2022-2023学年江苏省常州市高二年级下册学期6月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市高二下学期6月月考数学试题一、单选题1．老师排练节目需要个男生和个女生，将这六名学生随机排成一排，个女生不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出名学生排成一列的排法，再利用插空法求出个女生不相邻的排法，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】个男生和个女生随机排成一行，则名学生共有种排法，若个女生不相邻，先排个男生有种排法，个男生产生个空，将个女生插入个空中有种排法，故有种排法，所以个女生不相邻的概率.故选：A.2．若，则（

）（参考数据：，）A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865【答案】A【分析】根据题意得到，从而利用正态分布图象对称性求出.【详解】因为，，故,，所以.故选：A3．五一期间，小丁，小赵，小陈，小吴四人计划到溧阳天目湖，金坛茅山，春秋乐园三地旅游，每人只去一个地方，每个地方至少有一人去，且小丁不去溧阳天目湖，则不同的旅游方案共有（

）A．18种 B．12种 C．36种 D．24种【答案】D【分析】利用分类加法计数原理，分小丁单独旅游与小丁与他人一起旅游两种情况，根据分组分配的解题思路，可得答案.【详解】第一种情况：当小丁独自去旅游，从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为；小赵、小陈、小吴三人去另外两个地方旅游，利用分组分配的思路，可得方法数为；则该情况下，总的方法数为.第二种情况：当小丁与他人组队去旅游，再从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为，其他两人去另外两个地方，其方法数为，则该情况下，总的方法数为.故不同的旅游方法共有种.故选：D.4．下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，设，无解,即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.故选：B.5．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即可.【详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则，，故，所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：.故选：D6．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（

）A．66 B．36 C．30 D．6【答案】B【分析】利用赋值法求出a值，再分析计算二项式展开式的通项即可得解【详解】因的展开式中所有项的系数和为192，则当时，，解得，从而有展开式的通项为，因此，在中，当，即时，与相乘可得常数项，当，即时，与2相乘可得常数项，于是得：，所以展开式中的常数项为36.故选：B7．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得，，，，所以，，所以.故选：C8．大雁塔是佛塔这种古印度佛教的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是现存最早、规模最大的店代四方楼阁式砖塔（如图1所示）.2014年，它作为中国、哈萨克斯坦和吉尔吉斯斯坦三国联合申遗“丝绸之路”中的一处遗址点，被列人《世界遗产名录》．大雁塔由塔基、塔身、塔剎三部分组成（如图2所示），全塔通高．塔基为长方体，高约为，南北长约为，东西长约为；塔身近似呈正四棱台，底层边长约为，侧面是底角约为81.95°的等腰梯形；塔刹高约．则大雁塔塔基与塔身的体积之比为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，问题可转化为长方体体积与正四棱台体积的比，根据长方体与棱台体积公式求解即可．【详解】如图，记大雁塔塔身为棱台，过作于，过作交于，，设，则，，，，，即，解得，所以，所以塔身的体积，又因为塔基的体积，所以大雁塔塔基与塔身的体积之比为．故选：D．二、多选题9．某学校一名同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列说法正确的有（

）参考公式：相关系数公式A．样本中心点为 B．C．当时，残差为 D．若去掉样本点，则样本的相关系数r增大【答案】ABC【分析】根据平均数公式计算可得A正确；由计算可得B正确；根据残差的定义计算可得C正确；根据相关系数的公式分析可得D不正确.【详解】,，所以样本中心点为，则A正确；由，得，则B正确；由B知，，当时，，则残差为，则C正确；因为，，，，所以，，，所以去掉样本点后，相关系数的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数的大小不变，故D不正确.故选：ABC10．已知与是共轭复数（虚部均不为），下列结论中一定正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设，，根据复数四则运算、模长运算依次判断各个选项即可.【详解】设，，对于A，，，当时，与无法比较大小，A错误；对于B，，，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，当时，，D错误.故选：BC.11．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（

）A．中位数为3，众数为5 B．中位数为3，极差为3C．中位数为1，平均数为2 D．平均数为3，方差为2【答案】AD【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可【详解】对于A，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是3，则第4和5个为5，所以这5个数中一定没有出现6，所以A正确，对于B，由于中位数为3，极差为3，所以这5个数可以是3，3，3，4，6，所以B错误，对于C，由于中位数为1，平均数为2，所以这5个数可以是1，1，1，1，6，所以C错误，对于D，由平均数为3，方差为2，可得，，若有一个数为6，取，则，，所以，所以这4个数可以是4，3，3，3或2，3，3，3，与矛盾，所以，所以这5个数一定没有出现6点，所以D正确，故选：AD12．已知图1中，正方形EFGH的边长为，A，B，C，D是各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA将△ABF，△BCG，△CDH，△ADE向上折起，使得每个三角形所在的平面部与平面ABCD垂直，再顺次连接E，F，G，H，得到一个如图2所示的多面体，则在该多面体中，有（

）

A．平面平面CGH B．直线AF与直线CG所成的角为60°C．该多面体的体积为 D．直线CG与平面AEF所成角的正切值为【答案】BCD【分析】分别取的中点，连接，如图以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法，结合棱锥的体积公式逐个分析判断即可【详解】分别取的中点，连接，因为是正方形各边的中点，所以，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为正方形的边长为，是各边的中点，所以四边形是边长为2的正方形，因为分别为的中点，所以∥，，且，所以四边形为矩形，所以，所以如图以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，对于A，设平面的一个法向量为，，则，令，则，设平面的一个法向量为，，则，令，则，所以，所以与不垂直，所以平面与平面不垂直，所以A错误，对于B，因为，，所以，因为，所以，所以直线AF与直线CG所成的角为60°，所以B正确，对于C，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则分别为的中点，因为，所以长方体的体积为，，所以多面体的体积为，所以C正确，对于D，因为平面的一个法向量为，，所以，设直线CG与平面AEF所成角为，则，所以，所以，所以直线CG与平面AEF所成角的正切值为，所以D正确，故选：BCD

