第二十三讲计数原理解析版

第二十三讲：计数原理【考点梳理】1.排列与组合的概念名称定义排列从个不同元素中取出（）个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组排列问题的解题策略特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略；3.二项式定理．4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．二项式系数的性质（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和【典型题型讲解】考点一：排列、组合【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（

）A． B． C． D．【答案】．B【解析】先选个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.【详解】由题意，先选个女生捆绑看做一个整体：，然后将男生全排列再将女生插空：，所以不同的排法有种.故选：B.例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种.【答案】．9【详解】第一类：语文安排在第二节,若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节;若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节;若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节;第二类：语文安排在第三节，若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节;若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节;若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节;第三类：语文安排在第四节，若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节;若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节;若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节;所以共有9种方案.故答案为：9.【方法技巧与总结】排列、组合搞清楚区别【变式训练】1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种．【答案】540【详解】第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有种不同的分法．故不同的分配方法共有种．故答案为：5402．（2022·广东惠州·一模）现有名学生报名参加校园文化活动的个项目，每人须报项且只报项，则恰有名学生报同一项目的报名方法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【详解】根据题意首先从名学生中选名选报同一项目作为一个整体，然后从个项目中选择个项目排列即可，故不同的报名方法种数为.故选：B.3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（

）A．18种 B．12种 C．72种 D．36种【答案】．D【详解】解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，共有种方案，所以共有36种选派方案.故选：D.4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（

）A．100 B．120 C．300 D．600【答案】．A【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.故选：A.5．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（

）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种【答案】B6．（2022·广东·二模）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（

）A．24 B．36 C．60 D．240【答案】．C【详解】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是种，如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是种，故高一（1）班被安排到A基地的排法总数为种，故选：C7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B8.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.9.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.10.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________【答案】17【详解】千位为和时，组成的四位数都比2134大，有个，千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有个，千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个，则组成的四位数比2134大的一共有17个.故答案为：17.考点二：二项式定理【典例例题】例1．（2022·广东汕尾·高三期末）已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为（

）A．-240 B．240 C．-60 D．60【答案】D【详解】由题意得，所以，则的展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，故选：D．例2．（2022·广东深圳·高三期末）的各项系数和为（

）A． B．27 C．16 D．【答案】A【详解】，各项系数和为.故选：A.例3．（2022·广东揭阳·高三期末）（多选）已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（

）A．展开式中的常数项为1B．C．展开式中二项式系数最大的项是第四项D．展开式中的指数均为偶数【答案】．BCD【详解】令代入二项式可得各项的系数和为，即可得正确；对于，设展开式的通项为，当为常数项时，则有，则可得.代入二项式，可得展开式的常数项为，故错误；对于，因为，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故正确；对于，该展开式的通项为，可得展开式中的指数均为偶数.故D成立.故选：BCD.【方法技巧与总结】1.在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．2.三项式的展开式：若令，便得到三项式展开式通项公式：，其中叫三项式系数．3.二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）的展开式中常数项是_________．【答案】15【详解】的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项是.故答案为：15.2．（2022·广东·一模）二项式展开式中的常数项为__________.【答案】60【详解】由题意可得：，令，故常数项为，故答案为：603．（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．4．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（

）项．A．3 B．4 C．5 D．75．（2022·广东汕头·高三期末）的展开式中的系数为________用数字填写答案【答案】20【详解】二项式中，，当中取x时，这一项为，所以，，当中取y时，这一项为，所以，，所以展开式中的系数为故答案为：6．（2022·广东东莞·高三期末）的展开式中项的系数是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【详解】当且，的展开式通项为，所以，的展开式中含的系数为，的展开式中，含项的系数是.故选：B.7．（2022·广东佛山·高三期末）的展开式中，的系数为（

）A．80 B．40 C． D．【答案】D【详解】的展开式中含的项为，的展开式中含的项为，所以的展开式中，的系数为，故选：D8.（2022·广东惠州·一模）若，则（

