高考数学二轮复习 专题02 函数的概念与基本初等函数I(含解析)

专题02函数的概念与基本初等函数I1．【2022年全国甲卷】函数y=3x−3−xA． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令f(x)=(3则f(−x)=(3所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x∈(0,π2)时，3故选：A.2．【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>【详解】由9m=10可得m=log910=lg10lg9又lg8lg10<lg8+所以b=8m−9<故选：A.3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是(

)A．y=−x3+3xx2【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设f(x)=x3−x设ℎ(x)=2xcosxx2所以ℎ(x)=2x设g(x)=2sinx故选：A.4．【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则f(k)k=122=A．−21 B．−22 C．−23 D．−24【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x−2)=−2，从而得到f3+f5+…+f21=−10，f4【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2−x因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即所以f3f4因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，联立得，g2−x所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1所以k=122故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=A．−3 B．−2 C．0 D．1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f【详解】因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f因为f2=f1−f0=1−2=−1，f3一个周期内的f1所以k=122故选：A．6．【2022年北京】己知函数f(x)=11+2x，则对任意实数A．f(−x)+f(x)=0 B．f(−x)−f(x)=0C．f(−x)+f(x)=1 D．f(−x)−f(x)=【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】f−xf−x故选：C．7．【2022年北京】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是(

A．当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态B．当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态C．当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与lgP【详解】当T=220，P=1026时，lgP>3当T=270，P=128时，2<lg当T=300，P=9987时，lgP另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.当T=360，P=729时，因2<lg故选：D8．【2022年浙江】已知2a=5,log83=bA．25 B．5 C．259 D．【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为2a=5，b=log83=故选：C.9．【2022年新高考1卷】(多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，若fA．f(0)=0 B．g−12=0【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为f(32−2x)所以f(32−2x)=f(32所以f(3−x)=f(x)，g(4−x)=g(x)，则f(−1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=3又g(x)=f'(x)所以g(3所以g(4−x)=g(x)=−g(3−x)，所以g(x+2)=−g(x+1)=g(x)，所以g(−12)=g(若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.10．【2022年全国乙卷】若fx=lna+1【答案】

−12；

【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】因为函数fx由a+11−x≠0可得，1−xa+1−ax≠0，所以x=a+1a=−1，解得：a=−12，即函数的定义域为故答案为：−12；11．【2022年北京】函数f(x)=1【答案】−【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为fx=1x+1−x，所以故函数的定义域为−∞故答案为：−12．【2022年北京】设函数f(x)=−ax+1,    x<a,(x−2)2,    【答案】

0(答案不唯一)

1【解析】【分析】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件，a>0时函数y=−ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x−2)2的最小值，根据定义域讨论可知−a2+1≥0或−【详解】解：若a=0时，f(x)={1(x−2)2,x<0若a<0时，当x<a时，f(x)=−ax+1单调递增，当x→−∞时，f(x)→−∞，故若a>0时，当x<a时，f(x)=−ax+1单调递减，f(x)>f(a)=−a当x>a时，f∴−a2+1≥0解得0<a≤1，综上可得0≤a≤1；故答案为：0(答案不唯一)，113．【2022年浙江】已知函数f(x)=−x2+2,    x≤1,x+1x【答案】

3728

3+3【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.【详解】由已知f(12)=−所以ff(当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤31≤f(x)≤3等价于−1≤x≤2+3，所以[a,b]⊆[−1,2+所以b−a的最大值为3+3故答案为：3728，3+1．(2022·河南·模拟预测(文))已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．2 C．5 D．7【答案】C【解析】【分析】令SKIPIF1<0，利用函数奇偶性计算作答.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故选：C2．(2022·全国·模拟预测(理))若幂函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列关于函数SKIPIF1<0的说法正确的是(

)①SKIPIF1<0不是周期函数

②SKIPIF1<0是单调函数

③SKIPIF1<0关于原点对称

④SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】C【解析】【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，求导利用函数单调性解不等式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，结合性质分析判断．【详解】∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增则SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是周期函数，则存在非零实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0总成立，但SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无意义，SKIPIF1<0，故两者不相等，故SKIPIF1<0不是周期函数，①正确；SKIPIF1<0不是单调函数，②错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是奇函数，③错误；SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，④正确；故选：C．3．(2022·河南省杞县高中模拟预测(理))已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．6 B．4 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】构造函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即可得解.【详解】将SKIPIF1<0的图像向左平移1个单位长度，得到SKIPIF1<0的图像，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B．4．(2022·全国·模拟预测(理))已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是(

