插补原理与速度控制

第四章插补原理与速度控制第一节插补原理一、插补及其算法二、脉冲增量插补三、数字增量插补第二节刀具半径补偿一、刀具半径补偿的基本概念二、B功能刀具半径补偿计算三、C功能刀具半径补偿第三节进给速度和加减速控制一、开环CNC系统的进给速度及加减速控制二、闭环(或半闭环)CNC系统的加减速控制第一节插补原理一、插补及其算法 所谓“插补”就是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数据点的密化。插补的任务就是根据进给速度的要求，在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。CNC系统中具有的插补功能有直线插补功能、圆弧插补功能、抛物线插补功能以及螺旋线插补功能等。直线和圆弧插补功能采用的插补算法一般为脉冲增量插补算法和数字增量插补（数据采样插补）算法。（一）脉冲增量插补算法 脉冲增量插补为行程标量插补。这类插补算法的特点是每次插补结束仅产生一个行程增量，以一个个脉冲的方式输出。脉冲增量插补算法主要应用在开环数控系统中。 一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量，通常用δ表示。脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。脉冲当量δ值越小，数控机床的加工精度就越高，对数控系统的计算能力的要求也越高。采用脉冲增量插补算法的CNC系统，其坐标轴进给速度受插补程序运行时间的限制。（二）数字增量（数据采样）插补算法 1.数字增量插补的特点 数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成：第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统，通常称为精插补。 ⑴粗插补 它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定的曲线，这些微小直线段的长度ΔL相等且与给定的进给速度有关。由于粗插补在每个插补周期内之计算一次，因此每一微小直线段的长度ΔL与进给速度F和插补周期T的关系如下：ΔL=FT。粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增量值。

⑵精插补精插补是在粗插补算出的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。粗插补一般用软件来实现，精插补既可以用软件完成，也可以用硬件来完成。 ⒉数字增量插补实现过程粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增量值，而精插补则在每个采样周期内采样闭环或半闭环反馈位置增量值及插补输出的指令位置增量值。然后算出各坐标轴相应的插补指令位置和实际反馈位置并进行比较，计算出跟随误差。根据跟随误差算出相应轴的进给速度指令并输出给驱动装置。插补周期和采样周期可以相等，也可以不相等，如不相等，则插补周期应是采样周期的整数倍。二、脉冲增量插补（一）逐点比较法 逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。逐点比较法的基本思想是被控制对象在数控装置的控制下，按要求的轨迹运动时，每走一步都要和规定的轨迹比较，根据比较的结果决定下一步的移动方向。逐点比较法可以实现直线和圆弧插补。 逐点比较法的特点是运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，而且输出脉冲均匀，输出脉冲的速度变化小，调节方便。 逐点比较法的应用对象主要在两坐标开环CNC系统中应用。1.逐点比较法直线插补算法 ⑴判别函数及判别条件如图所示，对XY平面第一象限直线段进行插补。直线段起点位于坐标原点O，终点位于A（Xe,Ye）。设点P（Xi，Yi）为任一动点。若P点在直线OA上，则：

XeYi–XiYe=0若P点在直线OA上方，则：

XeYi–XiYe>0若P点在直线OA下方，则：

XeYi–XiYe<0A(Xe,Ye）P(Xi,Yi）F＞0F＜0XY 定义F=XeYi–XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上； 当F>0时，加工点P落在直线上方； 当F<0时，加工点P落在直线下方； ⑵进给方向判别 ①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方向前进一步，以接近该直线。 ②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方向前进一步，以接近该直线。 ③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既都向+X方向发一脉冲。 ⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。 ①F≥0时，应向+X发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi）向+X方向前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则新加工点的偏差值为：

Fi+1,i=XeYi–Xi+1Ye=XeYi–(Xi+1)Ye

=XeYi–XiYe-Ye

=F–Ye ②F<0时，应向+Y发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi）向+Y方向前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则新加工点的偏差值为：