） B．0 C．1 D．2【答案】．B【详解】令，代入得，令，得，所以.故选：B.9．（2022·广东广州·一模）的展开式中的系数为（

）A．60 B．24 C． D．【答案】B【详解】由的展开式通项为，所以的展开式项为，故系数为.故选：B10．（2022·广东深圳·二模）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】解：因为，令，则，故A正确；令，则，所以，故B错误；令，则，所以，故C错误；对两边对取导得，再令得，故D正确；故选：AD11．（2022·广东茂名·二模）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项【答案】BD【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误，令，得所有项的系数和为，故B正确，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，因为展开式通项为，当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．故选：BD．12.（2022·广东湛江·二模）的展开式中常数项为___________.【答案】【详解】展开式的通项公式为，当81乘以时，令，解得，常数项为；当乘以时，令，解得，常数项为；所以的展开式中的常数项为故答案为：13.（2022·广东·普宁市华侨中学二模）(2+)(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答）【答案】200【详解】(2+)(2＋x)5展开式中，含x2的项为2+=(2+)＝200x2，所以系数为200,故答案为200.14．（2022·广东潮州·二模）设，则______．【答案】9【详解】在中，令得，，，所以，．故答案为：.【巩固练习】一、单选题1．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（

）A．105种 B．144种 C．150种 D．210种【答案】D【解析】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法，另一种是1组1人，另一组3人，有种分法，再分配到其他两个社区，则不同的安排方法共有种.故选：D2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】先分配其他3名中学生有种方法，再分配小王和小张有种方法，由分步计数原理可得，不同的分配方案种数有.故选：C.3．甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（

）种.A．24 B．96 C．174 D．175【答案】D【解析】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，有种参观方式；若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，有种参观方式；若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，有种参观方式，综上：共有种参观方式.故选：D4．若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有种，则乙与甲分配到不同社区的方法有种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是故选：B5．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．180【答案】B【解析】不同的安排方式有两类办法，有3人参加接种工作的安排方式有种，有2人参加接种工作的安排方式有种，由分类加法计数原理得不同的安排方式有：种.故选：B.6．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（

）A．240 B．192 C．96 D．48【答案】B【解析】丙在正中间（4号位）；甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲､乙的顺序有种情况；剩下的4个位置其余4人坐有种情况；故不同的坐法的种数为.故选：B.7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法；故选：C.8．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由二项式定理：观察可知的系数为.故选：B.9．在的展开式中，含的项的系数为（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．200【答案】C【解析】，其展开式为：根据题意可得：当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为综上所述：含的项的系数为故选：C．10．的展开式中，的系数等于（

）A． B． C．10 D．45【答案】D【解析】的通项为，令，解得，所以项的系数为：.故选：D11．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，故展开式中的系数.故选：B.12．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（

）A．0 B． C．120 D．【答案】A【解析】因为的展开式中各项系数的和为，所以令，得，解得，∵的展开式为则展开式中含的项为，故的系数为0.故选：A．二、多选题13．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】CD【解析】对于A，令，则，令，则，所以，所以A错误，对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，对于C，令，则，因为，所以，，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，，，，，所以，，所以，所以D正确，故选：CD14．在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大【答案】BCD【解析】二项式的展开式通项为，对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；对于B选项，各项的系数和是，B对；对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；故选：BCD15．已知函数的定义域为．（

）A．B．C．D．被8整除余数为7【答案】BC【解析】A.当时，，①故A错误；B.当时，，②，①②，解得：，故B正确；C.，令得，故C正确；D.，所以被8整除余数为1，故D错误.故选：BC16．已知，下列结论正确的是（

）A．B．当时，设，则C．当时，中最大的是D．当时，【答案】AD【解析】在已知式中令得，A正确；时，，，，，B错；时，，，C错；在中，令得，令，则，所以，D正确．故选：AD．17．已知的展开式中含的系数为60，则下列说法正确的是（

）A．的展开式的各项系数之和为1 B．的展开式中系数最大的项为C．的展开式中的常数项为 D．的展开式中所有二项式的系数和为32【答案】BC【解析】的展开通项为：，当时，，所以，解得，所以，令，所以各项系数和为：，故A错误；当时，的展开式中所有二项式的系数和为：，故D错误；当时，的展开通项为：，令，所以，常数项为，故C正确；设展开式中第项系数最大，所以，所以，且，，解得，所以，故系数最大的项为，故B正确.故选：BC.三、填空题18．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种．【答案】50【解析】由题意可分为两类（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式综上共有种安排方式故答案为：5019．志愿团