宁夏石嘴山市2022-2023学年高二数学重点班上学期期中理试题含解析

Page18宁夏石嘴山市2022-2023学年高二数学（重点班）上学期期中（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷为高二年级期中考试凌云班专用试卷.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，使用0.5毫米黑色中性笔，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.设全集，集合，，则∩（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】直接根据交集和补集的概念计算即可.【详解】由已知，则∩故选：C.2.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②报告厅有32排，每排有40个座位.有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了调查听众对报告会的意见，需要请32名听众进行座谈；③平罗中学共有360名教职工，其中专职教师300名，行政教辅人员36名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为60的样本．较为合理的抽样方法是（）A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【答案】A【解析】【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．【详解】观察所给的四组数据，

①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，

②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，所以选用系统抽样，

③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，

故选：A．3.一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色，且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对，白色面和黄色面相对，将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”（）A.是对立事件 B.不是互斥事件C.既不是互斥事件也不是对立事件 D.是互斥事件但不是对立事件【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.【详解】将魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生，但可以同时不发生，故“红色面朝上”和“绿色面朝下”是互斥事件但不是对立事件.故选：D4.《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部应用数学著作，其完善了珠算口诀，确立了算盘用法，并完成了由筹算到珠算的彻底转变，该书清初又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.书中卷八有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为该物的总数S，则总数S=（）A.136 B.153 C.171 D.190【答案】C【解析】【分析】执行程序框图，计算S【详解】由图可知，输出故选：C5.关于直线、与平面、，有以下四个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则.其中真命题的序号是（）A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】D【解析】【分析】根据①②③④中的已知条件判断直线、的位置关系，可判断①②③④的正误.【详解】对于①，若，且，则与平行、相交或异面，①错误；对于②，如下图所示：设，因为，在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可知，，，，，，因此，，②正确；对于③，若，，则，因为，过直线作平面使得，由线面平行的性质定理可得，，，则，因此，③正确；对于④，若，且，则与平行、相交或异面，④错误.故选：D.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．6.如图是甲、乙两名运动员在某赛季部分场次得分的茎叶图，据图可知（）A.甲的平均成绩大于乙的平均成绩，且甲发挥的比乙稳定B.甲的平均成绩大于乙的平均成绩，但乙发挥的比甲稳定C.乙的平均成绩大于甲的平均成绩，但甲发挥的比乙稳定D.乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙发挥的比甲稳定【答案】A【解析】【分析】分别计算甲乙的平均分和方差，比较大小得到答案.【详解】，，，，且.故选：A7.若、满足约束条件，则的最大值为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故选：C.8.某校举行运动会期间，将学校600名学生编号为001，002，003，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码为009.将这600名学生分别安排在看台的A，B，C三个区，001号到130号在A区，131号到385号在B区，386号到600号在C区，则样本中属于A，B，C三个区的人数分别为（）A.10，21，19 B.10，20，20C.11，20，19 D.11，21，18【答案】D【解析】【分析】系统抽样是等间隔抽样，所以抽样间隔为，且第一段中随机抽得的号码为009，所以所有抽到的号码为，根据条件列出不等式即可解得A，B，C三个区的人数.【详解】由题意知抽样间隔为，因为在第一段中随机抽得的号码为009，故所有抽到的号码为，根据条件得：A区：，即，所以可以取：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11人，同理，可得B区抽中21人，C区抽中18人.故选：D.9.设数据，，，……，的平均数为，方差为5，数据，，，……，的平均数为8，方差为，则、的值分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的性质直接求解即可.【详解】因为数据，，，……，的平均数为，数据，，，……，的平均数为8，，解得,数据，，，……，的方差为5，数据，，，……，的方差为，故选：D10.