复变函数第三章1

第三章复变函数的积分复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．我们可以用这种工具证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，这些表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数的研究摆脱了已往过分依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路.本章，我们首先建立复变函数积分的概念，然后建立的柯西积分定理和柯西积分公式，它是复变函数论的基本定理和基本公式，是研究解析函数性质所采用的具体工具.第一节复积分的概念、基本性质与基本计算约定：1、本章及以后所提到的曲线都是简单光滑或分段光滑曲线(从而它必可求长)；分段光滑的简单闭曲线称为围线或周线；2、曲线方向的规定：对非封闭曲线只须规定它的起点和终点，则它的正向是从起点到终点的方向，否则就是负向；对于围线，则规定“逆时针”为它的正向，而“顺时针”为负向；对于有界区域的边界曲线，则按左手法则规定它的正向，即当某人站在边界曲线上沿某一方向行走时，区域始终在此人的左手边，则规定此方向为的正向，否则为的负向．习惯上，曲线的正向记为或，而负向记为．复积分的定义定义1设C是复平面上连接a和b两点的有向曲线，其中a是起点，b是终点．函数定义在曲线C上,分割：在C上，我们沿C的方向顺次插入有限个分点把曲线C分成有限个小的有向弧段（方向与C的方向一致）（这一过程也称为对曲线的一个有向分割，记为T）．近似求和：在每个小弧段上任取，作和数

其中，并记称为分割的模．取极限如果存在，且极限值与对C的分割以及点的取法均无关，即对任意，存在，使得对C的任意分割T，只要，总有则称函数沿曲线C（从a到b）可积，称为函数沿曲线C（从a到b）的积分，记为其中称C为积分路径，表示沿C的正向的积分，表示沿C负向的积分．注：关于复积分存在的条件，有一些与实积分类似的结果，例如，沿曲线C可积的必要条件是在C上有界；若在曲线上连续，则沿C可积等等.根据复积分的定义，不难得到复积分的如下基本性质：设，都在简单曲线C上连续，则有复积分的性质即：方向性，线性性质，积分路径可加性证明:取极限得即：估值定理（5)如果进一步还有，，L表示C的长度，则复积分的计算方法1化为第二类曲线积分（见教材p92定理3.1）此法主要思路是利用自变量与函数的实部虚部x,y,u,v的形式化为第二类曲线积分.

2化为对参数t的一元函数积分此法主要思路是利用曲线的参数表示法，将自变量z与函数f都表成t.只对t做积分.详细证明如下：

证明：按照第二类曲线积分的算法

3.用积分的定义直接计算注：积分的三种运算方法的比较.第一种方法先对被积分式运算化为第二类曲线积分式，再代入曲线的表达式化成一元积分.第二种方法先代入曲线的表达式对被积分式进行运算化简，则直接成为一元积分.第三种方法用定义求极限.例题解1:第二类曲线积分法

记例1设曲线C是平面上连接a和b两点的有向曲线（方向是从a到b），证明：（1）；（2）．(1)和(2)的证明方法类似，只证明（2）.解2：定义法记，任取曲线的一个有向分割再在每个小弧段上取得，先在每个小弧段上取得，上面两式相加得，因连续，则在曲线C上可积．由积分的定义注：由上面两例的结果知，当曲线C是闭曲线时，例1

解1：参数方程解法直线方程为积分与路径无关解2:第二类曲线积分法请同学们参照微积分课程知识自己运算第二类曲线积分！积分与路径无关注：所以不论C是怎样的连接0与3+4i的曲线，积分值与曲线路径无关！解积分路径的参数方程为例2求其中是以为心，为半径的正向圆周，为正整数.注：该结论可以作为结论直接使用，称为常用积分.

解(1)：积分路径的参数方程为解(2)：积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为注：本题积分值与路径有关思考题：1.复积分什么时候与路径无关.2.复积分有什么几何（物理）意义.作业：P1293,4人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。