Fi+1,i=XeYi+1–XiYe=Xe(Yi+1)–XiYe

=XeYi–XiYe+Xe

=F+Xe⑷插补步骤逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四个步骤，具体如下：①偏差判别根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。②坐标进给根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标进给一步，以接近直线。③偏差计算计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步偏差判别的依据。④终点判别判断是否到达终点，未到达终点则返回第一步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe|

+|Ye|

，每走一步n-1，直到n=0为止。图4-逐点比较法工作循环图N偏差计算偏差判别坐标进给到达终点？插补结束Y插补开始（5）逐点比较法插补算法例题

设欲加工的直线位于XY平面的第一象限，直线的起点坐标为坐标原点，终点坐标为Xe=5，Ye=3。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。解插补过程运算过程如下表所示，表中Xe，Ye是直线终点坐标，n为总步数，n=|

Xe

|+|

Ye

|=8。脉冲个数偏差判别进给方向偏差计算终点判别0F0=0,Xe=5,Ye=3n=81F0=0+XF1=F0-Ye=-372F1=-3<0+YF2=F1+Xe=263F2=2>0+XF3=F2-Ye=-154F3=-1<0+YF4=F3+Xe=445F4=4>0+XF5=F4-Ye=136F5=1>0+XF6=F5-Ye=-227F6=-2<0+YF7=F6+Xe=318F7=3>0+XF8=F7-Ye=00到达终点图4-逐点比较法直线插补轨迹Y14X56OA(5,3)2378

2.逐点比较法圆弧插补

⑴判别函数及判别条件 如图所示为第一象限逆圆弧,圆心为原点,起点A（X0,Y0）,终点B（Xe,Ye）,圆弧半径为R。P（Xi,Yi）为任一加工点。其偏差函数为：F=（Xi2+Yi2

）-R2=（Xi2–X02）+（Yi2-Y02） 根据加工点所在区域的不同，有下列三种情况： 当F=0时，加工点P落在圆弧上； 当F>0时，加工点P落在圆弧外侧； 当F<0时，加工点P落在圆弧内侧；（2）进给方向判别①当F>0时，应该向X轴发出一负方向运动的进给脉冲使刀具向圆弧内走一步。②当F<0时，应该向Y轴发出一正方向运动的进给脉冲，使刀具向圆弧外走一步。③当F=0时，既可以向X轴方向发一负方向运动的进给脉冲，也可以向Y轴方向发一负方向运动的进给脉冲。但通常将F=0和F>0做同样的处理。（3）迭代法偏差函数F的推导 ①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0，刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为：Fi+1，i=(Xi–1)2+Yi2-（X02+Y02）=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02=F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向Y坐标正方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi，Yi+1）。新加工点的偏差为：Fi，i+1=Xi2-X02+（Yi+1）2-Y02=Xi2-X02+Yi2+2Yi+1-Y02=F+2Yi+1（4）逐点比较法圆弧插补终点判别 和直线插补一样，逐点比较法圆弧插补除偏差计算外，还要进行终点判别。下面我们介绍两种方法。 ①插补运算开始前计算出两个坐标进给的总步数N，N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，在插补过程中，X或Y每走一步，就从总步数N中减1，当N=0时，表示到达终点。 ②插补前分别计算两个坐标进给的总步数Nx和Ny，其中Nx=|Xe-X0|，Ny=|Ye-Y0|，当X坐标进给一步时，计算Nx-1，当Y坐标进给一步时，计算Ny-1，两坐标进给的总步数均减为零时，表示到达终点。（5）逐点比较法圆弧插补例题 如图所示，要加工XY平面内第一象限的逆圆弧，圆弧圆心在坐标原点，圆弧起点坐标A(10，0），终点坐标为B(6，8)。试对该段圆弧进行插补。 解终点判别值为:

