石嘴山市重点中学2024届高一数学第一学期期末检测试题含解析

石嘴山市重点中学2024届高一数学第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则2．设，，则的结果为（）A. B.C. D.3．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.4．幂函数的图像经过点，若.则（）A.2 B.C. D.5．设a为实数，“”是“对任意的正数x，”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件6．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（）A.有最大值为1 B.有最小值为1C.有最大值为 D.有最小值为7．幂函数的图象过点，则（）A. B.C. D.8．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为A. B.C. D.9．若直线与圆相交于两点，且，则A2 B.C.1 D.10．函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点是（）A.（1，﹣1） B.（0，0）C.（0，﹣1） D.（﹣1，0）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，且，则上的最小值是_________.12．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.13．在区间上随机取一个实数，则事件发生的概率为_________.14．若函数在区间内为减函数，则实数a的取值范围为___________.15．已知，，，则___________.16．计算：_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f（x）=lg，（1）求f（x）的定义域并判断它的奇偶性（2）判断f（x）的单调性并用定义证明（3）解关于x的不等式f（x）+f（2x2﹣1）＜018．已知函数；（1）若，使得成立，求的集合（2）已知函数的图象关于点对称，当时，．若对使得成立，求实数的取值范围19．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧（1）求的值和的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值20．（1）计算：；（2）计算：21．设函数（1）若，求的值（2）求函数在R上的最小值；（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】对A，可根据面面平行的性质判断；对B，平面与不一定垂直，可能相交或平行；对C，可根据面面平行的性质判断；对D，可通过在平面，中作直线，推理判断.【题目详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项A正确，对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错误，对于选项C：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项C正确，对于选项D：若，，，设，，在平面中作一条直线，则，在平面中作一条直线，则，，，又，，，故选项D正确，故选：B.2、D【解题分析】根据交集的定义计算可得；【题目详解】解：因为，，所以故选：D3、C【解题分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【题目详解】对A，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故B错误；对C，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；对D，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.故选：C.4、D【解题分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求时的值详解】解：设幂函数，其图象经过点，，解得，；若，则，解得故选：D5、A【解题分析】根据题意利用基本不等式分别判断充分性和必要性即可.【题目详解】若，因为，则，当且仅当时等号成立，所以充分性成立；取，因为，则，当且仅当时等号成立，即时，对任意的正数x，，但，所以必要性不成立，综上，“”是“对任意的正数x，”的充分非必要条件.故选：A.6、C【解题分析】利用基本不等式的性质进行求解即可【题目详解】，，且，（1），当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：【题目点拨】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件7、C【解题分析】将点代入中，求解的值可得，再求即可.【题目详解】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.所以，故，故选：C.8、D【解题分析】选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确综上所述，故选9、C【解题分析】圆心到直线的距离为，所以，选C.10、D【解题分析】由，可得当时，可求得函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）所过定点.【题目详解】因为，所以当时有，，即当时，，则当时，，所以当时，恒有函数值.所以函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点.故选：D【题目点拨】本题考查指数函数的图像性质，函数图像过定点，还可以由图像间的平移关系得到答案，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值【题目详解】解：因为，且，，当且仅当时，即，时等号成立；故答案为：12、①.1②.4【解题分析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【题目详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,,故的取值范围是,故的最小值是1.又由图可知,,,故,故.故.又当时,.当时,,故.又在时为减函数,故当时取最大值.故答案为：(1).1(2).4【题目点拨】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.13、【解题分析】由得：，∵在区间上随机取实数，每个数被取到的可能性相等，∴事件发生的概率为，故答案为考点：几何概型14、【解题分析】由复合函数单调性的判断法则及对数函数的真数大于0恒成立，列出不等式组求解即可得答案.【题目详解】解：因为，函数在区间内为减函数，所以有，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：.15、【解题分析】由已知条件结合所给角的范围求出、，再将展开即可求解【题目详解】因为，所以，又因为，所以，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，故答案为：.【题目点拨】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知角的三角函数值的符号确定角的范围进而可求角的正弦或余弦，将所求的角用已知角表示即.16、【解题分析】求出的值，求解计算即可.【题目详解】故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）奇函数（2）见解析（3）【解题分析】（1）先求函数f（x）的定义域，然后检验与f（x）的关系即可判断；（2）利用单调性的定义可判断f（x）在（﹣1，1）上单调性；（3）结合（2）中函数的单调性及函数的定义域，建立关于x的不等式，可求【题目详解】（1）的定义域为（-1,1）因为，所以为奇函数（2）为减函数．证明如下：任取两个实数，且，===<0<0,所以在（-1,1）上为单调减函数（3）由题意：，由（1）、（2）知是定义域内单调递减的奇函数即不等式的解集为（，）【题目点拨】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义的应用，及函数单调性在求解不等式中的应用18、（1）（2）【解题分析】（1）根据的值域列不等式，由此求得的取值范围.（2）先求得在时的值域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.【小问1详解】的值域为，所以，，，所以.所以的取值范围是.【小问2详解】由（1），当时，所以在时的值域为记函数的值域为.若对任意的，存在，使得成立，则因为时，，所以，即函数的图象过对称中心(i)当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，从而在上单调递增，由对称性得，则要使，只需，解得，所以，(ii)当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，其中，要使，只需，解得，(iii)当，即时，函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，从而在上单调递减．此时要使，只需，解得，综上可知，实数的取值范围是19、（1），；（2）.【解题分析】（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值试题解析：(1)由条件得.∴.∴曲线段的解析式为.当时，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.设,,“矩形草坪”的面积为.∵，∴,故当，即时，取得最大值20、（1）；（2）.【解题分析】（1）由根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则计算（2）利用对数的换底公式和运算法则计算【题目详解】（1）原式=8+0.1+1=9.1