树的数目定理：若A是网路图G的关联矩阵，则该图所包含树的数目是：网路图含树的数目定理由于上图要算太复杂，∴用一个较简单的图形加以说明：三、回路矩阵B

1.定义：对于G（V，E），有m个节点、n条边（分支），S个回路，则称有向网路图G的完全回路矩阵。回路方向一般取顺时针方向。即其中回路矩阵B如上面的（6，9）图。回路矩阵B完全回路矩阵Ba共有S行，实践中可以看出，即使中等规模的通风网路，其S也相当大，但在网路分析中我们并不需要列出系统图中的全部回路，只需列出一个线性无关的回路矩阵，即找出Ba的秩，便可满足要求。故要学习回路矩阵的秩定理，以导出相关的风压平衡定理。回路矩阵秩定理2、回路矩阵秩定理：网路图G（V，E），︱V︳=m，︱E︳=n。其完全回路矩阵Ba的秩为（n-m+1）。将满秩的回路矩阵称为基本回路矩阵，简称回路矩阵B。

回路矩阵风压平衡方程对任一通风网路有风压矩阵：则当H与B的列排列次序相同时，可用下式表示风压平衡方程：

构造基本回路的方法通常是先找出一个树，对于选定的树每增加一条余支即可构成一个基本回路。这种方法可保证所选择的（n-m+1）个回路都是满秩的。回路矩阵风压平衡方程由于构成回路矩阵B的边有余支和树支两部分，即回路矩阵风压平衡方程只要B中余支的边（分支）和方向选得合适，则BL必为单位矩阵I，即B=（I，BT），即使选得不合适，亦可通过初等变换将BL变成I。回路矩阵风压平衡方程如右图中：回路矩阵风压平衡方程四、割集矩阵C传统的风量平衡定律：即任一时刻任一节点的风量代数和为零。广义风量平衡定律：通风网路中，任一时刻其任一割集的风量代数和也为零。那么，这里所说的割集是什么呢？割集的概念2.割集的概念设C是通风网路图G中某些边的集合。此集合满足下列两条件，则称C为G的割集⑴将这些边（或分支）去掉，则网图G分成两个相互独立的部分，即形成两个子图。⑵若C集合中，去掉一条分支或边，则G就连通。若给割集规定方向，则称为有向割集，其中的边（或分支）分为：与割集线同向边和反向边两类。割集的形成过程寻找割集的一般方法2.寻找割集的一般方法：按照概念，割集是将一个连通图分割成两部分的最小边的集合，即如果从G中，放回割集中的一条边，则G（网路图）就可以连通。那么在前面讲过的内容中，哪个概念具有此特性呢？∴通常是先找出一棵树，对应每一个树支就可以得到一个基本或独立的割集Ci。割集矩阵3.割集矩阵

设图G（V，E）是一个连通的（m,n）图，则图中各边（或分支）与各割集间的关系，可以用矩阵

来表示（q为割集数），矩阵C称为图G的割集矩阵。割集矩阵其中Cij有：（1）对无向图：（2）对有向图:割集矩阵秩定理若通风网路图G=（V，E）是一个（m,n）图，则其基本割集矩阵的秩为（m-1）。因此，矩阵中只有m-1行向量（割集）是线性无关的。亦即称m-1行的割集矩阵为图G的独立割集(Ck)矩阵。割集矩阵秩定理根据：1、矩阵秩定理2、寻找割集方法中对应一个树支就可以得到一个m-1个基本割集（或独立割集）的原理。可知：

个树的每一个树支上割一下，就能得到独立的割集矩阵。割集矩阵秩定理割集矩阵的风量平衡方程满足风量平衡定律则：通路矩阵P传统的风压平衡定律：G中，任一回路的风压的代数和为零。广义的风压平衡定律：G中，任意两条有向通路的风压相等。通路矩阵的定义1.通路矩阵的定义：设G=（V，E）是(m,n)图，而P是G中某些边的集合，从v1到vm由不同边组成一条有向路径，称为有向通路pi。用矩阵表示为：有向通路个数矩阵2.有向通路个数矩阵：对于G=(m,n)，其有向通路个数ω为：其中d1mk是Dk中第一行第m列元素，而Dk=DDk-1，是节点邻接矩阵D相乘K次有向通路个数矩阵例如：有