固体物理学概念和习题答案

固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：给出原胞的定义。答：最小平行单元。给出维格纳-赛茨原胞的定义。答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面（或中垂线），由这些中垂面（或中垂线）所围成的最小体积（或面积）即是维格纳-赛茨原胞。二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。请描述七大晶系的基本对称性。请给出密勒指数的定义。典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。请给出晶体衍射的布喇格定律。给出布里渊区的定义。晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？写出晶体衍射的结构因子。请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16.给出声子的定义请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。简述晶体热膨胀的原因。请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。写出金属的电导率公式。给出魏德曼-夫兰兹定律。简述能隙的起因。请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。给出空穴概念。29•请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。解释直接能隙和间接能隙晶体。请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。给出半导体的电导率。说明半导体的霍尔效应与那些量有关。请解释德哈斯-范阿尔芬效应。什么叫费米液体？请给出纯金属的电导率随温度的关系。请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。请列出铁磁性固体的主要特征。请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？44.请说明Debye热容量模型的基本假设，为什么说Debye热容量模型在低温下是正确的？45.什么是近自由电子近似和紧束缚近似？46.请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？47.什么是n型半导体和p型半导体？什么是本征半导体？48.试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。固体物理学》习题注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢q的定义（q=1/入）与课堂上所用的波矢k相差2n（k=2n/入）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与国际单位制之间的转换1.在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子？n圏代n圏代农旧匸轴时视肝观疟到的体心匹方的骼点.井亦：楼点②丹离由擀点①组成的如匸8・则点阵沟hLL：如閣所示.为E经忡长的bCGjg它足饰此四月点牢如图⑹G用皿气卷同样的直肌只足观媒凶瀚度托同.图中①构感四店百心辭点』^—4-面心拮点啊的押禽肝二JL”如(7工"=二,.则点.卉？JCg对丁一軀的厂血图⑹2-E是很•軸仲设后的点阵，因此相同闵点阵从「门足体己点PE.从宀」若足而心点.阵-吉质上相同，都祿人畔社四方点昨"2＞奘似的底业四占和佶单囚方足同一刊点阵°防底叭也F不再；1冇工去对做屯所£下呑在：2.在六角晶系中常用4个指数(h,k,i,l)来表示，如图，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a,a,a上的截距为：a/h,a/k,a/i，第1231234个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l证明：i=-(h+k)并将下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(33)(10)(33)(100)(010)^3)0答：根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系:i=-(h+k)o(0001),(1323),(1100),(3213),(1010),(0110),(2133)o3•证明理想六角密堆积结构的c/a比是^=1.633，如