)A．SKIPIF1<0是以2为周期的偶函数 B．SKIPIF1<0是以2为周期的奇函数C．SKIPIF1<0是以4为周期的偶函数 D．SKIPIF1<0是以4为周期的奇函数【答案】D【解析】【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0即可求出SKIPIF1<0的周期，再由SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0为奇函数.【详解】SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，在①中将SKIPIF1<0变换为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②，在②将SKIPIF1<0变换为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数.故选：D.5．(2022·河南安阳·模拟预测(理))关于函数SKIPIF1<0有下述四个结论：①SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称

②SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减③SKIPIF1<0的极大值为0

④SKIPIF1<0有3个零点其中所有正确结论的编号为(

)A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】【分析】根据给定函数，计算SKIPIF1<0判断①；探讨SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调性判断②；探讨SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调性判断③；求出SKIPIF1<0的零点判断④作答.【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对于①，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，①正确；对于②，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，②不正确；对于③，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极大值SKIPIF1<0，③正确；对于④，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D【点睛】结论点睛：函数SKIPIF1<0的定义域为D，SKIPIF1<0，存在常数a使得SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0图象关于直线SKIPIF1<0对称.6．(2022·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是奇函数，则(

)A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称C．SKIPIF1<0是奇函数 D．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称【答案】C【解析】【分析】由周期函数的概念易知函数SKIPIF1<0的周期为2，根据图象平移可得SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，进而可得奇偶性.【详解】由SKIPIF1<0可得2是函数SKIPIF1<0的周期，因为SKIPIF1<0是奇函数，所以函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，故选：C.7．(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则(

)A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为“同形”函数B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为“同形”函数，且它们与SKIPIF1<0不为“同形”函数C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为“同形”函数，且它们与SKIPIF1<0不为“同形”函数D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为“同形”函数，且它们与SKIPIF1<0不为“同形”函数【答案】A【解析】【分析】根据题中“同形”函数的定义和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均可化简成以3为底的指数形式，可得答案．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象可分别由SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位、向右平移1个单位得到，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为“同形”函数．故选：A．8．(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))定义在R上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数t的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得SKIPIF1<0，两边平方转为恒成立求解即可.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的对称轴方程为SKIPIF1<0．若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．故选：D．9．(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．10 C．4 D．2【答案】B【解析】【分析】首先得到SKIPIF1<0的周期，再根据函数的周期性计算可得；【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0是周期函数，且4是它的一个周期，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故选：B.10．(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)下列函数中，既是偶函数又在SKIPIF1<0上单调递减的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.【详解】对于A，函数SKIPIF1<0的定义域为R，关于原点对称，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，故A不符合题意；对于B，函数SKIPIF1<0的定义域为R，关于原点对称，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为奇函数，由幂函数的性质知函数SKIPIF1<0在R上单调递增，所以函数SKIPIF1<0在R上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数SKIPIF1<0的定义域为R，关于原点对称，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故C符合题意；对于D，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故D不符合题意.故选：C.11．(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.【详解】根据题意可得只需SKIPIF1<0即可，由题可知a为对数底数且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由复合函数单调性可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.综上：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0_________．【答案】-1【解析】【分析】利用偶函数的定义直接求解.【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为R.因为函数SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，亦即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0.故答案为：-113．(2022·全国·模拟预测(理))已知函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0______．【答案】1【解析】【分析】利用偶函数定义列出关于SKIPIF1<0的方程，解之即可求得实数SKIPIF1<0的值【详解】函数SKIPIF1<0为偶函数，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立则SKIPIF1<0恒成立即SKIPIF1<0恒成立则SKIPIF1<0，经检验符合题意.故答案为：114．(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(文))已知定义在(0，+SKIPIF1<0)上的函数f(x)满足：SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0在(0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由题意知直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像有三个交点，利用导数研究函数SKIPIF1<0的性质，结合数形结合的数学思想即可求出k的取值范围.【详解】方程SKIPIF1<0在(0，2]上恰有三个根，即直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像有三个交点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以f(x)在(0，SKIPIF1<0)上单调递减，f(x)在(SKIPIF1<0，1]上单调递增.结合函数的“周期现象”得f(x)在(0，2]上的图像如下：由于直线l；SKIPIF1<0过定点A(0，SKIPIF1<0).如图连接A，B(1，0)两点作直线SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0的切线l2，设切点P(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，其中SKIPIF1<0，则斜率SKIPIF1<0切线SKIPIF1<0过点A(0，SKIPIF1<0).则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0绕点A(0，SKIPIF1<0)在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间旋转时.直线