关于微元法的讨论

关于微元法的讨论

微元法也被称为元素法。一般地,若某一实际问题中的所求量U符合(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量:(2)U对于[a,b]具有可加性;(3)部分量△U近似可写为f(ξi)Δxi,则可用定积分表示量U,即U=b∫af(x)dx,dU=f(x)dxU=∫abf(x)dx,dU=f(x)dx叫量U的微元(或元素).在电磁学中,由于很多物理量,如电场强度E、电位U、磁感应强度B等等均满足其可用定积分表示的条件(即使用微元法的条件),故微元法在电磁学中应用广泛.1积分表示已知点电荷Q在距其为r处的电场强度为E=Q4πεor2⌢r‚多个点电荷在空间中某一点处产生电场强度满足叠加原理,即E=E1+E2+….当电荷连续分布时,其在空间中产生的电场强度如何计算呢?观察一例:均匀带电细杆,长2l,带电荷Q,求其中垂面上距杆为r的电场强度.微元法的分析过程:建立直角坐标系如图1.以z为积分变量,则电场强度E是与x的变化区间[-l,l]有关的量;且对于[-l,l]具有可加性;将均匀带电细杆进行分割、近似取代后可将任取的小电荷微元dq=Q2ldz近似看作点电荷,其在中垂面上P点处产生的电场强度为dE=dq4πε0r′2⌢r´=Q4πεo(Ζ2+r2)21dz⌢r´=f(z)dz⌢r´,即部分量△E的大小△E近似可写为f(ξi)△Zi.故电场强度的大小E可用定积分表示.考虑到其矢量性,E=Ezk+Eyj,先求出Ez、Ey,再利用E=√E2Ζ+E2y计算出E,根据本问题的具体情况,判定出E的方向.据对称性,Ez=0‚dEy=Qr4πεo(z2+r2)2l√z2+r2)dzE=Ey=Qr8πεoll∫-l1(z2+r2)32dz=Q4πεor√r2+l2=λel2πεor√r2+l2.其中λe=Q21是线电荷密度.在实际问题中,可根据具体问题,选择不同的电荷微元,以简化电场强度的计算.例如1)在上例的基础上,可以用积分法计算出无穷大均匀带电平面产生的电场强度,此时选取无限长的均匀带电细杆作为电荷微元,以细杆的宽度作为积分变量:2)无限长的均匀带电圆柱面在空间产生的电场强度.仍可选取无限长的均匀带电细杆作为电荷微元,以细杆的宽度作为积分变量;3)半径为a的均匀带电半圆弧曲率中心的电场强度,如图2.可选取圆弧上的任一小弧段作为电荷微元,其带电荷dq=λdl=qπadl,以θ作为积分变量,则dE=λdθ4πε0a,考虑到电场强度的矢量性,其只有x方向的分量.积分得到E=Ex=Qπ2ε0a2.4)半径为a的均匀带电(面密度为σ)的半球壳球心处的电场强度,如图3.可选取任一圆环作为电荷微元,其带电荷dq=σds=2πrσdl,以θ作为积分变量,则dE=xdq4πε0(x2+r2)32=σ2ε0sinθcosθdθ=f(ϑi)dθ,积分得到E=σ4ε0.以上所举的例子,均采用了微元分析处理后的积分法,在有些具有对称性的问题中,可应用高斯定理进行计算.2均匀带内压电已知点电荷Q在距其为r处的电位为U=Q4πε0r(以无穷远处作为电位的参考点),多个点电荷在空间中某一点处产生电位满足叠加原理,即U=U1+U2+….当电荷连续分布时,其在空间中产生的电位如何计算呢?总体思路与计算电场强度类似,所不同的是电场强度是矢量,进行积分运算时必须先将其投影,再积分,最后求合场强;而电位是标量,选取完电荷微元,即可直接进行积分运算.因此对某些问题,先利用积分法计算出电位,再利用电位与电场强度的微分关系求出电场强度.仍举上例进行分析,水中垂面上距杆为r处的电位.