果c/a值比这个值大得多，可以把晶体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。A7I址明］如右圈序示.从恳内总近邻原于间砸为祥・A7I址明］如右圈序示.从恳内总近邻原于间砸为祥・而相邻两层的总近舞联子阿和为：d岂心时崗虫理想密坯极站构，此时冇；”由此弊Hh二冃r=->1.633时,则廳示原子平而的恳阿不较理懸站和的上的距大,禺此忌闭雉朝邓够紧密；在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪个晶面的原子面密度最大？答：单晶硅中，晶面上的原子密度是(111)>(110)>(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度(111)>(100)>(110)。如图的两种正六边形(边长为a)平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应如何选取其基矢和原胞？答：個)是布喇菲格子,(切是复式格子2222设心=ak丄V3十*1rIK2£a：)_4兀(a/3：1?1石十+/mV滋一M-■117六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为：(1)证明：原胞的体积是(2)证明：倒易点阵的基矢是：月=(2)证明：倒易点阵的基矢是：月=輕走+更y1/3QCLZ；亠_；因此直接点阵就是它本身的点阵，但轴经过了转动；(3)描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区S：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得1二塔于为斗右“7门h：i一迺2那么倒格子朗基矢粉=呼1=芝心竺l^(axb)o7•证明第一布里渊区的体积是的体积。此处▼「是晶体初基晶胞证明,根据正.倒格子之间的关系.2兀|込;c血］几是正格子初基原胞的林机第一布■里渊区的閣映就为倒格子原胞的林机即8.金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个原子组成；给出这个基元的结构因子；求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足h+k+l=4n,且所有指数都是偶数，n是任何整数；否则所有指数都是奇数。体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。［如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件］9•如果a表示晶格常数，0表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简

单立方晶格，式中（hkI）为密勒指数，射光波长10.画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100）,（110）,（111）为入面上的原子排列11.单立方晶格，式中（hkI）为密勒指数，射光波长10.画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100）,（110）,（111）为入面上的原子排列11.若一晶体的总互作用能可表示为试求:⑴平衡间距r0；⑵结合能W；（3）体弹性模量;(4)若m=2,n=10,r°=3,W=4eV,求a、P的值。M：⑴由平齢件（讐）=箫一岂亠得平阿间距<2）将理辉并品悴0加冇'贯他原亍対果一个原子的和互作川则系统总的内能为对朋有原子求和（皿=弓陆）=缶〔1_?）<35体超怖积认尸=肿•站中N凶原T数・r鮎e砧櫛结构翎节:fi黄的常数体弹性模込K=(V~lv^体弹性模込K=(V~lv^}12.（黄昆教材2.612.（黄昆教材2.6）用雷纳德-琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比。其屮N为|讥怖屮的总原于数a山平if乗仲山平if乗仲au可和2442代入书中给出的数堀me=0.003lek.cr=2.74/i.me=12.13.4^'=14.45-A^cc1,Afc<:=12.25.轉（黄昆教材2.7）对于也，从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为：£=50x10-23J，a=2.96A，计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合能。(A=12.13,A=14.45)（固体物理习题集1.15和黄昆教材1.11）证明六角晶体的介电常数张量为

