3函数的最大小值与导数课件

1.3.3函数的最大(小)值与导数1.3.3函数的最大(小)值与导数21、函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；使函数取得极值的点x0称为极值点◆函数的极大值与极小值统称为极值.复习21、函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X02.如何求函数的极值？

x

a的左侧附近

aa的右侧附近

f’(x)－

0＋

f(x)减函数增函数

x

b的左侧附近

bb的右侧附近

f’(x)＋

0－

f(x)增函数减函数2.如何求函数的极值？xa的左侧附近aa的右4

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

3．最大值与最小值（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值.

4 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数导数的应用-----求函数最值.

(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值导数的应用-----求函数最值.(2)将y=f(x)的各oxyaboxyaboyoxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)xaby=f(x)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.oxyaboxyaboyoxyaby=f(x)y=f(x)y例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’

-0

+0

-0

+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.列表：例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上列表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′+0-0+0y2027-576可知函数在［－4

,4

］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－5练习、函数y=x³

+3x²－9x在[－4

,4

]上的最大值为

,最小值为

.分析:

(1)由f´(x)=3x²+6x－9=0,得x1=－3，x2=1列表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′例2：已知函数(1)求的单调减区间(2)若在区间上的最大值为,求该区间上的最小值所以函数的单调减区间为解:例2：已知函数所以函数的单调减区间为解:令解得（舍去）↘--↗极小值最小值为所以函数的最大值为,最小值为列表：令解得（舍去）↘--↗极小10解:令解得所以函数的极大值为，极小值为1、已知函数(1)求的极值(2)当在什么范围内取值时，曲线与轴总有交点↘--

+↗↘--极小值极大值

练习列表：解:令解得所以函数的极大值为曲线与轴总有交点由（1）可知，函数在区间上的极大值为，极小值为，又因，

(2)所以函数的最大值为，最小值为曲线与轴总有交点121313（04浙江文21）（本题满分12分）已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。例3（04浙江文21）（本题满分12分）例3求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:练习:最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－61求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:练习:最大值f请考察下列函数的最值的存在性1-2-211-21-21-21-2讲授新课请考察下列函数的最值的存在性1-2-211-21-21-2117

练习、求函数f(x)=xex

在区间[-1，1]内的最大值和最小值.解f′(x)=ex(x+1)≥0

故函数f(x)在区间[-1，1]内的最大值为e，最小值为-1/e.f(x)在[-1，1]上是增函数.17练习、求函数f(x)=xex在区间[-1，1例

求函数的值域．

解：由得的定义域为

所以在上单调递增，

所以,值域为另解:初等法例求函数经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。例

已知,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件(1)f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；(2)

f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b;若不存在，说明理由。