大理州南涧县高二上学期期末数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年云南省大理州南涧县高二（上）期末数学试卷（理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x|2x﹣2＜1｝，B=｛x｜1﹣x≥0｝,则A∩B等于（）A．｛x|0＜x≤1｝ B．｛x|1≤x＜2} C．｛x|x≤1｝ D．｛x｜0＜x＜1}2．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（1，0) B．(0，1) C．(） D．（）3．“x＞0”是“＞0”成立的（)A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件4．命题p：∀x∈［0，1］，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列正确的是()A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p∨q为假 D．q为真5．以x轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是(）A．y=3x2或y=﹣3x2 B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2 D．y2=9x6．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A． B． C． D．7．设函数f（x）=sin（2x+），则下列关于函数f（x)的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为2πC．f（x）图线关于直线点x=﹣对称D．f（x）图象关于点（﹣，0）对称8．程序框图如图所示,该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣3 D．9．2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．18种 B．36种 C．48种 D．72种10．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(）A． B． C． D．211．已知a＞0，x,y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（)A． B． C．1 D．212．已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（)A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（本小题共4小题,每小题5分，共20分）13．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12]内的频数为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．15．已知数列｛an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1(n≥2）,则an=．16．如图,把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点则｜P1F|+｜P2F｜+｜P3F｜+|P4F｜+｜P5F|+｜P6F｜+｜P7F|=．三、解答题（本题共70分）17．平面直角坐标系xOy中,圆C方程为x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，过点A（0，3)的直线l被圆截得的弦EF长为2，求直线l的方程．18．某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y（单位：万元）之间有如下数据：广告支出x(单位：万元）1234销售收入y（单位：万元)12284256根据以上数据算得:yi=138，xiyi=418（Ⅰ)求出y对x的线性回归方程=x+,并判断变量与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？（参考公式：=，=﹣）19．已知a,b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2)若a=2，△ABC的面积为，求b，c．20．已知等比数列｛an｝中，a1=，公比q=．（Ⅰ)Sn为｛an｝的前n项和，证明：Sn=(Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列｛bn｝的通项公式．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明:PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．22．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1)．(Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1)2=1相切且与抛物线交于不同的两点M,N,当∠MON为直角时，求△OMN的面积．

2016-2017学年云南省大理州南涧县高二（上）期末数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A=｛x|2x﹣2＜1}，B=｛x｜1﹣x≥0｝,则A∩B等于(）A．｛x｜0＜x≤1} B．｛x｜1≤x＜2} C．｛x｜x≤1} D．{x｜0＜x＜1｝【考点】交集及其运算．【分析】找出集合A和B中x范围的公共部分，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={x｜2x﹣2＜1｝=｛x|x＜2｝，B={x|1﹣x≥0}=｛x|x≤1}∴A∩B=｛x｜x≤1｝故选：C2．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（1,0） B．(0,1） C．（） D．（）【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线化简得x2=y，解出，结合抛物线标准方程的形式，即得所求焦点坐标．【解答】解：∵抛物线的方程为y=4x2,即x2=y∴2p=,解得因此抛物线y=4x2的焦点坐标是（0，）．故选：D3．“x＞0"是“＞0”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当x＞0时，x2＞0，则＞0，显然成立,＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立，结合充要条件的定义，我们可得“x＞0”是“＞0”成立的充分非必要条件．【解答】解：当x＞0时,x2＞0，则＞0∴“x＞0"是“＞0”成立的充分条件；但＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立∴“x＞0"不是“＞0”成立的必要条件；故“x＞0”是“＞0”成立的充分不必要条件；故选A4．命题p：∀x∈［0，1]，ex≥1，命题q:∃x∈R,x2+x+1＜0，则下列正确的是（）A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p∨q为假 D．q为真【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别判断命题p、q的真假，只要命题p或命题q有一个命题是真命题，则p∨q为真【解答】解:命题p:∀x∈[0,1］，由指数函数y=ex的图象可得ex≥1,正确，命题q:∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立,p∨q为真,故正确．故选A．5．以x轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A．y=3x2或y=﹣3x2 B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2 D．y2=9x【考点】圆锥曲线的综合;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质．【分析】求出圆的圆心坐标，设出抛物线方程，然后求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心（1，﹣3），以x轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线设为:y2=2px，抛物线过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心，可得：9=2p,所求抛物线方程为:y2=9x，故选：D．6．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于的概率，可借助于画图求解的方法,然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解:记事件A=｛△PBC的面积大于等于的概率}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图)因为S△PBC≥的,则有；化简记得到:，因为PE平行AD则由三角形的相似性所以,事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=AB，所以P（A）==．故△PBC的面积大于等于的概率的概率为．故选C．7．设函数f（x)=sin（2x+）,则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f(x）是偶函数B．f（x）最小正周期为2πC．f（x）图线关于直线点x=﹣对称D．f(x）图象关于点（﹣，0)对称【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意利用正弦函数的奇偶性、周期性、以及图象的对称性，得出结论．【解答】解:∵函数f（x）=sin(2x+)，显然它不是偶函数,故排除A;由于它的最小正周期为=π，故排除B；当x=﹣时,函数f（x）=sin(2x+）=0，不是最值,故函数的图象关于直线x=﹣对称错，f（x）图象关于点（﹣，0）对称,故排除C，故选：D．8．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣3 D．