已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图所示，连接各线段，证明平面，得到即为直线与平面所成角，再计算线段长度得到答案.【详解】如图所示：为中点，连接，，作于.平面，平面，故，，，故平面，平面，故，又，，故平面，即即为直线与平面所成角.设，则，，故.故选：B11.已知实数，满足：，则的取值范围为（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点和点直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案.【详解】表示圆心为，半径的圆，表示点和点直线的斜率，如图所示：直角中，，故，，故，同理可得，对应的斜率为和.故，故选：A12.已知三棱柱ABC—A1B1C1的外接球的半径为R，若AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，则三棱柱ABC—A1B1C1的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设三棱柱的高为，底面三角形的边长为，根据勾股定理结合均值不等式得到，再计算侧面积即可.【详解】设三棱柱的高为，底面三角形的边长为，如图所示：易知，在直角中：，即，即，当，即时等号成立.侧面积.故选：C第Ⅱ卷二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上).13.过点且与直线平行的直线的方程是__________________.【答案】【解析】【分析】设与直线平行的直线的方程为，代点P计算即可.【详解】设与直线平行的直线的方程为，代入点得，解得所以过点且与直线平行的直线的方程是故答案为：14.已知，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据向量坐标运算求出，进而根据向量模的坐标公式计算得解.【详解】因为，所以，故答案为：.15.三棱锥中，底面是锐角三角形，垂直平面，若其三视图中主视图和左视图如图所示，则棱的长为______【答案】【解析】【分析】根据三视图，求得的长度，再利用勾股定理即可求得.【详解】根据主视图可知，点在的投影位于的中点，不妨设其为，故可得，根据左视图可知：，则，又面面，故可得，则.故答案为：.16.已知正方体的棱长为2，点M、N在正方体的表面上运动，分别满足：，平面，设点M、N的运动轨迹的长度分别为m、n，则_______________.【答案】##【解析】【分析】的轨迹为半径为2的球与正方体表面的交线，即3个半径为2的圆弧，要满足平面，则N在平行于平面的平面与正方体表面的交线上，可证得为，最后求值即可得【详解】点M、N在正方体的表面上运动，由，则的轨迹为半径为2的球与正方体表面的交线，即3个半径为2的圆弧，故.正方体中，平面，平面，故平面平面，当在上时，即满足平面且N在正方体的表面上，故，故.故答案为：三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.学习了《高中数学必修3》的内容后，高二年级某学生认为：月考成绩与月考次数存在相关关系.于是他收集了自己进入高二以后的前5次月考成绩，列表如下：第次月考12345月考成绩85100100105110经过进一步研究，他发现：月考成绩与月考的次数x具有线性相关关系.（1）求关于的线性回归方程；（2）判断变量与之间是正相关还是负相关（只写出结论即可）.（3）按计划，高二年级两学期共有8次月考，请你预测该同学高二最后一次月考成绩（结果保留整数）．【答案】（1）（2）正相关（3）【解析】【分析】（1）根据已知数据直接计算回归方程即可；（2）结合回归方程的系数判断即可；（3）根据（1）中方程计算时的值，估计即可.【小问1详解】解：根据已知可得，，所以，，，所以，，，所以，关于的线性回归方程为【小问2详解】解：因为关于的线性回归方程为，所以，变量与之间是正相关.【小问3详解】解：结合（1）得关于的线性回归方程为，所以，当时，所以，高二最后一次月考的成绩大约为分.18已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间和对称中心.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简得，进而可得周期；（2）将代入的单调增减区间，对称中心，求出即为所求.【小问1详解】由已知则最小正周期；【小问2详解】令，得令，得令，得，故函数的单调增区间为，单调减区间，对称中心19.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；（3）用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽取多少人？【答案】（1）（2）中位数为73，平均数为72（3）12,10,2【解析】【分析】（1）直接利用频率和为1计算得到答案.（2）直接利用平均数和中位数的公式计算即可.（3）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【小问1详解】，解得.【小问2详解】，故中位数为.平均数为.【小问3详解】，[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽人数分别为：，，.20.在△ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，.（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先利用余弦定理角化边，整理后直接用余弦定理求角；（2）利用面积公式和题中面积相等构造一个方程，再用余弦定理构造一个方程，解方程组即可.【小问1详解】，由余弦定理可得，整理得，，又；【小问2详解】由已知，整理得①又，整理得②由①②得或周长为或△ABC的周长为或21.数列的各项均为正数，，当时，.（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列前项和为，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将递推式变形为，消去即可证明，再根据等差数列的通项公式求解即可；（2）变形得，利用裂项相消法计算，再观察即可得结果.【小问1详解】由得因为数列的各项均为正数，故，，又所以是以1为首项，1为公差的等差数列.即；【小问2详解】由（1）得，，，则，，即.22.如图1，在直角梯形中，，，，E是AB的中点.沿DE将折起，使得，如图2所示.在图2中，M是AB的中点，点N在线段BC上运动（与点