中考数学复习高频考点精讲精练（全国通用）：专题21 圆（解析版）

专题21圆一、垂径定理及其应用【高频考点精讲】1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2、垂径定理的推论（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。【热点题型精练】1．（2022•泸州中考）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝42，DE＝4，则BC的长是（）A．1 B．2 C．2 D．4解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，且OD=12设OD＝x，则BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（42）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．答案：C．2．（2022•云南中考）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（）A．713 B．1213 C．712解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE=12∵AB＝26，∴OC＝13．∴cos∠OCE=CE答案：B．3．（2022•荆门中考）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（）A．363 B．243 C．183 D．723解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC=O∴CD＝2CE＝63，∴四边形ACBD的面积=1答案：A．4．（2022•鄂州中考）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四边形ACDB是平行四边形，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四边形EFBD是矩形，AF=12AB=1∴EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，答案：C．5．（2022•自贡中考）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为26厘米．解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，由题意可得：OC⊥AB，AC=12设镜面半径为x厘米，由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴镜面半径为26厘米，答案：26．6．（2022•牡丹江中考）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为45或25．解：连接OA，∵OM：OC＝3：5，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12在Rt△OAM中，OA＝5，AM=O当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=A当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=A综上所述，AC的长为45或25．答案：45或25．7．（2022•长沙中考）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为7．解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，OD=CD∠ADO=∠BDC∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．答案：7．8．（2022•荆州中考）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，答案：7.5．9．（2022•六盘水中考）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；（2）若∠COD＝162°，点M在CD上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶CD上巡视时总能看清洞口CD的情况．解：（1）设OA＝OC＝Rm，∵OA⊥CD，∴CB＝BD=12CD＝14在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，∴R2＝142+（R﹣12）2，∴R=85∴OC=856≈（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，∵∠N=12∠∵∠CMD+∠N＝180°，∴∠CMD＝99°．∵∠CMD＝99°不变，是定值，∴“齐天大圣”点M在洞顶CD上巡视时总能看清洞口CD的情况．二、圆周角定理【高频考点精讲】1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。【热点题型精练】10．（2022•营口中考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）A．43 B．8 C．42 D．4解：连接AB，如图所示，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵∠ADC＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°．∴在Rt△ABC中，tan∠ABC=AC∴BC=AC∵AC＝4，∴BC=4tan30°=答案：A．11．（2022•包头中考）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（）A．22° B．32° C．34° D．44°解：连接OE，∵OC＝OB，∠ABC＝22°，∴∠OCB＝∠ABC＝22°，∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，∵E是劣弧BC的中点，∴CE=∴∠COE=1由圆周角定理得：∠CDE=12∠COE答案：C．12．（2022•陕西中考）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（）A．44° B．45° C．54° D．67°解：如图，连接OB，∵∠C＝46°，∴∠AOB＝2∠C＝92°，∵OA＝OB，∴∠OAB=180°−92°答案：A．13．（2022•巴中中考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB＝30°，AC＝23，则A．32 B．3 C．1 解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，BC=∴AB⊥CD，∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC=23∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB=AC∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．答案：C．14．（2022•襄阳中考）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于45°或135°．解：如图，∵OA＝OC＝1，AC=2∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，答案：45°或135°．15．（2022•日照中考）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为132cm解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=AB2所以圆形镜面的半径为132cm答案：132cm16．（2022•永州中考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝120度．解：∵∠ADC是AC所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．答案：120．17．（2022•苏州中考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝62°．解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，答案：62．18．（2022•南通中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝22，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝52，计算图中阴影部分的面积．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝22，∴BD＝22×（2）∵BE＝52，∴CE＝32，∵BC＝DC，∴S阴影＝S△CDE=12×三、圆内接四边形的性质【高频考点精讲】1、圆内接四边形的对角互补。2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。【热点题型精练】19．（2022•淮安中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．100° C．140° D．160°解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC=12∠∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，答案：B．20．（2022•株洲中考）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115° B．118° C．120° D．125°解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，∴∠EFD+∠A＝180°，∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，∴∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，答案：C．21．（2022•锦州中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为40°．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，答案：40°．22．（2022•甘肃中考）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝70°．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，答案：70．23．（2022•威海中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE；（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC＝90°，在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，∴sinF=BC∵∠F＝∠BAC，∴sin∠BAC=3四、三角形的外接圆与外心【高频考点精讲】1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。3、注意事项（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。【热点题型精练】24．（2022•梧州中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，答案：C．25．（2022•十堰中考）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵AB=AB，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠BDC，故①正确；∵点D是弧AC上一动点，∴AD与CD不一定相等，∴DA与DC不一定相等，故②错误；当DB最长时，DB为⊙O直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴DB＝2DC，故③正确；在DB上取一点E，使DE＝AD，如图：∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正确；∴正确的有①③④，共3个，答案：C．26．（2022•杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，如图所示，∵A′D⊥BC，∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，在Rt△BOD中，sinθ=BDOB=∴BD＝sinθ，OD＝cosθ，∴BC＝2BD＝2sinθ，A′D＝A′O+OD＝1+cosθ，∴S△ABC=12A′D•BC=12×2sinθ答案：D．27．（2022•玉林中考）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来△ABD，△ACD，△BCD．解：由图可知：OA=1OB=1OC=1OD=1OE=1∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，答案：△ABD，△ACD，△BCD．28．（2022•黑龙江中考）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为33cm．解：连接AO并延长交⊙O于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，AD＝6cm，∴AB＝AD•sin60°＝6×32=33答案：33．29．