命题及其关系充分与必要条件课件

第二讲

命题及其关系､充分条件与必要条件

走进高考第一关基础关第二讲

命题及其关系､充分条件与必要条件

走进高考第一关教材回归

1.命题

(1)一般地,我们把用

________､________或________表达的,可以判断真假的________叫命题,其中判断为________的语句叫________,判断为________的语句叫________.

(2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的________,q叫做命题的________.

语言符号式子语句真真命题假假命题条件结论教材回归

1.命题

(1)一般地,我们把用

____(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为

________,它的否命题为

________,它的逆否命题为

________.

(4)互为逆否的命题是

________,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为

________个.

若q则p

若¬p则¬q若¬q则¬p等价的0､2､4(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为

_______(5)否命题与命题的否定的区别:

首先,只有“若p则q”形式的命题才有否命题,其形式为“若¬p则¬q.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.

(5)否命题与命题的否定的区别:

首先,只有“若p则q”形式2.充要条件

(1)“若p则q”为真命题是指

________________,这时我们就说由p可以推出q,记作

________,并说p是q的

________条件,q是p的

________条件.

(2)若既有p⇒q又由q⇒p,则p是q的

________条件,记作

________.

由p通过推理可以得出qp⇒q充分必要充分必要p⇔q

2.充要条件

(1)“若p则q”为真命题是指

______(3)从集合的角度认识充分条件､必要条件.

设A､B为两个集合,A={x|p(x)},B={x|q(x)}

则①若A

B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;

②若B

A,则p是q的必要条件;

③若A=B,则p是q的充要条件.

(4)“q⇒p”⇔“¬p⇒¬q”;“p⇒q”⇔“¬q⇒¬p”.

(3)从集合的角度认识充分条件､必要条件.

设A､B为两个集3.反证法证明命题的一般步骤

(1)__________,(2)_______________________,

(3)___________________.

反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.

否定结论

从假设出发,经过推理论证得出矛盾断定假设错误,肯定结论成立3.反证法证明命题的一般步骤

(1)__________,考点陪练

1.★(2010·新创题,易)

在命题“若抛物线y=a+bx+c的开口向上,则{x|ax2+bx+c>0}≠∅”的逆命题,否命题,逆否命题中以下结论成立的是()

A.都真B.都假

C.否命题真D.逆否命题真

答案:D考点陪练

1.★(2010·新创题,易)

在命题“若抛解析:当抛物线y=ax2+bx+c的开口向上时,函数图象一定在x轴上方有一部分(或全部),因此不等式ax2+bx+c>0一定有解,即{x|ax2+bx+c>0}≠∅,所以原命题正确,逆否命题为真,但当{x|ax2+bx+c>0}≠∅时,抛物线的开口却不一定向上,故逆命题为假,否命题也为假,故选D.解析:当抛物线y=ax2+bx+c的开口向上时,函数图象一定2.(基础题,易)已知0<a<b,设结论甲:|x+a|<b,则下列结论中,甲的充分不必要条件是()

A.|x+b|<aB.|x-a|<b

C.|x-a|≤bD.|x+b|≤a

解析:首先求出不等式|x+a|<b的解集为(-a-b,b-a),其次分别求出四个选项中不等式的解集分别为(-a-b,a-b),(a-b,a+b),.由于0<a<b,所以在上述四个不等式的解集中,仅有(-a-b,a-b)

(-a-b,b-a),故|x+b|<a可推出|x+a|<b,但反之不成立.

答案:A2.(基础题,易)已知0<a<b,设结论甲:|x+a|<b评析:如果A

B,则“x∈A”可推出“x∈B”,但是“x∈B”却推不出“x∈A”,所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.因此,本题在四个选项中寻找甲的充分不必要条件,就是寻找四个选项中所给出的不等式的解集中,哪一个解集是甲的解集的真子集.

评析:如果AB,则“x∈A”可推出“x∈B”,但是“x∈B3.(基础题,易)已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,那么在以下命题中:

①M的元素都不是P的元素;

②M中有不属于P的元素;

③M中有P的元素;

④M中元素不都是P的元素,真命题的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析:①是假命题,②是真命题,否则M中的元素就都是P的元素,③M中可以无P中元素,所以为假命题;④真命题.

答案:B3.(基础题,易)已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析:当a>0且b>0,a+b>0且ab>0成立.当a+b>0且ab>0时,得a,b同号,又a+b>0,∴a>0且b>0.