FlC0i亍0=主0<23='：：'柿ri珀-J一-()'I~FlC0i亍0=主0<23='：：'柿l：：l―r0l：：l―叩菲||“一0000（固体物理习题集2.1）ap肌（厂j=I_|_设两原子间的互作用能可表示为：式中，第一项为引力能；第二项为排斥能；a、p均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须n>m。（固体物理习题集2.2）ap'II设两原子间的互作用能可由：表述。若m=2,n=10，而且两原子构成稳定的分子，其核间距离为：3x1O-iom,离解能为4eV试计算：⑴a和p；（2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距；（3）使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力。（固体物理习题集2.11）Ane2u（K）=A——ia——有一晶体，平均每对离子的互作用能为：式中，R是最RR近邻离子间距；a是马德隆常数；入、A为常数。若n=10,a=7.5,平衡时最近邻n距离R°=2.81x10-10m。求由2N=2x1022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能。（固体物理习题集2.21）设LiF晶体（NaCl结构）的总互作用能可写成:，式中，N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；a是马德隆常数；入、P为参量。求平衡时最近邻间距R、总结合能U和体积弹性模00量B的表达式。（固体物理习题集2.32）设NaCl晶体的互作用能可表示为：式中的N、R、p、A分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数。实验测定，NaCl晶体近邻离子的平衡间距R0=2.82x1O-i0m,体积弹性模量K=2.4x10iidyn/cm2,已知NaCI结构的马德隆常数a=1.7476,试求NaCI晶体的排斥核半径p和排斥能参数A。20.2N个正负离子组成一个一维链晶体。平衡时两个最近邻正负离子间距为R。试0证：⑴该晶体的马德隆常数为M=2ln2（2）自然平衡状态下的结合能为。_q+q0-~~9—•——0—•——O—•——G-2Ro-Ro0Ro2F?q证锻，担一了口王口两和斋二叩习卅列貧无限衣羽高m色啟三一为贾亍件妾誉离二（这样马德隆常数中的正负号可以这样取,即遇正离子取正号,遇员离子取负号儿用『表亍停「高二间即雋，于是2-=工‘旦=2[丄丄十D+_」厂y厂2「3厂4「丽边栈囚—2^囚勿仔兰看両-r目爭距窝一；的有干，一十在参芝戾子右面，一-，在三右面.1-p—-I-歳对一辺敦和忙忘乘厶m1-p—-I-a=2[1—丄十丄―23当++=n2/.J-2x221.（固体物理习题集3.5）已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为式中wm是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等N22.（固体物理习题集3.8）设有一维原子链（如图），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为P，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为卩（卩＜®。设两种原子的质量相等，最近邻原子间距均为a,试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=±L/4a时的振动频率。2n-l2n2n+lB对BBs23.（固体物理习题集3.14）设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于P和10P。