（2022•凉山州中考）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是21313解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD=AB2∴cos∠ADB=BD∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是213答案：213五、切线的性质【高频考点精讲】1、圆的切线垂直于经过切点的半径。2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。【热点题型精练】30．（2022•深圳中考）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（）A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2−解：如图，连接OC，∵BC是⊙O的切线，OC为半径，∴OC⊥BC，即∠OCB＝90°，∴∠COD+∠OBC＝90°，又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，∴∠ABC＝∠COD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，∴∠A＝∠OCD，在△ABC和△COD中，∠A=∠OCD∠ABC=∠COD∴△ABC≌△COD（AAS），又∵EO＝DO，∴S△COD＝S△COE=12S△∴S△ABC=12S△即△ABC和△CDE面积之比为1：2，答案：B．31．（2022•无锡中考）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，∴∠OAD＝∠ODA＝25°．∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．故选项D不符合题意；∵∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，即AE∥OD，故选项B不符合题意；∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，∴OF＝DE．在直角△AFO中，OA＞OF．∵OD＝OA，∴DE＜OD．故选项C符合题意．答案：C．32．（2022•重庆中考）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（）A．3 B．4 C．33 D．42解：如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半径，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD•AD，即OA2﹣OB2＝OD•AD，设OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（负值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝33，答案：C．33．（2022•资阳中考）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是35度．解：∵AB为直径，∴∠C＝90°，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝55°，∵AD与⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．答案：35．34．（2022•泰州中考）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为32°．解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D=12∠AOP∵点C在AmB上，且与点A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，答案：32．35．（2022•青岛中考）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交AB，AC于点E，F．若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为4﹣π．解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBA＝90°，∴∠BOA+∠A＝90°，由题意得：OB＝OC＝AE＝AF＝2，∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积）=12AB•=12＝4﹣π，答案：4﹣π．36．（2022•济南中考）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．（1）证明：连接OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，∴∠A=12∠∴∠A＝∠D＝30°，∴CA＝CD；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，AB＝12，∴BC=12∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴BF＝BC•sin45°＝6×22=∴线段BF的长为32．六、三角形的内切圆与内心【高频考点精讲】内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。4、三角形内心的性质（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。【热点题型精练】37．（2022•娄底中考）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）A．3π18 B．318 C．3解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，设AB＝2a，则BD＝a，∵∠ADB＝90°，∴AD=AB∴OD=13AD=∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：π×(3答案：A．38．（2022•德阳中考）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝120°，故∵∠BAD＝∠CAD，∴BD=∴OD⊥BC，∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，故③正确；如图，连接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故④正确．∴一定正确的①②③④，共4个．答案：D．39．（2022•黔东南州中考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是134πcm2．（结果用含解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB∴S扇形DOE=130π×32360答案：13440．（2022•泰州中考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为2或12解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB=A∴ADAC=DE解得x=2y=∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，∠OE′E=∠ODD′OE′=OD∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+5在△AD′E′和△ABC中，∠A=∠A∠D′E′A=∠BCA∴△AD′E′∽△ABC，∴AD′AB∴AD′10解得：AD′=15∴CD′＝AC﹣AD′=1答案：2或1241．（2022•宜宾中考）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为289．解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3=AC+BC−BA∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．答案：289．七、弧长及扇形面积计算【高频考点精讲】1、弧长计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）2、扇形面积计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则①S扇形＝πR2②S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法。【热点题型精练】42．（2022•湖北中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（）A．π B．43π C．53π 解：连接CD，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC=1由题意得：AC＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴AD的长为：60π×4180答案：B．43．（2022•广西中考）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB′的长是（）A．233π B．433π C．83解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB=12∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×32=∴AB=2AD=43∴BB′的长度l=nπr180答案：B．44．（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为23m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．5π3m B．8π3m C．10π3m D．（解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝23m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA=ADCD=232∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：300π×2180=10π答案：C．45．（2022•资阳中考）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．2π3−32 B．2π3−解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵点A与圆心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD=O∴阴影部分的面积为：60π×2答案：B．46．（2022•兰州中考）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（）A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC=120π×9＝2.25πm2．答案：D．47．（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣93 B．12π﹣93 C．6π−932 解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝33，∴DF＝63，阴影部分的面积=120π×36360−12×6答案：B．48．（2022•大连中考）如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是12π（结果保留π解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD＝45°，AC=2AB=∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，∴CE的长度为45×π×2180=答案：12π49．（2022•青海中考）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为20πcm．解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE=12OA＝30∴弧CD的长=120⋅π⋅30180=20答案：20π．50．（2022•黔西南州中考）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是2π﹣4．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，在△BOE和△COG中，∠BOE=∠COGOB=OC∴△OBE≌△OCG（SAS），∴S△OBE＝S△OCG，∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，∴OB＝OC＝22，∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG=90π⋅(2＝2π﹣4，答案：2π﹣4．51．（2022•河南中考）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为π3+解：如图，设O′A′交AB于点T，连接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）=90⋅π×22360−=π答案：π352．（2022•泰州中考）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．解：（1）设BC与⊙O交于点M，当t＝2.5时，BE＝2.5，∵EF＝10，∴OE=12∴OB＝2.5，∴EB＝OB，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴ME＝MO，又∵MO＝EO，∴ME＝EO＝MO，∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM＝60°，∴lME即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为5π3（2）连接GO，HO，∵∠GOH＝90°，∴∠AOG+∠BOH＝90°，∵∠AGO+∠AOG＝90°，∴