高二数学上学期期中测试卷10（解析版）

高二数学上学期期中测试卷10高二数学考试时间：120分钟命题：虎山中学高二数学备课组一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间的点关于原点的对称点公式即可得出答案.【详解】根据空间的点关于原点的对称点公式可得，点关于原点对称点的坐标为.故选：B.2.平行直线与之间的距离为（）A. B. C.3 D.0【答案】B【解析】【分析】利用两条平行直线的距离公式即可求解.【详解】由，得，所以平行直线与之间的距离为.故选：B.3.如图，在四面体中，，分别是，的中点，为上一点，且，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可知，，，然后根据，代入计算即可.【详解】因为，分别是，的中点，所以，.因为，所以.故选：D.4.已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线的斜率分别为,结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，故选：B5.如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，则，，所以.又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.6.从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线方程为（）A. B.C D.【答案】C【解析】【详解】结合对称点坐标及反射光线斜率直接写出点斜式方程，整理一般方程即可.【点睛】点关于y轴的对称点为，由于入射光线与平行，所以反射光线的斜率是，则y-3=-(x+2)，整理得x+y-1=0.故选：C.7.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下股子朝上面的点数.用表示红色股子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“为奇数”，事件“”，事件“”，则下列结论不正确的是（）A. B.A与互斥C.与独立 D.A与独立【答案】D【解析】【分析】A选项，利用古典概型求概率公式得到，从而得到；由得到B正确；求出，判断出与独立，由得到D错误.【详解】由题意得：当一奇一偶时，为奇数，若为奇数，为偶数，有种情况，同理若为偶数，为奇数，有种情况，则共有种情况则，，故，A选项正确；因为当一奇一偶时，为奇数，故，同理当时，一定是偶数，故，互斥，B选项正确；“”包含或6，而可能取值为6种，故共有种情况，故，而事件包含两种情况，即，故，由，得与独立，C正确；因为，故A与B不独立，D错误.故选：D8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解【详解】在中，，故题干条件可化为，由余弦定理得，故，又由正弦定理化简得：，整理得，故或（舍去），得为锐角三角形，故，解得，故故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.【详解】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；若，则，即有，可得，解得，则，故B错误，D正确．故选：AD10.下列说法正确的是（）A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B.若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D.过两点的直线方程为【答案】AD【解析】【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；故选：AD.11.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A若非零向量满足，则B.任意向量满足C.若为空间一基底，且，则四点共面.D.已知向量，若，则为钝角.【答案】AC【解析】【分析】根据向量共线定理判断A；根据数量积的运算律判断B；根据判断C；根据向量夹角公式求解判断D.【详解】对于A选项，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故A选项正确；对于B选项，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B选项错误；对于C选项，，，是空间的一组基底，故三点不共线，，即所以，四点共面，故C选项正确；对于D选项，当与共线且反向时，有，即，，即，故D选项错误.故选：AC.12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）A.平面B.四边形面积的最大值为C.若四边形的面积为，则D.若，则四棱锥的体积为【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量坐标表示求解.【详解】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.因为.所以.因为平面，所以，则，.若平面，则，即，，；若平面.则，即，，.因为，所以四边形的面积当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确.若四边形的面积为.则或，解得或，C不正确.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________.【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】取直线的方向向量为，因为，，所以，，，，所以点到直线的距离为.故答案为：.14.在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为________．【答案】【解析】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可求解.【详解】∵在长方体中,,，点为的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，如图：∴,,,，即，，设平面的法向量，则，即，令，则，所以∴点到平面的距离：故答案为：15.已知直线，它关于直线对称的直线方程为__________.【答案】【解析】【分析】利用对称点的中点在对称轴上以及对称点线段与对称轴斜率互相垂直列出方程组，消去即可.【详解】设对称的直线方程的点为，对称点为，直线斜率为1，则有，消去得，故答案为：16.点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD＝∠B′CD＝α，则有B′E＝4sinα，CE＝4cosα，，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当时，AB′取得最小值．【详解】解：过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD＝∠B′CD＝α，则有B′E＝4sinα，CE＝4cosα，，在△AEC中，由余弦定理得：＝25+16cos2α﹣40sinαcosα，在Rt△AEB′中，由勾股定理得：AB'2＝AE2+B′E2＝25+16cos2α﹣40sinαcosα+16sin2α＝41﹣20sin2α，∴当时，AB′取得最小值．故答案为：．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线：.（1）若直线与直线：平行，求的值；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可.（2）首先分别求出直线在轴和轴的截距，从而得到，再解方程即可.【小问1详解】因为，所以，解得.【小问2详解】令，得，即直线在轴上的截距为.令，得，即直线在x轴上的截距为.因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，解得或则直线的方程是或.18.设，向量，，，且，.（1）求；（2）求向量与夹角的大小．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】根据空间向量垂直和平行的性质，求出x、y，进而求出向量和，再进行相应运算即可.【小问1详解】由题意，，，可得，解得，则，，所以，故.【小问2详解】因为，所以，故向量与的夹角为.19.如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证：（1）CM面；（2）面面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，由法向量与方向向量的关系即可证明线面平行，（2）根据空间向量垂直可证明线面垂直，进而根据面面垂直的判断定理即可求证.【小问1详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设为平面的一个法向量，由得令，得，，则，又平面，平面.【小问2详解】如图，取的中点，连接，则..又，，又平面,平面，又平面，平面平面20.2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得众数，中位数，平均数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】由频率分布直方图可得，1000名学员成绩众数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故中位数位于之间，中位数是，平均数为：.【小问2详解】∵与的党员人数的比值为，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：，，，，，，，，，，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：，，，，，，，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.21.已知的内角所对的边分别为，若向量，相互垂直.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量，相互垂直，所以，化简可得，进而求解；（2）根据正弦定理可得，结合及三角函数性质即可求解.【小问1详解】由题意，与相互垂直由正弦定理得：，即，即，，，即，即，所以，又为三角形内角，.【小问2详解】，，由正弦定理得：.，，，，，周长的取值范围是.22.如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：.（2）求直线和平面所成角的正弦值.（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）推导出，，从而，进而，由此得到平面，从而能证明；（2）取中点，连接，，再由，，建立空间直角坐标系，利用法向量能求出直线和平面所成角的正弦值；（3）线段上存在点适合题意，设，其中，利用向量法能求出线段上存在点适合题意，且.【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点，所以，.所以，又为的中点，所以.因为平面平面，且平面，所以平面，所以.（2）取的中点，连接，所以.由（1）得，.如图建立空