若两种原子的质量相等，并且最近邻间距为a/2,试求在波矢k=0和k=n/a处的3（k），并画出其色散关系曲线。Us-1V£-iU3v3U3-1p10(3plOp总r总r的运功77程应是即mx-2n=廡叽“u|Ji—1血』y应丄乂11—QGj*ij1i—i.J*h)扌格披解，令扌格披解，令列=&，从」:B有非零解的系数行列式等于零的条件可得他一硏一屁加尹门+严％皿+10厂计巧卜0可解岀亦=并卜-"计+1）n戸議头吴孙下图f7=0EJ,=I・"片二■松L=0q=±—3寸，cos^t?=—1!q=p20&6‘=V2（x^24.（固体物理习题集3.21）考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动。设原子质量为M,点阵常数为a,最近邻原子间的恢复力常数为0,试求：1）格波的色散关系；（2）长波极限下格波的传播速度25.边长为L的正方形二维晶体，含N个原胞，试求：（1）该点阵振动的模式密度D（3）；（2）德拜截止频率VD和德拜温度0D；（3）点阵振动内能表达式和低温下比热表达式。（其中）（固体物理习题集3.30）已知一个频率为3的谐振动在温度T下的平均能量i试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。（固体物理习题集3.53）设一维原子链中，两原子的互作用能由下式表示式中x为相邻原子间距。求原子链的线胀系数a28.（固体物理习题集3.56）设某离子晶体中离子间的互作用能

式中，B为待定常数；r为近邻离子间距。求该离子晶体的线胀系数。已知近邻离子的平衡间距为3x1O-1om。呛=1.3SlxlO-1%^/Z4秽2"29.具有简立方结构的晶体，原子间距为2A，由于晶体中非谐作用的存在，一但个沿［1,1,0］方向传播的波矢为1.3x10i0m-1的声子同另一个波矢大小相等，沿［1,-1,0］方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子，试求新形成的第三个声子的波矢。30.（固体物理习题集5.10）已知金属铯的EF=1.55eV，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。31.（固体物理习题集3.14）证明：在T=0K时，费米能级E0f处的能态密度为式中N为金属中的自由电子总数证明：在丘空间屮，在周期性边界条件下，以丘为半.径的球内,电子的数目为(记及门社八4■汀3n=2V——K3闵此’dn=V■8^^dKtK-己知□Fl取广的能星-为：£--——.代入门)式得’2m(1)(2^02;dn=4^-V、E~dE同此电子按照能屋井布的状态密度:..thi(2^.)2；N(E)-——-4.tV-―EJdEh为T=OK时，仝部电于处丁-费米球内「设费米球半径为则応总数划4頁1N=2V■——KF=2V■33ir(4)3h用W试除(3)式’井稍加整理便得到下式：1E丫FF)3/V3运上式是以逊子的赍米能级为参承的能态密度表达式.肖E=E；时即得:叱)=釜32.(固体物理习题集5.16)证明：低温下金属中电子气的费米能其中为绝对零度的费米能，n为电子浓度。33.（固体物理习题集5.22）证明，在T=OK时，金属中自由电子气的压强和体积弹性模量分别为：式中Ef。为T=0K时的费米能；V、N分别代表金属的体积和自由电子总数。已知锂（体心立方结构）的晶格常数a=3.5x10-iom，费米能Ef°=7.6x10-i9J，试估计锂中自由电子对体积弹性模量的贡献。'34.（固体物理习题集5.25）证明：（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度Eo47TI2kpV~5m式中，kF为费米球半径，V为金属体积。（2）金属中电子的平均能量E0_3l2^N10771

