新人教A版高中数学必修一2.2《基本不等式(第1课时)》课件

新人教A版高中数学必修一基本不等式（１）

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.

前面，我们利用完全平方公式得到了一类重要不等式，，．当且仅当时，等号成立.

请同学们观察这个不等式，它的左边是两个数的平方的和，右边是这两个数的乘积的2倍．

一、温故知新-已有旧知问题1

特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？

一、温故知新-新知产生问题1

特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？

解：

,

一、温故知新-新知产生问题1

特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？

解：,,

一、温故知新-新知产生问题1

特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？

解：

,,.

一、温故知新-新知产生

结论：

．当且仅当时，等号成立.通常称它为基本不等式.

其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

一、温故知新-新知产生问题2

．

能否直接利用不等式的性质证明出基本不等式呢？

当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式.一、温故知新-新知产生分析法

分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.

一、温故知新-新知形成

要证，①只要证.②

问题2一、温故知新-新知形成

要证，①只要证.②要证②，只要证.③

问题2一、温故知新-新知形成

要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④

问题2一、温故知新-新知形成

要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④要证④，只要证.⑤

问题2一、温故知新-新知形成

要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④要证④，只要证.⑤显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立．问题2一、温故知新-新知形成

要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④要证④，只要证.⑤显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立．只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.

问题2一、温故知新-新知形成

一、温故知新-新知特征问题2问题2

请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么呢？

一、温故知新-新知特征问题2

一、温故知新-新知特征问题2

一、温故知新-新知特征问题2

一、温故知新-新知特征问题2

一、温故知新-新知特征分析法的证明格式

由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证…”“只要证…”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然…成立。一、温故知新-新知特征

同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢？

下面我们一起来探究一下.二、学以致用－基本应用

问题3在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．你能在这个图中找到和分别是哪条线段的长吗？你能从这里得出基本不等式的几何解释吗？

二、学以致用－基本应用

问题3解：由图可知，圆的半径长为；那么哪条线段的长为呢？二、学以致用－基本应用

问题3解：如图2.2-1，可证即可得,因而.二、学以致用－基本应用

问题3解：如图2.2-1，可证即可得,因而.由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为．二、学以致用－基本应用

问题3解：如图2.2-1，可证即可得,因而.由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为

.显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立.二、学以致用－基本应用

二、学以致用－基本应用

例1已知，求的最小值．

二、学以致用－综合应用

例1已知，求的最小值．分析：观察,发现二、学以致用－综合应用

例1已知，求的值．分析：观察,发现联系基本不等式，可以利用正数的算术平均数与几何平均数的关系得到的最小值是２.

二、学以致用－综合应用

例1已知．

解：因为所以

.当且仅当,即，也就是时，等号成立.因此所求最小值为2.二、学以致用－技巧方法

二、学以致用－技巧方法

想一想，

当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？三、亡羊补牢－常见错误

例1已知，求的最小值．

分析：求的最小值，就是要求一个使都有当时，找不到能取到这个所对应的正数.因此所求最小值为2.当且仅当，取到最小值2.三、亡羊补牢－原因分析

例2已知x，y都是正数，求证：（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值

；

（２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.四、画龙点睛－结构认识

例2已知x,y都是正数，求证：（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值

；证明：因为x,y都是正数，所以．

四、画龙点睛－结构认识

例2已知x,y都是正数，求证：（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值

；证明：因为x,y都是正数，所以．所以，当且仅当x=y时，上式等号成立．四、画龙点睛－关键之处

例2已知x,y都是正数，求证：（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值

；证明：因为x,y都是正数，所以．所以，当且仅当x=y时，上式等号成立．于是，当x=y时，和x+y有最小值；四、画龙点睛－关键之处

例2已知x,y都是正数，求证：（２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.

证明：当和x+y等于定值S时，，所以．四、画龙点睛－关键之处

例2已知x,y都是正数，求证：