答案:C4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且a5.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析:由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β.反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.答案:B5.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则解读高考第二关热点关

类型一:判断命题及其真假

解读高考第二关热点关

类型一:判断命题及其真假

解题准备:

1.判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.

2.判断命题的真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.

解题准备:

1.判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.典例1(反例法)有下列四个命题:

(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;

(2)“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;

(3)“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题;

(4)“若ab是无理数,则a､b是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

典例1(反例法)有下列四个命题:

(1)“若x+y=0,则x解：(1)逆命题为“若x､y互为相反数,则x+y=0”是真命题.

(2)∵原命题为假,∴其逆否命题为假.

(3)否命题为“若x>-3,则x2+x-6≤0”,假如x=4>-3,但x2+x-6=14>0,故为假.

(4)逆命题“若a､b是无理数,则ab也是无理数”,假如a=(,b=,则ab=2是有理数.故为假.

答案：B

评析：判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明.

解：(1)逆命题为“若x､y互为相反数,则x+y=0”是真命典例2(数形结合)

判断命题“已知a､x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.

典例2(数形结合)

判断命题“已知a､x为实数,如果关于x的解：原命题:已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1.逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a<1,所以4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.

解：原命题:已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a评析：直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.本题还可利用原命题与其逆否命题互为等价命题的性质来解.此解的求解用到抛物线与x轴交点问题,借助图形解决问题.评析：直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.本探究1：(等价转化)判断命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.

分析：可以直接进行逻辑推理判断,可以从逆否命题直接判断,也可以先判断原命题的真假,然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解.

探究1：(等价转化)判断命题“若m>0,则x2+x-m=0有解法1:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0.

∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0.

∴方程x2+x-m=0有实数根.

∴原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真.

又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.

解法1:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0.

∴方程x2+解法2:原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”.

∵x2+x-m=0无实数根,

∴Δ=4m+1<0,

∴m<-≤0.

∴若x2+x-m=0无实数根,则m≤0为真.

解法2:原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否解法3:p:m>0,q:x2+x-m=0有实根,¬p:m≤0,¬q:x2+x-m=0无实数根.

∴¬p:A={m|m≤0},

¬q:B={m|方程x2+x-m=0无实数根}=.

∵B⊆A,∴“若¬q,则¬p”为真,

即“若方程x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.

解法3:p:m>0,q:x2+x-m=0有实根,¬p:m≤0评析：解法1:本解法是直接进行逻辑推理判断的.

解法2:本解法从逆否命题入手直接判断.

解法3:本解法是利用原命题与逆否命题的等价关系判断的.

评析：解法1:本解法是直接进行逻辑推理判断的.

解法2:本解类型二:四种命题及其关系

解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:①当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;②原命题､逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个､2个､4个.

类型二:四种命题及其关系

解题准备:互为逆否关系的命题是等价典例3分别写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题､命题的否定,并判断它们的真假:

(1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根;

(2)若x,y都是奇数,则x+y是偶数;

(3)若xy=0,则x=0或y=0;

(4)若x2+y2=0,则x,y全为0.

典例3分别写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题､命题的否定(1)原命题是真命题;

逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q≤1,为真命题;

否命题:若q>1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题;

逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q>1,为真命题;

命题的否定:若q≤1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.

(2)原命题是真命题;

逆命题:若x+y是偶数,则x,y都是奇数,是假命题;

否命题:若x,y不都是奇数,则x+y不是偶数,是假命题;

逆否命题:若x+y不是偶数,则x,y不都是奇数,是真命题;

命题的否定:x,y都是奇数,则x+y不是偶数,是假命题.(1)原命题是真命题;

逆命题:若方程x2+2x+q=0有实(3)原命题为真命题;

逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题;

否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0,是真命题;

逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0,是真命题;

命题的否定:若xy=0,则x≠0且y≠0,是假命题.

(3)原命题为真命题;

逆命题:若x=0或y=0,则xy=0(4)原命题为真命题.

逆命题:若x,y全为0,则x2+y2=0,为真命题;

否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为0,为真命题;

逆否命题:若x,y不全为0,则x2+y2≠0,为真命题;

命题的否定:若x2+y2=0,则x,y不全为0,是假命题.

(4)原命题为真命题.

