嘉应高等代数课件第一章

一、映射的概念及例

定义1

设A，B是两个非空的集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素x，有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应.

用字母f，g，…表示映射.用记号表示f是A到B的一个映射.

如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作这时y叫做x在f之下的象，记作.1.2映射注意:

①A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合②对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应.③一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象.④A中不相同的元素的象可能相同.

二、映射的相等及像

设是一个映射.对于，x的象.一切这样的象作成B的一个子集，用表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.

例令,那么.

设，都是A到B的映射，如果对于每一x，都有，那么就说映射f与g是相等的.记作

设是A到B的一个映射，是B到C的一个映射.那么对于每一个，是C中的一个元素.因此，对于每一，就有C中唯一的确定的元素与它对应，这样就得到A到C的一个映射，这映射是由和所决定的，称为f与g的合成（乘积），记作.于是有对于一切,f与g的合成可以用下面的图示意：fgABC三、映射的合成

设给映射，，，有

.

设A，B是两个非空集合，用和表示A和B的恒等映射.设是A到B的一个映射.显然有：，.

设A是非空集合,，称为A上的恒等映射。但是，一般情况下四单射、满射、双射

定义2

设f是A到B的一个映射，如果,那么说称f是A到B上的一个映射，这时也称f是一个满映射，简称满射.

是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都有A中元素x使得.

关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.

定义3

设是一个映射，如果对于A中任意两个元素和，只要，就有，那么就称f是A到B的一个单映射，简称单射.

定义3：如果f既是满射，又是单射，即如果f满足下面两个条件:①

对于一切，那么就称f是A到B的一个双射或一一映射。②

定理1.2.1

令是集合A到B的一个映射.那么以下两个条件是等价的：①f是一个双射；②存在B到A的一个映射g，使得，再者，当条件②成立时，映射g是由f唯一确定的.一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.1.3数学归纳法

内容分布

最小数原理

数学归纳法的依据教学目的

掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。重点、难点

最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。一、最小数原理

数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的一个最基本的性质）.最小数原理正整数集的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数，对任意都有.其中表示全体正整数的集合.1．最小数原理并不是对于任意数集都成立的2．设c是任意一个整数，令注意那么其代替正整数集，最小数原理对于仍然成立.也就是说，的任意一个非空子集必含有一个最小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小数.二、数学归纳法原理

定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整数n有关的命题.如果①当n=1时.命题成立；②假设当n=k时命题成立，当n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立.

证设命题不对一切正整数都成立.令S表示使命题不成立的正整数所成的集合.那么.于是，由最小数原理，S中有最小数h.因为命题对于n=1成立，所以从而h-1是一个正整数.因为h是S中最小的数，所以.这就是说当n=h-1时，命题成立.于是由②，当n=h时命题也成立.因此.这就导致矛盾.

定理1.3.2（第二数学归纳法）设有一个与正整数n有关的命题.如果①当n=1时命题成立；②假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切自然数n来说都成立.1.4整数的一些整除性质一、内容分布

整除与带余除法

最大公因数

互素

素数的简单性质二、教学目的

1.理解和掌握整除及其性质。

2.掌握最大公因数性质、求法。

3.理解互素、素数的简单性质。三、重点、难点整除、最大公因数性质、互素有关的证明。

一、整除与带余除法

设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a|b表示a整除b。这时a叫作b

的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作.①②

③④⑤每一个整数都可以被1和-1整除。每一个整数a都可以被它自己和它的相反数-a整除⑥⑦

定理1.4.1（带余除法）设a，b

是整数且，那么存在一对整数q和r，使得满足以上条件整数q和r的唯一确定的。

证令。因为，所以S是N的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S含有一个最小数。也就是说，存在，使得r=b-aq是S中最小数。于是b=aq+r，并且。如果，那么，而所以。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此

.

假设还，使得于是就有。如果那么由此或者，或者。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须，从而

，也就是说二、最大公因数

设a，b是两个整数，满足下列条件的整数d叫作a与b的最大公因数：

；①。

如果②①一般地，设是n个整数。满足下列条件的整数d叫做的一个最大公因数：②

定理1.4.2

任意个整数都有最大公因数。如果d是的一个最大公因数，那么-d

也是一个最大公因数；的两个最大公因数至多只相差一个符号。

现证，任意n个整数有最大公因数。如果果，那么0显然就是的最大公因数。I显然不是空集，因为对于每一个i

证由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。设不全为零，考虑Z的子集又因为不全为零，所以I含有非零整数。因此是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，有一个最小数d.下证明，d就是的一个最大公因数。首先，因为，所以d>0并且d有形式又由带余除法，有

定理1.4.3设d是的一个最大公因数。那么存在整数，使得。如果某一，如，那么而。这与d是中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有，即。

另一方面，如果。那么

。这就证明了d是的一个最大公因数。三、互素的定义及其性质

设a,b是两个整数，如果（a,b）=1，那么就说a与

b互素。一般地，是n个整数，如果，那么就说这n个整数互素。

（1）

定理1.4.4

n个整数互素的充分且必要条件是存在整数，使得

证如果互素，那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令

那么c能整除（1）式中的左端。所以c|1，因此c=1,即。四、素数的定义及其简单性质

定义

一个正整数p>1叫作一个素数，如果除±1和±p外，没有其它因数。

定理1.4.5

一个素数如果整除两个整数a

与b的乘积，那么它至少整除a与b中的一个。

证设p是一个素数，如果p|ab，但，由上面所指出的素数的性质，必定有（p,a）=1。于是由定理1.4.4，存在整数s和t使得

sp+ta=1

两边同乘以b

：spb+tab=b.左边的第一项自然能被p整除；又因为p|ab，所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和，从而p|b.

1.5数环和数域

定义1：设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a,b

来说，a+b,a–b,ab都在S内，那么就称S是一个数环。

例1

取定一个整数a，令那么S是一个数环。如取a=2，那么S就是全体偶数所组成的数环。一、数环和数域的定义证明：S显然不是空集。设，那么所以S是一个数环。定义2

设F是一个数环，如果①F含有一个不等于