N =|XB–XA|+|YB–YA| =|6-10|+|8-0| =12 插补过程如下表所示。逐点比较法逆圆插补运算过程脉冲个数偏差判别进给方向偏差计算坐标计算终点判别0F0=0X0=10,Y0=0N=121F0=0-XF1=F0-2X0+1=-19X1=9,Y1=0N=112F1=-19<0+YF2=F1+2Y1+1=-18X2=9,Y2=1N=103F2=-18<0+YF3=F2+2Y2+1=-15X3=9,Y3=2N=94F3=-15<0+YF4=F3+2Y3+1=-10X4=9,Y4=3N=85F4=-10<0+YF5=F4+2Y4+1=-3X5=9,Y5=4N=76F5=-3<0+YF6=F5+2Y5+1=6X6=9,Y6=5N=67F6=6>0-XF7=F6-2X6+1=-11X7=8,Y7=5N=58F7=-11<0+YF8=F7+2Y7+1=0X8=8,Y8=6N=49F8=0-XF9=F8-2X8+1=-15X9=7,Y9=6N=310F9=-15<0+YF10=F9+2Y9+1=-2X10=7,Y10=7N=211F10=-2<0+YF11=F10+2Y10+1=13X11=7,Y11=8N=112F11=13>0-XF12=F11-2X11+1=0X12=10,Y12=8N=0⒊坐标变换及自动过象限处理 ⑴逐点比较法直线插补的象限与坐标变换 前面介绍的逐点比较法进行直线插补的原理、计算公式，只适用于第一象限。对于不同的象限，要做不同的处理。对于1、3象限的直线，当F≥0时，都向X坐标发脉冲，当F<0时，都向Y坐标发脉冲，之间的差别只是发脉冲的方向不同。对于2、4象限的直线插补，不但要考虑分配脉冲的方向，还要考虑坐标轴的变换。下表为各个象限直线插补脉冲分配规律。线型偏差判别象限1234F≥0+X+Y-X-YF＜0+Y-X-Y+XG01（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换

各象限的顺、逆圆弧插补都可以采用第一象限逆圆弧的插补计算公式，至于沿着哪一个坐标轴进给，向哪一个方向进给可以根据圆弧所在的象限及其走向决定，下表所示为八种圆弧插补的脉冲分配规律。线型偏差判别象限1234G02F≥0-Y+X+Y-XF<0+X+Y-X-YG03F≥0-X-Y+X+YF<0+Y-X-Y+X（3）圆弧插补自动过象限处理为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。 ①象限边界处理在进行过象限判别之前，必须进行象限的边界处理。象限边界处理就是判别数值“0”的符号。对于逆时针圆弧（G03）：如果X0为“0”，那么X0的符号与Y0的符号相反。如果Xe为“0”，那么Xe的符号与Ye的符号相同。如果Y0为“0”，那么Y0的符号与X0的符号相同。如果Ye为“0”，那么Ye的符号与Xe的符号相反。对于顺时针圆弧，数值“0”符号的判别规律与上述规律相反。②过象限判断

当X0与Xe的符号相反或Y0与Ye的符号相反时，表明起点和终点不在同一象限内，需要过象限处理。 当X0与Xe、Y0与Ye的符号分别相同时，表明起点和终点在同一象限内。若要过象限则需过四次象限，此时可下表进行判断。象限1234过象限判断依据（Xe-X0）符号与X轴进给方向相反或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相反（Xe-X0）符号与X轴进给方向相同或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相反（Xe-X0）符号与X轴进给方向相同或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相同（Xe-X0）符号与X轴进给方向相反或（Ye-Y0）符号与Y轴进给方向相同③过象限处理

过象限处理就是对跨象限圆弧加工过程中边界点进行处理。所谓边界点就是指跨象限圆弧与坐标轴的交点。边界点的处理是把圆弧起点所在象限的边界点作为本段圆弧的插补终点，再把这一点作为下一象限圆弧插补的起点，其它边界点的处理可依此类推。4.逐点比较法的进给速度刀具的进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的依据。采用逐点比较插补算法，每次插补计算都有脉冲发出，不是向X坐标发脉冲，就是向Y坐标发脉冲。设发向X、Y坐标脉冲的频率为fx和fy，则沿X、Y坐标的进给速度分别为：Vx=60δfxVy=60δfy