逆命题:若x,y全为0,则x2+y2(1)注意:①“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,因为“x,y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”､“x不是奇数y是奇数”､“x,y都不是奇数”三种情况;②“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”,而不是“x≠0或y≠0”,因为“x=0或y=0”包含“x=0且y≠0”,“x≠0且y=0”､“x=0且y=0”三种情况.

(1)注意:①“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,(2)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.

(3)互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以①当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;

②原命题､逆命题､否命题､逆否命题这四个命题真命题的个数可能是0个､2个､4个.

(2)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的类型三:充分必要条件的判定与证明

类型三:充分必要条件的判定与证明

解题准备:1.判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义:如果p⇒q,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件;如果q⇒p,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.

2.有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”⇒“结论”是证明充分性,由“结论”⇒“条件”是证明必要性.证明分两个环节:一是充分性;二是必要性.

解题准备:1.判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利2.有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”⇒“结论”是证明充分性,由“结论”⇒“条件”是证明必要性.证明分两个环节:一是充分性;二是必要性.

2.有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,典例4(探究问题)方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是什么?

典例4(探究问题)方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的命题及其关系充分与必要条件课件命题及其关系充分与必要条件课件探究2：是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.

分析：“4x+p<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的p的范围.

探究2：是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>命题及其关系充分与必要条件课件［评析］本题用集合的包含关系去理解更容易解答，注

意结合数轴确定ｐ的范围．［评析］本题用集合的包含关系去理解更容易解答，注

意结合笑对高考第三关成熟关

名师纠错

误区一:四种命题的结构不明致误

笑对高考第三关成熟关

名师纠错

误区一:四种命题的典例1写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.

剖析：解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.

正解：逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命题;

否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题;

逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.典例1写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,评析：四种命题的结构与等价关系

如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”.这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系.

评析：四种命题的结构与等价关系

如果原命题是“若A,则B”,变式1:命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是()

A.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数

B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数

C.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数

D.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数

变式1:命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在解析:先写其逆命题“若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”,再同时否定这个命题的条件和结论,即“若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数”.

答案:B解析:先写其逆命题“若loga2<0,则函数f(x)=log典例2若p:a∈R,|a|<1,q:关于x的二次方程x2+(a+1)x+a-2=的一个根大于零,另一个根小于零,则p是q的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

剖析：解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件,把充分条件当成必要条件而致误.典例2若p:a∈R,|a|<1,q:关于x的二次方程x2+(正解：p:a∈R,|a|<1⇔-1<a<1⇒a-2<0,可知方程的两根异号,条件充分;条件不必要,如a=1时,方程的一个根大于零,另一个根小于零.也可以把命题q中所有的a值求出来,再进行分析判断,实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0,本题就是a-2<0,即a<2.故选A.

正解：p:a∈R,|a|<1⇔-1<a<1⇒a-2<0,可知评析：充要条件

对于两个条件A,B,如果A⇒B成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;如果B⇒A成立,则A是B的必要条件,B是A的充分条件;如果A⇔B,则A,B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断.

评析：充要条件

对于两个条件A,B,如果A⇒B成立,则A是B变式2:已知h>0,设命题甲:

两个实数a,b满足|a-b|<2h;命题乙:两个实数a,b满足|a-1|<h且|b-1|<h,那么甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:B变式2:已知h>0,设命题甲:

两个实数a,b满足|a-b|命题及其关系充分与必要条件课件解题策略

1.理解充分条件､必要条件､充要条件的含义,以便对题目作出正确的选择;

2.由于充要条件是数学中的重要概念之一,不仅在高考中是热考内容,也是平时解决各种题目,研究各种问题的基础与工具,因此需要掌握一些常见的判断方法,如定义法､集合法､等价转化法等.

解题策略

1.理解充分条件､必要条件､充要条件的含义快速解题

典例有6名歌手进入决赛的电视歌曲大将赛,组委会只设一名特别奖.赛前观众A猜:不是1号就是2号能获特别奖;B猜:3号不可能获特别获:C猜:4､5､6号都不可能获特别奖;D猜;能获特别奖的是4､5､6号中的一个,赛后结果表明,四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了?几号歌手获特别奖?

分析思维过程：可由C､D所猜入手.这两人所猜是对立的,但D与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证.

快速解题

典例有6名歌手进入决赛的电视歌曲大将赛,组委分析思维过程：可以明显看出C､D所猜是对立的.若C猜对了,则B､D都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对,就不可能是1号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么A､B､D都没有猜对,只有C猜对了.