【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查线面角的求法，考查棱锥体的求法，解题的关键是根据题意建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可，考查空间想能力和计算能力，属于较难题.三、填空题13．已知复数（其中是虚数单位），则复数在复平面内的对应点坐标为．【答案】【分析】根据共轭复数的概念、复数的除法运算和复数的几何意义可得结果.【详解】因为，所以，所以，复数在复平面内的对应点坐标为.故答案为：14．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是（用数字作答）．【答案】36【分析】先选四个位置上的重复树苗有种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题．【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种，，，四个位置，有且仅有一种树苗重复，有种选法；在四个位置上种植有种方法，则由乘法原理得种方法．故答案为：36．【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．15．在正四棱柱中，，，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正四棱柱的表面相交所得到的弧长之和等于．【答案】/【分析】根据题意，作出图形，分别求出球面与正四棱柱的表面相交所得到的每一段弧长，进而求和即可.【详解】根据题意，如图所示：以顶点A为球心，2为半径作一个球，球与棱的交点分别为，因为，所以，则，所以的长度为，同理的长度为，在中，因为，所以，同理，所以，所以的长度为，由题意可知：，所以的长度均为，同理的长度也为，则球面与正四棱柱的表面相交所得到的弧长之和等于，故答案为：.16．一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为．【答案】【分析】设“蚂蚁爬行次后仍在顶点”为事件，“不在顶点”为事件，则，，，根据求出，再代入可得结果.【详解】设“蚂蚁爬行次后仍在顶点”为事件，“不在顶点”为事件，则，，，,，则，又，所以数列是等比数列，首项为，公比为，所以，所以，所以.所以蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为.故答案为：.四、解答题17．如图：已知四棱锥中，平面是正方形，是的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接交与，连接，证明后可得线面平行；（2）由面面垂直的判定定理得平面平面，再由面面垂直性质定理得平面，从而得证面面垂直．【详解】解：（1）连接交与，连接，∵、分别为、的中点，∴∵平面，平面，

∴平面.（2）∵平面，平面，∴平面平面，∵为正方形∴，∵平面平面，平面，∴平面，

又∵平面，∴平面平面．【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直，掌握线面平行的判定定理，掌握面面垂直的性质定理和判定定理是解题关键．18．如图，在中，已知点，分别在边，上，且，．(1)用向量，表示；(2)设，，，求角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合平面向量的线性运算来求得正确答案.（2）利用平方的方法来求得的大小.【详解】（1）.（2）由两边平方得：，，，，由于，所以.19．阳光体育运动是教育部、国家体育总局、共青团中央决定于2007年4月29日在全国范围内全面启动的一项有利于学生健康的运动，学校开展阳光体育运动，是为切实推动全国亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生积极参加体育锻炼，走向操场，走进大自然，走到阳光下，掀起群众性体育锻炼热潮．某中学有2000名学生，其中男生1200人，女生800人．为了解全校学生每天进行阳光体育的时间，学校采用分层抽样的方法，从中抽取男女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天阳光体育运动时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，经统计得下表：男生人数4524243女生人数3131662(1)用样本估计总体，试估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的总人数是多少？(2)①从阳光体育运动时间不足40分钟的样本学生中随机抽取3人，求这3人中男生人数X的概率分布列：②若阳光体育运动时间不少于一小时，则被认定为“爱好体育运动”，否则被认定为“不爱好体育运动”．试根据以上数据完成列联表（见答题卡），并判断是否有97.5%的把握认为该校学生爱好体育运动与性别有关．附

参考数据与公式：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828，其中．【答案】(1)800(2)①分布列见解析；②有97.5%的把握认为该校学生爱好体育运动与性别有关，理由见解析【分析】（1）利用分层抽样求出男生和女生各抽取的人数，进而得到估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的男生和女生人数，相加得到答案；（2）①得到X的可能取值和相应的概率，得到分布列；②利用公式计算出卡方，与5.024比较后得到结论.【详解】（1）采用分层抽样的方法，从中抽取男女生共100人进行问卷调查．则男生抽取人数为，女生抽取人数为，每天阳光体育运动时间在分钟内男生人数为24人，女生人数为16人，估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的男生人数为，估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的女生人数为，所以估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的总人数是；（2）①阳光体育运动时间不足40分钟的样本学生人数为7人，男生有4人，女生有3人，随机抽取3人，这3人中男生人数X的可能取值为，其中，，，，则X的概率分布列为：0123②列联表如下：爱好体育运动不爱好体育运动男2733女832则，故有97.5%的把握认为该校学生爱好体育运动与性别有关.20．设，其中，，且存在，使，则称为关于的次实系数多项式．设，其中是关于x的8次实系数多项式，．(1)求a，b的值；(2)若，求除以81的余数．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，根据二项式定理展开，前项提公因式，可得，根恒等可得结果；（2）由求出，由，根据二项式定理展开可求出结果.【详解】（1）因为，又，且是关于x的8次实系数多项式，所以，，所以，.（2）由（1）知，，，则，解得，则.所以所求余数为.21．某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数X人数10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正