2022-2023学年江西省九江市德安县高一年级下册学期5月期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省九江市德安县高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】.故选：C.2．函数最大值为（

）A．2 B．5 C．8 D．7【答案】A【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解.【详解】时，，所以，所以函数最大值为2.故选:A.3．已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，，因此，.故选：C.4．将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用平移变换求出函数解析式作答.【详解】函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为：.故选：D5．已知，则（）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】D【分析】利用诱导公式有求得，将目标式化简即可得值.【详解】由，可得，于是.故选：D6．已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的坐标，再由列方程可求出的值.【详解】因为，，所以，因为，，所以，得，故选：B7．在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案.【详解】如图，过点作，垂足为,则.

若有两解，所以，则，即，得.故选：B8．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求的最小值.【详解】在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，又因为，所以，所以当时，的最小值为，即的最小值为.故选：B.二、多选题9．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确；由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以，又，所以，故B正确；，故C正确；，，又，所以，故D错误.

故选：ABC10．若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（

）

A．在上的投影向量为B．在上的投影向量为C．在上的投影向量为D．在上的投影向量为【答案】AC【分析】过作于，连接，设，由可得，求出可得，可得在上的投影向量；根据向量加法的平行四边形法则得，可得在上的投影向量．【详解】过作于，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，设，则，，由可得，所以，则，所以在上的投影向量为，根据向量加法的平行四边形法则，得，所以在上的投影向量为．故选：AC.

11．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（

）A．B．若，则C．若，，则D．若，则的面积的最小值为【答案】BC【分析】对于A选项，根据，由正弦定理求得判断；对于B选项，结合A选项，利用正弦定理求解判断；对于C选项，结合A选项，利用余弦定理求解判断；对于D选项，利用余弦定理结合基本不等式求解判断.【详解】对于A选项，由正弦定理有，有，有，可得，故A选项错误；对于B选项，由正弦定理有，有，故B选项正确；对于C选项，由余弦定理有，有，代入，可得，故C选项正确；对于D选项，由余弦定理有（当且仅当时取等号），有，故D选项错误．故选：BC．12．已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（

）A．存在，使得是偶函数 B．C．是的整数倍 D．的最大值是6【答案】BC【分析】根据函数满足的性质推出，结合三角函数为偶函数性质，可判断A；根据正弦型函数的对称性可判断B；结合，可判断C；当时，可列式求解，根据解的结果可判断D.【详解】对于A,∵，成立，∴，整理得，解得，，假设存在，使得是偶函数，则，即，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误；对于B，因为，函数的图象关于对称，∴，故B正确；对于C，∵，∴是的整数倍，故C正确；对于D，∵函数在区间上单调，∴，即，当时，由，整理得，故无解，故D错误．故选：BC．【点睛】难点点睛：本题综合考查三角函数的性质的应用，解答时要能综合应用函数的单调性以及对称性等，列式求解，要注意参数的表达式的求解，形式较为复杂，需细心.三、填空题13．已知为角α终边上一点，则=．【答案】/0.2【分析】求出到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求得，的值，再求出即可.【详解】为角α终边上一点，，则，，.故答案为：14．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为.【答案】【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为，故答案为：15．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于.【答案】/【分析】利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此时角C取到最大值，求解得出结果.【详解】点D为AC边的中点，，则，即，因为，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，所以，故答案为：.16．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为.【答案】【分析】由，结合三角形面积公式证明，根据基本不等式证明，由此求出面积的最小值.【详解】因为，为的角平分线，所以，又，故由三角形面积公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为.故答案为：.【点睛】知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.四、解答题17．已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或或.【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；【详解】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.18．（1）已知，求证：.（2）已知，求代数式和的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2），【分析】(1)根据题意，将原式变形化为完全平方式的形式，即可得证；（2）根据题意，结合不等式的性质及运算即可得到结果.【详解】（1）（当且仅当等号成立）（2）∴．由，得①．由，得②．19．已知函数的图像如下:

(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为【分析】（1）根据图像利用五点法求解析式；（2）根据题意以整体，结合正弦函数运算求解.【详解】（1）由题意可得：，解得，设函数的最小正周期为，则，可得，且，解得，可得，因为，即，则，解得，又因为，可得，所以.（2）令，解得；令，解得；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.20．的内角的对边分别为且．(1)判断的形状；(2)若为锐角三角形，且，求的最大值．【答案】(1)直角三角形或等腰三角形．(2)【分析】（1）利用三角恒等变换对原式进行化简，可得或，根据角的范围即可求解；（2）由结合正弦定理可得，通过锐角三角形可得到，令，故，根据二次函数的性质即可求得最大值【详解】（1）由题意：，整理得，故或，因为，所以或，为直角三角形或等腰三角形．（2）由正弦定理得，∴，又，，因为为锐角三角形，所以，解得，令，易知，∴，故当时，即取最大值，最大值为，综上，最大值为．21．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)设，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数并运用三角函数周期公式求解即可.（2）由范围可得的范围，进而由同角三角函数的平方关系可求得的值，再利用配凑角及两角和的正弦公式可求得的值.【详解】（1）因为，所以.即的最小正周期为.（2）因为，所以，又因为，所以，所以，所以.22．设函数(1)若，，求角；(2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围；(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)或.(2)(3)当时，且；当时，.【分析】（1）首先根据三角恒等变换化简得，则，根据即可解出的值；（2）对不等式化简得，利用换元法再分离参数即可求出的范围；（3）根据正弦函数的有界性结合题目条件解出，分和讨论即可.【详解】（1）∵，又∵，即，∴或，∵，∴或.（2）令，，，∴，∴，，即，令，设，，任取，且，则，，，，，即，在