证明：(1)处于k状态的自由电子能量为丘二莎-，k为电子液矢。当T=OK时，电子全部占据费密球内各态°在k空间中，状态密度等丁V,计入自旋，在波矢k-k+dk的球壳内的状态数为2#(4戚三必)，由此得到，费密球内电子的总能量式中气是费密球半径口当V比较大时，波矢用在厉空间的分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替,”贞2m由此得到空间能量密度为V5m因为费密球内电子的总数把⑵式代入⑴式便得电子的平均能量3h2k2N当然，上式可应用E；=学二化简为习惯的表示式35.(固体物理习题集5.12)GG铜的费米能级EF=7.1eV,试计算每单位体积铜的平均电子数，并与从密度计算得到的电子浓度相比较。已知铜的密度等于8.96g/cm3。此-"E5F-CE2iiE其中：匚=4曲卩耳Ze—时为金属的邨积，砧为电于的质量-由于电于遵循费米分布，丁是在能星区间E-E+dE中的电子数为：dN_f{E}dZ-Cf（E）jEdE式屮f（E〕是费米分州函数匚［tlT庄笔讨零度时＜1；CE<Ef)(E>E跖因此电子总数为:IDfUN=J：仃(E)jEdE=CL『JEdE代入数据得：n=8.51022,；cm336.（固体物理习题集问答6.5）—维晶格能量E和波矢k的关系如图所示。设电子能谱与自由电子相同，试写出与简约波矢k=n/2a对应的点A（第一能带）、B（第二能带）和C（第三能带）处的能量。⑴自由电子的能量E」；［,因此—片丄'"||品叫.衣％C!fl；37.(固体物理习题集问答6.7)对简单立方、体心立方和面心立方晶格，由紧束缚近似导出的能带底部电子的有效质量均可表示为能否据此断言：具有这三种结构的晶体，在能带底部的电子具有同样大小的有效质量？38.(固体物理习题集6.1)证明：在三维晶格中，电子能量在k空间中具有周期性：E(k)二E(k+G)式中，G为任—倒格矢。证明：申(r)=EC(k-G\iCt-gbkg所以：申(r)=YC(k+G-Gba+G0-gbk+G°0定义：G-GTG则有：Q（r）=*（r）0k+G0k所以：E（K）二E（K+G）39.（固体物理习题集6.8）设有一单价金属，具有简单立方结构，晶格常数a=3.345x1O-iom，试求（1）费米球的半径；（2）费米球到布里渊区边界的最短距离。（固体物理习题集6.14）应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，试证明其S态芯电子的能带为E（k）=E+4Jsin2（nak）式中，E为能带底部的能量，〕为交minmin迭积分。并求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子有效质量。（固体物理习题集6.20）一矩形晶格，原胞边长a=2x10-10m，b=4x10-10m，（1）画出倒格子图；（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有两个电子）。解土（1）因为目~口「—2/1,_-o-h=bj=4A/倒格子基矢为扩二丄f2A4A是布里渊区的广延图。（3）设晶体共有N个原胞，计入自旋后.在简约布里渊区中便有2N个状态。简约布昱渊区的面积/=^x54|=|（^）2而狀态密度削灯・孚"GN（如1当每个原胞有两个电予时，晶体电子的总数为IN=『g（k）x2加血=违N於42.（固体物理习题集8.23，8.24）试证明：如只计及最近邻原子间的相互作用，用紧束缚方法导出的体心立方晶体的S态电子的能带为E(k)二E-A-8J[cos(nak)cos(nak)cos(nak)]0xyz式中〕为交迭积分，试求:1）体心立方晶格能带的宽度；2）能带底部和顶部电子的有效质量；⑶画出沿k方向（k二k=0）E（k）和v（k）的曲线。xyzxx解；若只计算最近邻的相互作用，用紧來缚近似法处理晶体中的百态电子所得的结果式川兀用/卜別是参考丘亍以及最近第的位矢”在简单"方晶格中，有6个最紧邻，如果取R=0,则这6个最近邻的坐标是％琥1血0〕;a（-lA0）疏0丄0）」©丄0〕班（W）e（OQ-i〉这里a■是晶搭常数。对于£态电了J交迭积分对各个最近邻都相等,令-T...n--.T,则得/7\尸人T/i2nHk,-1211a)c,订TTak-12Fak12nak,-12nak、"6E(k)=E»一八_2./Iqcns"皿、ieg"从.；］在能带底处,札-比-比-0,对应的能量有最小值7=-A-5J在陡特顶处，叱=口/Fgk「二士「狭:,©二土"加对■应能量有最大值EJE°—A+6J因此能带的宽度为AE=E-E=12J□asmn_43.（固体物理概念题与习题指导5.14）已知某简立方晶体的晶格常数为a,其价电子的能带：E=Acos(ak)cos(ak)cos(ak)+B(其中常数A,B>0)xyz已测得带顶电子的有效质量，试求参数代(1)(2)E=Acos(ak)cos(ak)cos(ak)+B(其中常数A,B>0)xyz已测得带顶电子的有效质量，试求参数代(1)(2)试求能带宽度；(3)试求布里渊区中心点附近电子的态密度。假朮A丈「0(1)对」一的"J”E=Aco^^/l)cos(jfc/lf)co£(^^04-B简鼠立方昂休屮的m子.英能带贝址布里渊区屮心站怖里渊区屮心.咀子跑有域船虽为tn由此叮知月=2.t;j电子陡也E一2ccs(上严)十R.处一rti带痕和劭底的陡虽阳吒带宽度为4.<3)也布里渊区屮匕附迈.上—0,