建立直角坐标系如图1.以x为变量,则电位U是与x的变化区间[-l,l]有关的量;且对于[-l,l]具有可加性;将均匀带电细杆进行分割、近似取代后可将任取的小电荷微元dq=Q2ldz近似看作点电荷,其在中垂面上P点处产生的电位为dU=dq4πε0r′=Q4πε0√z2+rz2ldz=f(z)dz,即部分量△U可近似写为f(ζi)△zi,故电位U可用定积分表示:U=Q4πε02ll∫-l1√z2+r2dz=Q8πε0lΙnl+√l2+r2√l2+r2-l.与求电场强度类似,在实际问题中,可根据具体问题选取不同的电荷微元,以简化计算.例如:(1)半径为a的均匀带电圆环,电荷为q,求通过圆环中心的垂直轴上任一点的电位.可选取圆环上任一小弧段为电荷微元,其带电荷为dq=λdl=q2παdl,则dU=λdl4πε0r,以l为积分变量,积分得到U=λ4πε0∮dlr=q4πε0√a2+x2.(2)半径为a的均匀带电球壳.带电量为q的电位分布.可借助上例结果,选取宽为dl面积为ds的圆环为电荷微元,其带电量为dq=σdl=q4πα22πa2sinθdθ=12qsinθdθ,则dU=dq4πεor=qsinθdθ8πεo(z2+a2-2azcosθ)12,以θ为积分变量,积分得到U=q8πε0π∫0sinθdθ(z2+a2)12,若P点在球壳外,即z＞a,U=q8πε0azz+a∫z-adr=q4πε0z;若P点在球壳内,即z＜a,U=q8πε0aza+z∫a-zdr=q4πε0a.如图4.以上所举的例子,均是采用了合理的微分法处理的积分.在有些具有对称性的问题中,可先用高斯定理求出各区域的电场强度,再根据电位与电场强度的积分关系求出电位分布.3电流微元法求解已知电流元Idl在距其为r处产生的磁感应强度为dB=μ04πΙdl×⌢rr2载流导线在空间产生的磁感应强度满足叠加原理.观察一例:一载流直导线,电流为I,求离导线为a的p点的磁感应强度,如图5.以θ为积分变量,则磁感应强度B的大小B是与变量θ的变化区间[θ1,θ2]有关的量;B对于区间[θ1,θ2]具有可加性(但要注意其矢量性);选取长直导线上任一小线元作为电流微元Idl,其在P点产生的磁感应强度的大小为dB=μ04πΙdlr2sinθ=μ0Ι4πsinθadθ=f(θ)dθ,即部分量△B的近似值可表示为f(ϑi)△θi,因此B可用定积分表示.求解得:B=μ0Ι4πaθ2θ1∫sinθdθ=μ0Ι4πa(cosθ1-cosθ2).若导线为无限长,即θ1=0,θ2=π,则B=μ0Ι2πa,方向垂直纸面向外.在实际问题中,可根据具体问题选择不同的电流微元,以简化计算,例如:1)圆形载流导线轴线上的磁场.可选取圆形载流导线轴线上的小弧段作为电流微元Idl,如图6.根据→B的矢量性,其在轴线上产生的磁感应强度B=B//,B⊥=0‚dB//=μ0Ι4πR(r20+R2)32dl,以l为积分变量,积分,得到B=B//=∮圆周dB//=μ02ΙR2(r20+R2)32.2)载流螺线管轴线上的磁场.可选取元段dl(线圈匝数为ndl)作为电流微元,由上例,B⊥=0‚dB//=μ0nΙ2R2(l2+R2)32dl=μ0nΙ2sinβdβ=f(β)dβ,以β为积分变量,积分得到B=B//=μ0nΙ2(cosβ1-cosβ2).(3)半径为R,载电流为I的无限长半圆形金属薄片圆柱轴上的磁感应强度.可选取宽为dl的长直导线作为电流微元,如图7.dΙ=ΙπRdl,其在轴线上产生的磁感应强度B=Bx,By=0‚dBx=μ0ΙR2π2R2sinθdθ=f(θ)dθ,以θ为积分变量,积分得到B=Bx=μ0