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Si循环前/21第一圈是﹣32第二圈是﹣3第三圈是4第四圈是25第五圈是﹣36…依此类推,S的值呈周期性变化:2，﹣3，﹣，,2，﹣3,…，周期为4由于2011=4×502+3第2011圈是﹣2012第2012圈否故最终的输出结果为：﹣，故选B．9．2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．18种 B．36种 C．48种 D．72种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作,其余三人均能从事这四项工作"这一条件,分两种情况讨论:①、甲、乙中只有1人被选中,②、甲、乙两人都被选中，由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目，进而由分类计数原理，即可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论:①、甲、乙中只有1人被选中,需要从甲、乙中选出1人，担任前三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有C21•C31•A33=36种选派方案，②、甲、乙两人都被选中,则在前三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C32•A22•C32•A22=36种选派方案，则共有36+36=72中不同的选派方案；故选D．10．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点,若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A． B． C． D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出椭圆的方程为+y2=1,联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．【解答】解:∵e=，2c=2,c=1∴a=,c=1，则b==1,∴椭圆的方程为+y2=1，联立化简得:3x﹣4x=0，x=0，或x=，代入直线得出y=1，或y=则A（0，1)，B（，）∴|AB｜=，故选：B11．已知a＞0,x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A． B． C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：，z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故选：B．12．已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2)【考点】抛物线的简单性质．【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内,再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S,P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，故选A．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分)13．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10，12]内的频数为36．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率和为1,求出样本数据落在区间［10，12］内的频率，即可求出对应的频数．【解答】解：根据频率分布直方图得，样本数据落在区间［10，12]内的频率为1﹣（0。02+0。05+0.15+0。19）×2=0。18，所求的频数为0.18×200=36．故答案为：36．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b，c，若a2﹣b2=bc,sinC=2sinB,则A=30°．【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a,再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得:c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===,∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°15．已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥2)，则an=．【考点】数列递推式．【分析】利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1,确定数列{Sn｝是以1为首项，3为公比的等比数列,从而可得结论．【解答】解：n≥2时，∵an=2Sn﹣1，∴Sn﹣Sn﹣1=2Sn﹣1，∴Sn=3Sn﹣1,∵a1=1，∴S1=1∴数列｛Sn｝是以1为首项，3为公比的等比数列∴Sn=3n﹣1,∴n≥2时,an=2Sn﹣1=2•3n﹣2，又a1=1，∴an=故答案为：16．如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点则｜P1F｜+｜P2F｜+|P3F|+|P4F｜+|P5F｜+｜P6F｜+|P7F|=35．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义可求得｜P1F|+｜P2F｜+｜P3F|+｜P4F｜+｜P5F|+|P6F｜+｜P7F｜=×2a,结合椭圆的标准方程即可求得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1，∴a=5,b=4,c=3．∵F是椭圆的一个焦点，设F′为椭圆的另一焦点，依题意｜P1F｜=|P7F′|,｜P2F|=|P6F′｜，|P3F｜=|P4F′|，∴|P1F|+｜P7F｜=｜P2F|+｜P6F|=|P3F｜+｜P4F|=2a=10，∴｜P1F|+|P2F｜+|P3F｜+|P4F｜+|P5F|+｜P6F|+|P7F｜=×2a=7a=35．故答案为：35．三、解答题（本题共70分）17．平面直角坐标系xOy中，圆C方程为x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，过点A（0，3）的直线l被圆截得的弦EF长为2，求直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】过A的直线和圆相交，截得的弦长为2,可先设直线L的方程，用圆心到直线的距离和半径以及半弦长的关系来解．【解答】解：圆C方程为x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，圆心（﹣1，1），半径r=2，直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0,EF=2，不满足题意;直线l的斜率存在，设直线l的方程为kx﹣y+3=0，圆C1的圆心到l的距离为d，所以d=1．由点到直线l的距离公式得=1，所以k=,所以直线l的方程为3x﹣4y+12=0．18．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位:万元）之间有如下数据:广告支出x（单位：万元）1234销售收入y（单位：万元)12284256根据以上数据算得：yi=138，xiyi=418（Ⅰ)求出y对x的线性回归方程=x+，并判断变量与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？(参考公式：=,=﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ)由表中数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（Ⅱ）由销售收入最少为144万元，建立不等式，即可求出广告支出费用．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得，,∴线性回归方程为，变量x与y之间是正相关；（Ⅱ）依题意有,解得x≥10,所以广告支出费用至少需投入10万元．19．已知a，b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边,c=asinC﹣ccosA．（1）求A；(2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理,可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0,所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2,由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA,即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．20．已知等比数列｛an}中,a1=,公比q=．(Ⅰ)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=（Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列｛bn｝的通项公式．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（I）根据数列{an}是等比数列,a1=,公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明．（II)根据数列｛an｝的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn｝的通项公式．【解答】证明:（I）∵数列｛an｝为等比数列，a1=，q=∴an=×=,Sn=又∵==Sn∴Sn=（II）∵an=∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列｛bn}的通项公式为：bn=﹣21．如图，四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°,AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】(Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得B