—BE="。或札口心岐叹心尹⑷=*一（呼口一（诃口—B222|-2卜甘一打U-」■?£'=£|2-A；Kf卜.式出庇Ef_irk1.可见左布里渊区屮心旳近.苇能面是球面一冈此.能益E'fli陡晁E‘4■止E曲零隹而皿朗波火空创休祖対為Z荊应时虽于态取U说壽W总評亠EM"所以能态密度为叫£?)_呼：)_[2(E|2_球一44.（固体物理习题集7.13）设vf，Tf分别为费米面电子的速度和平均自由时间，g（EF）为费米能级处的状态密度,证明：对于球形费米面的情况，电导率o=e2vF2Tfg（EF）/345.（固体物理习题集8.1）证明：在一给定温度下，当电子浓度n二n（p/p）1/2，空穴浓度p二n（p/p）1/2时，半导iheieh体的电导率为极小。这里n是本征载流子浓度，p和M分别为电子和空穴的迁移率。ieh46.（固体物理习题集8.27）实验得到一锗样品不呈现任何霍尔效应。已知锗中电子迁移率为3500cm2/V・s，空穴迁移率为1400cm2/V-s，问电子电流在该样品的总电流中所占的比例等于多少？47.（黄昆教材4.12）设有二维正方晶格，晶体势场为设有二维正方晶格，晶体势场为用近自由电子近似的微扰论（简并微扰）近似求出布里渊区顶角n/a,n/a）处的能隙。（本题类似于基特尔教材（7.6））以i'j夜示Q訝-X界的单仕張Q肛&人衷小啊勒久罰的甲曲攵s-耻疔-r-ri+yrrnG=硝+■碣-::（疝、换）简,民为整数.晶举吗能巩耳珂__斗U臥中耳即）=』，而英他勞能傅氏系数匕（瓜一司匕（©+工£他尺—Q皿対他晶举吗能巩耳珂__斗U臥中耳即）=』，而英他勞能傅氏系数匕（瓜一司匕（©+工£他尺—Q皿対他£）9引十％但K-务）十权仲只〜勺]|；K%）一岸办厂即^=6（'.^=16（11）处的能|裁』利用取口宁|新波近佩T=C（K）^+C（K—6）於®粉皿w_y（ii）、v__M叫时恢轴K_C7（［|）_+%1）,用_门（11}_一斗％11）而并他心K_G（I1）,/<-^（1T）|>G（ll）|,所订fl：姦顶平而波川似卜上式中只百丐即1卜阡（7；：叩_什一押1;）；「卜卩町一屮_叩廿卜「「；巩11J由行歹|］式市（2—匸丫-廿‘一。解得—a■丄匕-辽丄〔人nur所耳在（-;--）处的能隙:対g.-ff_=2u.aa48•(黄昆教材5.1)设有一维晶体的电子能带可以写成其中，a是晶格常数，试求：能带的宽度；电子在波矢k状态的速度；能带底部和能带顶部的有效质量。解：(1jE閃_埜、J&+丄曲如)TOC\o"1-5"\h\zinci88护1.|——eoska--I)]“2a"SE=Nr[ff'<7曲"一2)：—L]4WMF兰％=厲屮丄)兀时.11电-h+2„ka=2n^时，E込⑹=0监带寛皆E匚齐一近ma打一!一Jh(号血也一—sin2册)TOC\o"1-5"\h\z冑dkmet4Jr-]m=殳尸=iu(caska-cos2ku}~]_/」2当吋，带底,宀的^^=--0j,带顶，M_Sa349•(黄昆教材5.2)晶格常数为2.5的一维晶格，当外加102V/m和107V/m电场时，试分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。解討晶祜范如圧力电龙，屯子在电场作用卜不断改变状态,表现为电子在疋空问的迄动,{1品体中电子运动的准经典运动；：程用鲁=曆则电」寸1比空用前述度竺一竺dih顶—」带底加距兀故所鬣寸輛十―a.-a总EmF/■：-]02//m吋r_ID\E2-\（rv/m时f一塔^其边-乙50.（黄昆教材5.6）若已知E（k）二Ak2+c（kk+kk+kk）,导出k二0点上的有效质量张量，并找出主轴方xyyzzx向（使用空间旋转矩阵）。解比求导有效质虽秋呈2A(?C'1A-XCt-rC2AC|户-外CIACCC2Aac2#一九A=k=2A-C-2J』2C故求导f」爼两虽张豆为riA-（：o（）'1U2A-C0'U01A+1C止-"时帥令效嵐武张最为11112A.Q012A-C0I1A-2C接若求主轴力向（2A.Q012A-C0I1A-2C接若求主轴力向（P-枕区=0ccc~■1■■1■(:CC=。得阳=&卜£?2—-1CCC\5_-10/u-Z2-二川一&时»fsof)-fUtf；"k-枚干F.