北京工大附中2024届高一上数学期末达标检测试题含解析

北京工大附中2024届高一上数学期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球 B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球 D.至少有一个白球与至少一个红球2．函数在上的部分图象如图所示，则的值为A. B.C. D.3．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A. B.C. D.4．已知函数（），对于给定的一个实数，点的坐标可能是（）A.(2，1) B.(2，-2)C.(2，-1) D.(2，0)5．若，则（）A B.C. D.6．设函数，，则是（）A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数7．如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）A B.C. D.8．下列说法不正确的是（）A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D.若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点9．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保险时间是（）小时A.6 B.12C.18 D.2410．若集合，则（）A.或 B.或C.或 D.或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数在区间上的值域是_____.12．已知,则的值为________13．已知函数．若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________14．某同学在研究函数

f（x）=（x∈R）

时，分别给出下面几个结论：①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（-1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④方程f（x）=x在R上有三个根其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）15．圆的半径是6cm，则圆心角为30°的扇形面积是_________16．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）若是的根，求的值（2）若，，且，，求的值18．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作交于点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求三棱锥的体积.19．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.（1）求的值；（2）若点的横坐标为，求的值.20．已知函数f(x)=2x（1）求a及f(-2)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明；（3）若当x∈(0,+∞)时，x221．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【题目详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.2、C【解题分析】由图象最值和周期可求得和，代入可求得，从而得到函数解析式，代入可求得结果.【题目详解】由图象可得：，代入可得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数值的求解，关键是能够根据正弦函数的图象求解出函数的解析式.3、B【解题分析】根据为偶函数，可得；根据在上递减得；然后解一元二次不等式可得【题目详解】解：为偶函数，所以，即，，由在上单调递减，所以，，可化为，即，解得或故选：【题目点拨】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4、D【解题分析】直接代入，利用为奇函数的性质，得到整体的和为定值.【题目详解】易知是奇函数，则即的横坐标与纵坐标之和为定值2.故选：D.5、C【解题分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果【题目详解】将式子进行齐次化处理得：故选：C【题目点拨】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论6、D【解题分析】通过诱导公式，结合正弦函数的性质即可得结果.【题目详解】，所以，，所以则是最小正周期为的奇函数，故选：D.7、D【解题分析】根据相等向量的定义直接判断即可.【题目详解】与方向不同，与均不相等；与方向相同，长度相等，.故选：D.8、D【解题分析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可【题目详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确，对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确，对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误，故选：D9、A【解题分析】先阅读题意，再结合指数运算即可得解.【题目详解】解：由题意有，，则，即，则，即该食品在的保险时间是6小时，故选A.【题目点拨】本题考查了指数幂的运算，重点考查了解决实际问题的能力，属基础题.10、B【解题分析】根据补集的定义，即可求得的补集.【题目详解】∵，∴或，故选：B【题目点拨】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】结合的单调性求得正确答案.【题目详解】根据复合函数单调性同增异减可知：在区间上递增，最小值为，最大值为，所以函数在区间上的值域是.故答案为：12、【解题分析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.【题目详解】【题目点拨】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.13、【解题分析】作出函数的图象，如图所示，当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，所以函数的图象与直线有两个交点时，有14、①②③【解题分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由只有一个根说明④错误【题目详解】对于①，任取，都有，∴①正确；对于②，当时，，根据函数的奇偶性知时，，且时，，②正确；对于③，则当时，，由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；再由的奇偶性知，在上也是增函数，且时，一定有，③正确；对于④，因为只有一个根，∴方程在上有一个根，④错误.正确结论的序号是①②③.故答案为：①②③【题目点拨】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.15、3π【解题分析】根据扇形的面积公式即可计算.【题目详解】,.故答案为：3π.16、【解题分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.【题目详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】（1）先求出，再通过诱导公式及切化弦化简原式后再代值即可；（2）通过角的范围及已知的三角函数值求出和，再运用正弦的两角差的公式计算即可.【题目详解】（1）方程解得或，因为为其解，所以.则原式由于，所以原式.（2）因为，所以，又因为，所以，因为，，可得，又，可得，而.18、（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解题分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线定理得出∥，故平面；（2）由⊥底面，得，结合得平面，于是，结合得平面，故而，结合，即可得出平面；；（3）依题意，可得试题解析：（1）连接交于点，连接∵底面是正方形，∴点是的中点又为的中点，∴∥又平面，平面，∴∥平面.（2）∵⊥底面，平面，∴∵底面是正方形，∴．又，平面，平面，∴平面．又平面，∴∵，是的中点，∴．又平面，平面，，∴平面．而平面∴.又，且，又平面，平面，∴平面.（Ⅲ）∵是的中点，.【题目点拨】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算.正确运用定理是证明的关键.19、（1）；（2）.【解题分析】(1)根据给定条件可得，再利用诱导公式化简计算作答.(2)由给定条件求出，再利用和角公式、倍角公式计算作答.【小问1详解】依题意，，所以.【小问2详解】因点的横坐标为，而点在第一象限，则点，即有，于是得，，，，所以.20、（1）a=-1，f(-2)=-（2）f(x)是奇函数，证明见解析（3）(-【解题分析】（1）根据f(1)=32求出a=-1，进而求出f(x)=2x-2-xx2和f-2；（2）定义法求解f(x)的奇偶性；（3【小问1详解】f(1)=2+a所以f(x)=2故f(-2)=【小问2详解】f(x)是奇函数证明如下：f(x)的定义域为{x∣x≠0}，f(-x)=2所以f(x)是奇函数【小问3详解】x2f(x)+m+2整理得:2x两边同乘以2x，得2当x∈(0,+∞)时，2因为2x当且仅当2x-1=1，即所以m的取值范围是(-21、（1）不是，理由见解析；（2）；（3）或.【解题分析】(1)假定函数是“自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.【小问1详解】假定函数是“自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，所以函数不“自均值函数”.【小问2详解】依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，当时，而，则，若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，于是得，，要在的值域包含，则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，从而有，解得