北京市海淀区高三一模数学文试题VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．（5分)（2013•海淀区一模）集合A={x∈N|x≤6｝，B={x∈N｜x2﹣3x＞0｝，则A∩B=()A．｛1，2}B．｛3,4，5｝C．{4，5，6}D．{3，4,5，6｝考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:求出集合A,B中不等式的解集中的自然数解，根据交集的定义,求出得到两个集合的交集．解答:解：A=｛x∈N｜x≤6}=｛0,1，2，3，4，5，6｝，B={x∈N|x2﹣3x＞0｝=｛x|x＞3,x∈N｝,∴A∩B=｛4，5,6}，故选C．点评：此题是个基础题．本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．做题时应注意理解集合B的元素．2．（5分）（2013•海淀区一模）等差数列{an｝中，a2=3，a3+a4=9则a1a6A．14B．18C．21D．27考点：等差数列的性质．3801346专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a解答：解:由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3解方程可得,a1=2，d=1∴a1a6故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用,属于基础试题3．（5分）（2013•海淀区一模）某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为（)A．B．1C．2D．﹣1考点：程序框图．3801346专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足，执行输出y，可得答案．解答:解：经过第一次循环得到x=3,不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=1，不满足判断框中的条件;经过第三次循环得到x=﹣1，满足判断框中的条件；执行“是"，y=2﹣1=，输出y值为．故选A．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时常采用写出前几次循环的结果,找规律．属于基础题．4．（5分）（2013•海淀区一模)已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+bB．f(x）=x2﹣2ax+1C．f（x)=axD．f（x）=logax考点:函数单调性的判断与证明．3801346专题:函数的性质及应用．分析：题目给出的函数分别是一次函数、二次函数，指数函数及对数函数,在a＞0时，逐一分析各函数在（0，a）上的单调性即可得到正确答案．解答：解：∵a＞0，则函数f（x)=ax+b的斜率大于0，直线f（x)=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间(0，a)上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=a，所以该函数在区间（0,a）上一定是减函数；对于函数f（x)=ax，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数,当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f(x）=logax，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数,当a＞1时,函数在R上为增函数；故满足a＞0,在区间（0,a)上一定是减函数的是f(x）=x2﹣2ax+1．故选B．点评：本题考查了函数的单调性及证明，考查了基本初等函数性质，属基础题型．5．（5分）（2013•海淀区一模）不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．3801346专题：不等式的解法及应用．分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A(1，3）,B（，），C（1，k）∴S△ABC=AC•d(d为B到AC的距离)=×（3﹣k）×（﹣1）=1,∴k=1．故选B．点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域,属于基础试题．6．（5分）（2013•海淀区一模）命题P：∃α∈R，sin（π﹣α)=cosα；命题q：∀m＞0,双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是()A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题考点：特称命题；全称命题．3801346专题：计算题．分析:由于可判断命题p为真命题，而命题q为真命题，再根据复合命题的真假判定,一一验证选项即可得正确结果．解答:解：当时，Rsin（π﹣α）=cosα，故命题p为真命题,∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m,∴c==m∴e==，故命题q为真命题．∴￢p为假命题，￢q是假命题，p∨q是真命题；故选D．点评：本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断,属于基础试题．7．(5分）（2013•海淀区一模)已知曲线f（x)=lnx在点（x0，f（x0））处的切线经过点(0，1），则x0的值为(）A．B．e2C．eD．10考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3801346专题：导数的概念及应用．分析：求出曲线方程的导函数，根据曲线方程设出切点坐标，把设出的切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把点（0，1）的坐标代入切线方程中即可求出切点的横坐标即可．解答：解:对y=lnx求导得:y′=，切点坐标为（x0,lnx0），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣lnx0=（x﹣x0)，把点（0，1）代入切线方程得：1﹣lnx0=（﹣x0），解得x0=e2,故选B．点评：本题的解题思想是设出切点的坐标，把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程，然后把原点坐标代入切线方程求出切点的横坐标，从而确定出切线的方程．8．（5分）（2013•海淀区一模)抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（）A．2B．4C．6D．4考点:抛物线的简单性质．3801346专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（,m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标,利用两点距离的公式得到FM,列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．解答：解：据题意知,△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+,F(1,0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2,∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．点评:本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区一模)在复平面上，若复数a+bi(a，b∈R)对应的点恰好在实轴上，则b=0．考点：复数的代数表示法及其几何意义．3801346专题：计算题．分析:利用复数的几何意义和点在实轴上的特点即可得出．解答:解：由复数的几何意义可知：复数a+bi（a，b∈R）对应的点为(a,b),∵此点恰好在实轴上，∴b=0．故答案为0．点评:正确理解复数的几何意义是解题的关键．10．（5分）（2013•海淀区一模）若向量，满足|｜=｜｜=｜+｜=1，则•的值为﹣．考点:平面向量数量积的运算．