其中δ为脉冲当量（mm/脉冲）。合成进给速度为：V=(Vx2+Vy2)1/2=60δ(fx2+fy2)1/2当沿着某一坐标进给时，其脉冲频率为fx+fy，进给速度达到最大值，为：Vc=60δ(fx+fy)

合成进给速度与最高进给速度的比为：V=(fx2+fy2)1/2/（fx+fy）三、数字增量插补 在闭环和半闭环控制系统中，需要位置采样控制。位置采样控制主要包括三项内容：即插补、反馈采样及控制。其中插补是主要环节，其核心是选择一个合适的插补周期，计算出插补周期内各坐标轴的移动量（粗插补）。将这个移动增量转化为跟随误差和速度指令是反馈采样及控制的任务（精插补），这就是数字增量插补。 在CNC系统中，数字增量插补通常采用时间分割插补算法，它是把加工一段直线或圆弧的整段时间分为许多相等的时间间隔，该时间间隔称为单位时间间隔，也即插补周期。 在时间分割法中，每经过一个插补周期就进行一次插补运算，计算出各坐标轴在一个插补周期内的进给量。㈠插补周期的选择 ⒈插补周期与插补运算时间的关系 插补算法选定后，则完成该算法所需的最大指令条数也就确定。根据最大指令条数就可以大致确定插补运算占用CPU的时间TCPU，一般来说，插补周期必须大于插补运算所占用CPU的时间。这是因为当系统进行轮廓控制时，CPU除了要完成插补运算外，还必须实时地完成一些其它工作。如显示、监控、甚至精插补。因此，插补周期T必须大于插补运算时间与完成其它实时任务所需时间之和。⒉插补周期与位置反馈采样的关系 插补周期和采样周期可以相同，也可以不同。如果不同，则一般插补周期应是采样周期的整数倍。例如FANUC7M系统采用8ms的插补周期和4ms的位置反馈采样周期。在这种情况下，插补程序每8ms被调用一次，为下一个周期算出各坐标轴应该行进的增量长度；而位置采样程序每4ms调用一次，将插补程序算好的坐标位置增量进行进一步的密化（精插补）。3.插补周期与精度、速度的关系

在直线插补中，插补所形成的每个小直线段与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。在圆弧插补时，一般用内接弦线或内外均差弦线来逼近圆弧，这种逼近必然会造成轨迹误差。图6-61所示为用内接弦线逼近圆弧，其最大半径误差eR与步距角δ的关系为：eR=R(1-cosδ/2)由上式可以推导出最大误差的公式为：eR=

其中T为插补周期；F为刀具移动速度；R为圆弧半径。从公式可以看出，圆弧插补周期T分别与误差eR、圆弧半径R和进给速度F有关。(TF)28R（二）直线插补算法

1.直线插补原理 设刀具在XY平面内作直线运动，起点为坐标原点(0,0)，终点为A(Xe,Ye)，进给速度为F，插补周期为T。如图6-62所示。每个插补周期的进给步长为：

ΔL=FT

X轴和Y轴的位移增量为 分别为Xe和Ye，直线段 长度为： L=(Xe2+Ye2)1/2根据图6-62可以得到如下关系： ΔX/Xe=ΔL/L ΔY/Ye=ΔL/L

设ΔL/L=K，则得到如下公式：

ΔX=(ΔL/L)Xe=KXeΔY=(ΔL/L)Ye=KYe而插补第i点的动点坐标为：Xi=Xi-1+ΔX=Xi-1+KXeYi=Yi-1+ΔY=Yi-1+KYe这就是数据采样法直线