北京海淀区2024届高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析

北京海淀区2024届高一数学第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知命题：，，那么命题为（）A.， B.，C.， D.，2．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是A. B.C. D.3．下列表示正确的是A.0∈N B.∈NC.–3∈N D.π∈Q4．已知函数，记集合，，若，则的取值范围是（）A.[0,4] B.（0,4）C.[0，4) D.(0，4]5．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（）A. B.C. D.6．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.7．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A.100 B.C.50 D.8．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）A. B.C. D.9．表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是A. B.C. D.10．已知全集,集合，集合，则A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________12．已知函数，：①函数的图象关于点对称；②函数的最小正周期是；③把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同；④函数在R上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________13．已知集合，若，则_______.14．当，，满足时，有恒成立，则实数的取值范围为____________15．在中，，则_____________16．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且（1）求证：；（2）求二面角的大小18．如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，求四棱锥的体积；求证：平面；在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由19．已知函数（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值20．已知函数（Ⅰ）求的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）当时，求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量的值.21．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明在上是减函数.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【题目详解】因为命题：，是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，，故选：B2、D【解题分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.【题目详解】由题设有，令，则有即因为在区间内没有零点，故存在整数，使得，即，因为，所以且，故或，所以或，故选：D.【题目点拨】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.3、A【解题分析】根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.【题目详解】N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；在B中，，故B错误；在C中，–3∉N，故C错误；Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误故选A【题目点拨】本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.4、C【解题分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围.【题目详解】当时，，此时，符合题意.当时，，由解得或，由得或，其中，，和都不是这个方程的根，要使，则需.综上所述，的取值范围是.故选：C5、A【解题分析】根据单调性结合偶函数性质，进行比较大小即可得解.【题目详解】因为为偶函数，所以又在上为增函数，所以，所以故选：A6、C【解题分析】根据幂函数和指数函数的单调性比较判断【题目详解】∵，，∴.故选：C7、D【解题分析】利用向量的平行四边形法则求解即可【题目详解】如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，根据向量的平行四边形法则，故选：D8、D【解题分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【题目详解】对于A，的定义域为，而，但，故在定义域上不是增函数，故A错误.对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，故B错误.对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误.对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数，而，故为奇函数，符合.故选：D.9、A【解题分析】根据正方体的表面积，可求得正方体的棱长，进而求得体对角线的长度；由体对角线为外接球的直径，即可求得外接球的表面积【题目详解】设正方体的棱长为a因为表面积为24，即得a=2正方体的体对角线长度为所以正方体的外接球半径为所以球的表面积为所以选A【题目点拨】本题考查了立体几何中空间结构体的外接球表面积求法，属于基础题10、C【解题分析】先求出，再和求交集即可.【题目详解】因全集,集合，所以，又，所以.故选C【题目点拨】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解题分析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.【题目详解】令，记的零点为，因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，则，或或当时，得，，满足题意；当时，得，，满足题意；当时，，解得.综上，t的取值范围为或.故答案为：或12、②③④【解题分析】利用辅助角公式、二倍角公式化简函数、，再逐一分析各个命题，计算判断作答.【题目详解】依题意，函数，因，函数的图象关于点不对称，①不正确；，于是得的最小正周期是，②正确；，则把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数，函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同，③正确；令，则，，当时，，所以函数在R上的最大值为2，④正确，所以结论正确的序号为②③④.故答案为：②③④【题目点拨】思路点睛：涉及求含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为二次函数在闭区间上的值域或最值问题解答.13、【解题分析】根据求得，由此求得.【题目详解】由于，所以，所以.故答案为：14、【解题分析】根据基本不等式求得的最小值，由此建立不等式，求解即可.【题目详解】解：，，则，∴，当且仅当，即：时取等号，∴，∴，∴实数的取值范围为故答案为：.15、【解题分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值【题目详解】由，结合正弦定理可得，故设，，()，由余弦定理可得，故.【题目点拨】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题16、【解题分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案【题目详解】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同的公共点，由图象可知当时，满足题意，故答案为【题目点拨】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取设侧面的一个法向量为，由，及可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得所以.即所求二面角的大小为.考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.18、（1）4；（2）见解析；（3）不存在.【解题分析】利用四边形是直角梯形，求出，结合底面，利用棱锥的体积公式求解即可求；先证明，，结合，利用线面垂直的判定定理可得平面；用反证法证明，假设存在点异于点使得平面证明平面平面，与平面与平面相交相矛盾，从而可得结论【题目详解】显然四边形ABCD是直角梯形，又底面平面ABCD，平面ABCD，在直角梯形ABCD中，，，，即又，平面；不存在，下面用反证法进行证明假设存在点异于点使得平面PAD，且平面PAD，平面PAD，平面PAD又，平面平面PAD而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾【题目点拨】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19、（1）．,

（2）【解题分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果（2）利用正弦型函数的性质的应用求出结果【题目详解】（1）由题意，函数，==，所以的最小正周期：由，解得即函数的单调递减区间是

（2）由（1）知，因为，所以要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1所以，即所以m的最小值为【题目点拨】本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型20、（Ⅰ）最小正周期是，对称轴方程为；（Ⅱ）时，函数取得最小值，最小值为-2，时，函数取得最大值，最大值为1.【解题分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出对称轴及最小正周期；（Ⅱ）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【题目详解】解：（Ⅰ）由与得所以的最小正周期是；令，解得，即函数的对称轴为；（Ⅱ）当时，所以，当，即时，函数取得最小值，最小值为当，即时，函数取得最大值，最大值为.21、（1）（2）详见解析【解题分析】（1）既可以利用奇函数的定义求得的值，也可以利用在处有意义的奇函数的性质求，但要注意证明该值使得函数是奇函数.（2）按照函数单调性定义法证明步骤证明即可.【题目详解】解：（1）解法一：因为函数是定义在上的奇函数