模煳综合评判法

数学建模

——模糊数学方法模糊数学方法模糊综合评判模糊聚类分析模糊矩阵设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.模糊矩阵及运算与性质模糊矩阵间的关系及并、交、余运算设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义相等：A=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B=(aij∨bij)m×n；交：A∩B=(aij∧bij)m×n；余：Ac=(1-aij)m×n.设A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，称模糊矩阵A

°

B

=(cij)m×n，为A与B的合成，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊矩阵的合成模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.模糊矩阵的转置定义设A=(aij)m×n,称AT

=(aijT

)n×m为A的转置矩阵，其中aijT

=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T

=A；性质2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤B

AT≤BT.模糊矩阵的λ－截矩阵

设A=(aij)m×n,对任意的

∈[0,1]，称A

=(aij(

))m×n,为模糊矩阵A的

-截矩阵,其中当aij≥

时，aij(

)=1；当aij＜

时，aij(

)=0.

显然，A的

-截矩阵为布尔矩阵.模糊综合评价模型对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法。模糊综合评价的基本步骤：（1）

首先要求出模糊评价矩阵P，其中Pｉｊ表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶属度，当对多个目标进行综合评价时，还要对各个目标分别加权，设第i个目标权系数为Wｉ，则可得权系数向量：A＝（W1，W2，…Wｎ）（2）综合评判

利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量BB＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的不同定义，可得到不同的模型

模型1M（Λ，V）——主因素决定型模型2M（٠，ν）——主因素突出型模型3M（٠，+）——加权平均型例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价设评价指标集合：U＝｛图像，声音，价格｝；

评语集合：V＝｛很好，较好，一般，不好｝；首先对图像进行评价：假设有30%的人认为很好，50%的人认为较好，20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为

（0.3,0.5,0.2,0)同样对声音有：0.4,0.3,0.2,0.1)对价格为：（0.1,0.1,0.3,0.5)所以有模糊评价矩阵：设三个指标的权系数向量：A＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝＝（0.5,0.3,0.2)应用模型1，bj=max{(aiΛrij)有综合评价结果为：B＝A⊙P＝（0.3,0.5,0.2,0.2)归一化处理：B＝（0.25,0.42,0.17,0.17)所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。例2：对科技成果项目的综合评价有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。三个科研成果的有关情况表设评价指标集合：

U＝｛科技水平，实现可能性，经济效益｝评语集合：

V＝｛高，中，低｝评价指标权系数向量：

A＝（0.2，0.3，0.5）专家评价结果表由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵P、Q、R：求得：归一化后得：