中考数学复习满分突破（全国通用）：专题10 平行线中点模型与雨伞模型（原卷版）

专题10平行线中点模型与雨伞模型平行线中点模型概述：平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。平行线中点模型：已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，则∆POE≌∆QOF证明:∵AB∥CD∴∠PEO=∠OFQ∵点O为线段EF的中点∴EO=OF在∆POE和∆QOF中∠PEO=∠OFQEO=OF∠POE=∠QOF∴∆POE≌∆QOF（ASA）雨伞模型：如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C,则∆ABD≌∆ACD，AB=AC，BD=CD证明：∵AP平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵BD⊥AP∴∠BDA=∠CDA在∆ABD和∆ACD中∠BAD=∠CADAD=AD∠BDA=∠CDA∴∆ABD≌∆ACD（ASA）∴AB=AC，BD=CD【平行线中点模型过关练】1．如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（

）A． B． C． D．2．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．3．如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为______．4．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为_____．5．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为___________．6．如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为______．7．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H．(1)求证：AG＝AD；(2)求证：DF＝EF；(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面积．8．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图（2）中补全图形并求DE的长.②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E，Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.(直接写出答案的编号)

9．在数学综合实践课上，老师给出了下列问题．(1)探究结论在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______．(2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_______．(3)拓展延伸在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由．10．【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中，AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考：(1)图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是；(2)【灵活运用】如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE．11．如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DFBE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．(1)求证：四边形EGFH为平行四边形；(2)若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；①当BG＝GF时，求四边形EGFH的面积：②如图2，延长FG交AB于点P，连接AG，记ΔAPG的面积为S1，ΔBPG的面积为S2，若FP⊥AB，求的值．12．已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___，QE与QF的数量关系是___；(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；13．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系是________；(2)如图②，当点P在线段AB上且不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并说明理由．(温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)【雨伞模型模型过关练】1．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．3．已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.4．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．5．如图，中，M为的中点，为的平分线，于D．(1)求证：；(2)若，求的长．6．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．7．如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．8．如图，在中，平分于点，点是的中点（1）如图1，的延长线与