3801346专题：平面向量及应用．分析:利用向量的数量积运算即可得出．解答：解:∵向量，满足｜｜=｜|=｜+｜=1,∴，化为,即1,解得．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．11．（5分）(2013•海淀区一模）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16．考点：由三视图求面积、体积．3801346专题：计算题．分析:判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解:几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：V=S底×h==16．故答案为：16．点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系,判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键．12．(5分）（2013•海淀区一模)在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=，则c=4．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．3801346专题：解三角形．分析：由余弦定理可得16=4+c2﹣4c•，解方程求得c的值．解答：解：在△ABC中，∵a=4,b=2,cosA=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即16=4+c2﹣4c•，化简可得（c﹣4）（c+3）=0，解得c=4，或c=﹣3（舍去），故答案为4．点评：本题主要考查余弦定理的应用，一元二次方程的解法，属于中档题．13．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f(x）=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是a＞4．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．3801346专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f(x）的图象与x轴有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．解答:解:由题意可得函数f(x)的图象与x轴有三个不同的交点，如图所示:等价于当x≥0时，方程2x﹣a=0有一个根，且x＜0时，方程x2+ax+a=0有两个根，即⇒a＞4．故实数a的取值范围是a＞4．故答案为：a＞4．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14．（5分）(2013•海淀区一模）已知函数y=f(x)，任取t∈R，定义集合:At={y｜y=f（x）｝，点P（t，f（t））,Q(x，f(x））满足｜PQ|}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h（t）=Mt﹣mt．则（1）若函数f（x）=x，则h（1)=2；（2）若函数f(x)=sinx,则h（t)的最小正周期为2．考点：函数的周期性．3801346专题：新定义；函数的性质及应用．分析：(1）若函数f（x）=x,则点P（t，t),Q（x，x），根据|PQ｜，求得1﹣t≤x≤t+1，即Mt=1+t,mt=1﹣t，由此可得h（1）的值．（2）若函数f（x）=sinx,画出函数的图象，分析点P在曲线上从A接近B,从B接近C,从C接近D时，从D接近E时,h(t）值的变化情况,从而得到h（t）的最小正周期．解答：解：(1）若函数f（x)=x，则点P(t，t），Q（x，x),∵|PQ|，∴≤,化简可得｜x﹣t|≤1，﹣1≤x﹣t≤1，即1﹣t≤x≤t+1，即Mt=1+t,mt=1﹣t，∵h（t）=Mt﹣mt，h(1)=(1+1)﹣（1﹣1）=2．（2）若函数f(x）=sinx,此时,函数的最小正周期为=4，点P（t，sin），Q（x，sin），如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，Mt=1，mt=0，h（t）=Mt﹣mt=1．当点P在曲线上从A接近B时,h（t）逐渐增大，当点P在B点时，Mt=1，mt=﹣1,h（t）=Mt﹣mt=2．当点P在曲线上从B接近C时,h(t）逐渐见减小,当点P在C点时，Mt=1，mt=0,h(t）=Mt﹣mt=1．当点P在曲线上从C接近D时，h（t）逐渐增大，当点P在D点时,Mt=1，mt=﹣1，h（t）=Mt﹣mt=2．当点P在曲线上从D接近E时，h(t)逐渐见减小，当点P在E点时，Mt=1，mt=0,h（t）=Mt﹣mt=1．…依此类推，发现h(t）的最小正周期为2,故答案为2．点评：本题主要考查函数的周期性，体现了数形结合以及分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）(2013•海淀区一模)已知函数f(x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．(Ⅰ）求f（)的值和f(x)的最小正周期；（Ⅱ)求函数在区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点:二倍角的余弦；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．3801346专题：三角函数的图像与性质．分析:（I）利用特殊角的三角函数值即可得到，利用倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式即可得出；(II）由时,得到，再利用正弦函数的单调性即可得到最值．解答：解：（I）=2﹣1=1．∵函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2=2﹣=2﹣（1+=1﹣=cos2x+==∴函数f（x）的周期为．（II）当时,，所以当时，函数取得最小值;当时,函数取得最大值．点评:熟练掌握特殊角的三角函数值、倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．16．(13分）（2013•甘肃三模）在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A,B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分,1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点:众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．3801346专题:概率与统计．分析：(I)根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率,从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（II）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（III)通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．解答：解：（I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0。25=40人…(2分）所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0。025）=40×0。075=3…（4分）（II)该考场考生“数学与逻辑"科目的平均分为：［1×（40×0.2）+2×(40×0.1）+3×(40×0。375）+4×（40×0.25)+5×（40×0.075）]=2.9…（8分)(Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A…（9分）设这四人为甲,乙,丙，丁，其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,则在至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={｛甲，乙}，｛甲，丙}，｛甲,丁},｛乙，丙｝，｛乙,丁}，｛丙，丁}｝，一共有6个基本事件…（11分）设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．