込匚^=2A+2C时+同理对得旳■1■0-1甩位化得二个主轴方向51.（黄昆教材6.1）He3的自旋为1/2,是费米子。液体He3在绝对零度附近的密度为0.081g/cm3。计算费米能Ef和费米温度Tf。解匸处村零度时，匹愎誹融面为球面k,-(0.324V^；f'\1.25xl0f^_l-亠-i.sfixio—52.（黄昆教材6.3）若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量：费米能和费米温度；（2）费米球半径；（3）费米速度；（4）费米球面的横截面积；（5）在室温及低温时电子的平均自由程。银的密度等于10.5g/cm3，原子量等于107.87，电阻率等于1.61x10-6°'cm（在295K）0.038x10-6°'cm（在20K）。解1）费密能量砖=£-（珈如严总=（航知严5）止士祁以及任渦忖山了的平均白由程电导率（7=电导率（7=—1_（埠）pIfl驰養吋间K呈）二上一%P平均口由担t=吟巩硝）心竺匚=芒乞^'uq"pnq^pOK到室温之间的腿密半处变化很小珞=昭=1.2xlD10犷a-l.6xlC~^C'53.（黄昆教材a-l.6xlC~^C'53.（黄昆教材7.1）InSb的电子有效质量me=0.015m（m为电子静质量），介电常数s=18，晶格常数a=6.479，试计算：（1）施主的电离能；（2）基态的轨道半径；（3）若施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？300300300300JJT*<js>⑴由丁施主吐离能耳，量氢原子屯离能E的丁倍，4曲：睿=咬Hl*d4曲：睿=咬Hl*d~?W*f如=HxyA)=6.J11xIQ2(4^6..S1x10\jfj)().0143如夬議的电〉笊氯茅靑執逍茨：黄皇杳丫则均匀分（P于如抄■帕讨净质液度叫就-応满斤M—九％:升g爲屮厂你曲冋54.（黄昆教材7.3）已知Si中只含施主杂质ND=10i5/cm3。现在40K下测得电子浓度为10i2/cm3,试估算施主杂质的电离能。TOC\o"1-5"\h\z艇菌i畑逍电子的浓庄为％=%*僱温从丁同丈蔺为左40忙的陋温卜.戟流子搐主瓏是0施主激发到盼带的电子"花辽种惜配K丫昴卍电干戳目惡肚和空的施宅能繳数目胆尊=冈此叫=血［】_丁（為）卜%評匕佔⑹ItWla和b两式町再州=―T—5（可1十严』石一葩仏丁将U试叩的辰J—Eq仔带底施主陀级的能量誥，忌然它就是施主的电离ii芝E严民-Eq油将此代入⑴井更理再到由十饥W而北如N』300K）=2点xL屮助!巴故育ia^(40K)=Kl^itlO^(40K)=由此叫加腿主射顺的电离硝掏55•（黄昆教材7.4）某—n型半导体电子浓度为1XL015/cm3，电子迁移率为1000cm2/Vs，求其电阻率。解佥\1叽1代®:心叭皿皿厂忆4“"孔氏异常（Kohnanomaly）:假定晶面运动方程siupk^a中平面力常孔氏异常（Kohnanomaly）:假定晶面运动方程siupk^a中平面力常Cp=A数Cp取如下形式Pa，其中A和k。是常数，而p遍取所有的整数值。这种形式是对于金属的预期结果。利用这个公式和式求出32和d32/dK的表达式，证明K=k时，do/dK是无穷大，于是在k处32对K或003对K的图形有一条垂直的切线：即在k°处色散关系3（K）有一个扭折。（W.Kohn,Phys.Rev.Lett.2（1959）393曾预言了与此有关的一个效应。）57.（基特尔教材7.2）约化能区中的自由电子能量。（a）在空点阵近似下考虑面心立方晶体在约化能区图式表示中的自由电子能带，在约化能区图式表示中所有的k都变换到第一布里渊区内。粗略绘出［111］方向上的所有能带的能量，直至相当于布里渊区边界k=（2n/a）（1/2,1/2,1/2）处的最低带能量的6倍。就令这个能量为能量的单位。这个问题表明，为什么带边不一定要在布里渊区中心。当考虑到晶体势场时，有几个简并（能带交叉）被消除。

58.（基特尔教材7.4）金刚石结构中的势能。6）试证对于金刚石结构，在G=2A时，一个电子所感受的晶体势场的傅立叶分量UG为零，其中A是惯用立方晶胞的倒易点阵中的基矢。（b）证明在周期点阵中波动方程通常的一级近似解中与矢量A末端垂直的布里渊区边界面上的能隙为零，并且证明在二级近似中该能隙不为零。59.（基特尔教材7.6）正方点阵。考虑在二维情况下具有晶体势场U（x,y）=-4Ucos（2nx/a）cos（2ny/a）的正方点阵。应用中心方程近似求出布里渊区角点（n/a,n/a）处的能隙。这个问题只需解一个2>2