分析思维过程：可以明显看出C､D所猜是对立的.若C猜对了,则解：将A､B､C､D四人猜的结果分别记为命题PA､PB､PC､PD,则PC与PD必一真一假.若PD为真,则PB也真,不合题意,则PC应为真.由题意,则PA必为假.当PA假时,只有3号能获特别奖.此时再看PA､PB､PC､PD四命题,只有PC是真的,符合题意.故C猜对了,3号获得特别奖.

快解：将所猜能获奖的记为√,不能获奖记为×,由题意得下表:解：将A､B､C､D四人猜的结果分别记为命题PA､PB､PC从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3号歌手得了特别奖.从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3号得分主要步骤：本题主要是入手抓住C､D所猜结果对立,必有一人猜对.假设其中一人是对的,若推下去不合题意,则另一人必对,于是思路清晰,结果渐趋明朗.

易丢分原因：如果切入点抓不准,则解答起来很乱,无头绪,当然花费时间也较多,也难以得分.比较以上两种解法,后者显然比前者优越得多.

得分主要步骤：本题主要是入手抓住C､D所猜结果对立,必有一人教师备选判断充分､必要条件“四法”充分､必要条件的判断是用来确定命题中条件与结论间的相互关系,贯穿于数学的各个领域,因而成为高考的热点之一.以下介绍四种判断方法,供同学们参考.1.利用定义若p⇔q,则p是q的充要条件;若p⇒q,且q⇏p,则p是q的充分不必要条件;若p⇏q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;若p⇏q且q⇏p,则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.教师备选典例1设a､b､c分别是△ABC的三个内角A､B､C所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的()

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分又不必要条件

典例1设a､b､c分别是△ABC的三个内角A､B､C所对的边答案：A答案：A2.利用集合间的关系充分､必要条件可以从集合的包含关系的角度来理解.设满足条件p的对象组成的集合为P,满足条件q的对象组成的集合为Q.(1)如果P⊆Q,则p为q的充分条件,其中当P

Q时,p为q的充分不必要条件.(2)如果Q⊆P,则p为q的必要条件,其中当QP时,p为q的必要不充分条件.(3)如果P⊆Q,且Q⊆P,即P=Q,则p为q的充要条件.(4)如果以上三种关系均不成立,即P､Q之间没有包含或相等关系,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.2.利用集合间的关系典例2若p:|3x-4|>2,q:>0,则¬p是¬q的什么条件?

典例2若p:|3x-4|>2,q:>命题及其关系充分与必要条件课件评析：若A

B,则A是B的充分不必要条件,即“小范围”是“大范围”的充分不必要条件.

评析：若AB,则A是B的充分不必要条件,即“小范围”是“大3.利用传递关系

对于较复杂的(如连锁式)关系,常利用⇒,⇐,⇔,⇏等符号进行传递,根据这些符号所组成的图示就可以得出结论.

3.利用传递关系

对于较复杂的(如连锁式)关系,常利用⇒,典例3若p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：p､q､r､s的关系可表示为p⇒r,s⇐r,q⇐s,即p⇒r,r⇒s,s⇒q.

又r⇏p,所以q⇏p.故p是q的充分不必要条件.

答案：A

典例3若p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s4.利用等价关系

由于原命题与逆否命题是等价的,当正面对命题进行判断较为复杂,而判断其逆否命题又较为简便时,可将其等价转化为判断逆否命题.

4.利用等价关系

由于原命题与逆否命题是等价的,当正面对命典例4对于实数x､y,判断“x+y≠8”是“x≠2,或y≠6”的什么条件.

设p:“x+y≠8”,q:“x≠2,或y≠6”,判断p是q的什么条件,也就是判断p⇒q与q⇒p哪一个成立.

解：因为“p⇒q”与“¬q⇒¬p”,“q⇒p”与“¬p⇒¬q”等价,所以从“x=2,且y=6”⇒“x+y=8”及“x+y=8”⇒“x=2,且y=6”的判断入手,易知“¬q⇒¬p”､“¬p⇏¬q”,所以“p⇒q”､“q⇏p”,即“x+y≠8”是“x≠2,或y≠6”的充分不必要条件.典例4对于实数x､y,判断“x+y≠8”是“x≠2,课时作业二命题及其关系､充分条件与必要条件

课时作业二命题及其关系､充分条件与必要条件

一､选择题

1.★(2010·新创题,易)在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,则{x|ax2+bx+c>0}≠∅”的逆命题,否命题,逆否命题中以下结论成立的是()

A.都真B.都假

C.否命题真D.逆否命题真

解析:当抛物线y=ax2+bx+c的开口向上时,函数图象一定在x轴上方有一部分(或全部),因此不等式ax2+bx+c>0一定有解,即{x|ax2+bx+c>0}≠∅,所以原命题正确,逆否命题为真,但当{x|ax2+bx+c>0}≠∅时,抛物线的开口却不一定向上,故逆命题为假,否命题也为假,故选D.