…（13分）点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．17．（14分）（2013•海淀区一模）在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4，点N在线段PB上，且．（Ⅰ)求证：BD⊥PC;（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．考点:直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；反证法与放缩法．3801346专题:证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）通过证明BD⊥平面PAC，然后证明BD⊥PC；（Ⅱ）通过证明线段成比例证明MN∥PD，利用直线平面平行的判定定理证明MN∥平面PDC；（Ⅲ）利用反证法证明直线l∥CD，推出CD∥AB与CD与AB不平行矛盾从而说明直线l与直线CD不平行．解答：解:（I)证明:（I）因为△ABC是正三角形,M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分)又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD…(2分）又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…(4分）又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC…（5分)（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=…（6分）在△ACD，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD∠CAD=30°，所以，DM=,所以BM：MD=3：1…（8分)所以BN：NP=BM：MD,所以MN∥PD…（9分）又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC,所以MN∥平面PDC…（11分）（Ⅲ)假设直线l∥CD,因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB…(12分）又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…(13分）这与CD与AB不平行,矛盾所以直线l与直线CD不平行…（14分）点评：本题考查在与平面垂直与平行的判定定理的应用,反证法的应用,考查空间想象能力与逻辑推理能力．18．（13分）（2013•海淀区一模）函数f（x）=x3﹣kx，其中实数k为常数．(I）当k=4时，求函数的单调区间；（II）若曲线y=f(x)与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性;函数的零点．3801346专题:导数的综合应用．分析：（I）先求原函数的导数,根据f′（x)＞0求得的区间是单调增区间,f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可;（II）将题中条件：“函数f（x)的图象与直线y=k只有一个公共点，"等价于“g(x）=f（x）﹣k，所以g（x）只有一个零点”,利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）的其图象和x轴只有一个交点,得到关于k的不等关系，从而求实数k的取值范围．解答：解：（I)因为f′（x）=x2﹣k…（2分)当k=4时，f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=x2﹣4=0，所以x=﹣2或x=2f′（x），f（x)随x的变化情况如下表：x(﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2(2,+∞）f′(x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增…（4分）所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞,﹣2），（2，+∞)单调递减区间是（﹣2，2）…（6分）（II）令g（x)=f(x)﹣k，所以g（x）只有一个零点…（7分）因为g′（x）=f′（x）=x2﹣k当k=0时，g(x）=x3，所以g（x）只有一个零点0…（8分）当k＜0时,g′（x）=x2﹣k＞0对x∈R成立，所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分）当k＞0时,令g′(x）=f′（x)=x2﹣k=0，解得x=或x=﹣…（10分）所以情况如下表:x(﹣∞，﹣）﹣（﹣，）（，+∞）g′(x）+0﹣0+g（x）增极大值减极小值增g（x)有且仅有一个零点等价于g（﹣)＜0…（11分)即g(﹣)=k＜0,解得0＜k＜…（12分）综上所述，k的取值范围是k＜…(13分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在极值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力，转化思想．19．(14分）(2013•海淀区一模)已知圆M：(x﹣)2+y2=，若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点(其中点G在线段AB上），且|AG｜=|BH｜,求k的值．考点:直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．3801346专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由圆心M得到．利用椭圆的离心率及b2=a2﹣c2即可得出椭圆的标准方程；(II）把直线l的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系即可得到｜GH｜，进而得出k．解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，由圆心M得到．∵,∴c=1．∴b2=a2﹣c2=1．所以椭圆C:．(II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线l与椭圆C交于两点A，B，则消去y得到（1+2k2)x2﹣2=0，则x1+x2=0，．∴｜AB｜==．点M到直线l的距离．则｜GH｜=．显然，若点H也在线段AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴,矛盾．∵｜AG｜=｜BH|，∴|AB|=|GH｜．∴，解得k2=1，即k=±1．点评:熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线l的方程与曲线的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系是解题的关键．20．（13分)(2013•海淀区一模）设A（xA，yA），B（xB,yB）为平面直角坐标系上的两点，其中xA,yA，BxB，yB∈Z．令△x=xB﹣xA，△y=yB﹣yA，若|△x|+｜△y=3,且|△x|﹣|△y｜≠0，则称点B为点A的“相关点"，记作：B=i(A）．(Ⅰ）请问：点(0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在,说明理由;（Ⅱ)已知点H（9,3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；（Ⅲ)已知P0(x0,y0）（x0∈Z，Y0∈Z）为一个定点，点列｛Pi｝满足：Pi=i（Pi﹣1)，其中i=1，2，3，…，n，求｜P0Pn｜的最小值．考点：圆的标准方程;两点间的距离公式．3801346专题：直线与圆．分析：（I）由题意可得｜△x|=1，|△y｜=2；或|△x|=2，｜△y｜=1，由此可得点（0，0）的“相关点”有8个．再根据+=5，