答案:D

一､选择题

1.★(2010·新创题,易)在命题“若抛物线2.(2010·南京模拟)(基础题,易)若p:x2-x-2<0,q:>0,则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析:p:-1<x<2,q:x>-1且x≠1,故选D.答案:D2.(2010·南京模拟)(基础题,易)若p:x2-x-23.(2010·山东济南一模)(基础题,易)设集合I是全集,A⊆I,B⊆I,则“A∪B=I”是“B=∁IA”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析:当A∩B≠∅时,B≠∁IA,故由“A∪B=I”不能推出“B=∁IA”.答案:B

3.(2010·山东济南一模)(基础题,易)设集合I是全集4.(2010·惠州调研)(基础题,易)原命题:“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”的逆命题､否命题､逆否命题中真命题共有

()

A.0个B.1个C.2个D.3个

解析:由题意可知,原命题正确,逆命题错误,所以否命题错误,而逆否命题正确,故选B.

答案:B

4.(2010·惠州调研)(基础题,易)原命题:“设a,b5.(2010·山东潍坊)(基础题,易)下列判断错误的是()

A.命题“若q则p”与命题“若¬p则¬q”互为逆否命题

B.“am2<bm2”是“a<b”的充要条件

C.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假

D.命题“∅

{1,2}或4∈{1,2}”为真

解析:m=0时,“a<b”不能推出“am2<bm2”,故“am2<bm2”不是“a<b”的充要条件.

答案:B

5.(2010·山东潍坊)(基础题,易)下列判断错误的是(6.(2010·江苏如皋模拟)(能力题,中)设命题p:在直角坐标平面内,点M(sinα,cosα)与N(|a+1|,|a-2|)(a∈R)在直线x+y-2=0的异侧;命题q:若向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角.以下结论正确的是()

A.p或q为真,p且q为真B.p或q为真,p且q为假

C.p或q为假,p且q为真D.p或q为假,p且q为假

6.(2010·江苏如皋模拟)(能力题,中)设命题p:在直答案:B解析:命题q:若向量a､b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角,显然为假,因为当a=b时,a·b>0,但是a与b的夹角是0;点M(sinα,cosα)在单位圆上,在直线x+y-2=0的左下侧,因为x=|a+1|,y=2-|a+1|<|a-2|⇔2<|a-2|+|a+1|,而,所以点N(|a+1|,|a-2|)(a∈R)在直线x+y-2=0的右上侧,故命题p正确,选B.

答案:B解析:命题q:若向量a､b满足a·b>0,则a与b的评析:尽管命题及其关系､充分条件和必要条件已经成为新课标的选修内容,但是由于它是数学逻辑的基础知识,因此,在高考中的地位并没有降低.近几年的高考命题中,命题成立的充分､必要及充要条件的求解和判断问题,四种命题的关系已经成为了高考命题者的首选素材.一方面这类问题具有很深广的开放性,另一方面命题的空间非常广阔,可以与多个知识点进行交汇,命题的素材更是随处可见.因而此类命题将成为新课标高考的一个考查方向.

评析:尽管命题及其关系､充分条件和必要条件已经成为新课标的选本题综合考查命题的真假判断､向量､线性规划等有关知识,本题中难点是判断N(|a+1|,|a-2|)(a∈R)在直线x+y-2=0的哪一侧,可以借助于线性规划中不等式表示区域的判断方法进行.

本题综合考查命题的真假判断､向量､线性规划等有关知识,本题中二､填空题

7.(基础题,易)设p,r都是q的充分条件,s是q的充要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的________条件,r是t的________条件.(用充分､必要､充要填空)

充分充要二､填空题

7.(基础题,易)设p,r都是q的充分条件,s解析:由题意可画出图形:.由图形可看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.

解析:由题意可画出图形:8.★(2010·新创题,易)令P(x):ax2+3x+2>0,若对任意x∈R,P(x)是真命题,则实数a的取值范围是