中学数学不等式证明方法

1/1中学数学不等式证明方法中学不等式证明方法探究

证明不等式的方法敏捷多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思维，并把握相应的步骤，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．

通过不等式的基本学问、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分学问中的应用，深化数学学问间的融汇贯穿，从而提高分析问题解决问题的力量．在应用不等式的基本学问、方法、思想解决问题的过程中，提高同学数学素养及创新意识．1、比较法

比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。其难点在其次步的“变形”上，变形的目的是有利于第三步推断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方。1）作差比较法的理论依据有：

.0,0,0=-?=-?>babababababa

2）作商比较法的理论依据有：

.1,0>?>>ba

bab

3）作差（商）比较法的步骤：

作差（商）→变形→推断符号（与1的大小）例1：求证：234221xxx+≥+证明：法一：)221(234xxx+-+

23422223332210

]2

1

)21(2[)11221

122)(112)(11)(11(2xxxxxxxxxxxxxxxxxxx+≥+∴≥++-=++-=-+--==-+--=

法二：)2(21234xxx+-+

2

342222242342210

)1(1

22xxxxxxxxxxx+≥+∴≥-+-=+-++-=

说明：法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解123--xx的因式，推断1222++xx的符号除用配方法外，还可用判别式法（此法我们后面再述）。证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项，此法笔者又将其归纳为裂项法。通过本例，可以了解求差比较法的全貌，以及关键的其次步变形。

例2：已知0,1>>λa，求证：)2(log)(log)(λλλ+>++aaaa证明：aaaaaaaa)(log)2(log)

(log)2(logλλλλλλ+++?+=++

).

(log)2(log,0)(log1

]2

)(log[

]2

)

2(log[

]2)

2(log[

]2

log)2(log[

)(22

)(22)(2

)(2

)(λλλλλλλλλλλλλ++=+>>cba，求证：（1）babaabba>

（2）bacacbcbacbacba+++>222

证明：（1）0>>>cba，babababa

a

bba-=)(

又0,1,0>->∴

>>bab

a

baa

bbaababb

ababababab

ababa>∴>>>∴-0

,1,1)(又即（2）由（1）的结果，有

0,0,0>>>>>>caacbccbabbaacaccbcbbaba

两边分别相乘得

b

ac

ac

bc

b

a

cabcabaccbbac

b

a

c

baa

ccbbaaccbba+++>∴??>??222

2、综合法

利用某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这种证明方法叫做综合法，综合法的思索路线是“由因导果”。例4：（1）已知证：

为不全相等的正数，求cba,,

3>-++-++-+cc

babba

caacb（2）已知1,,=abccba为不相等正数，且，

求证：c

ba

cba1

11++-+++++∴

ac

cacbbcbaab（得证；证法二：)222(

-+++-+++-++=c

c

bab

cbaacba左式

3

696

1

336)111)(,,6

)111)((33=-=-?>-++++∴-++++=abc

abccbacbacbac

ba

cba（为不全等正数

得证。

（2）证法一：1,,=abccba为不等正数，且

c

babaa

ccbab

cabccba1

11211211211111+

+=+

++++++

+++=++=++∴222222111得证。

说明：（1）题两种方法的差别主要在于对不等式左边施行不同的恒等变形，其目的都是为了有效地利用基本不等式，敏捷地运用均值不等式，这也是综合法证明不等式的主要技巧之一；

（2）题是条件不等式的证明，要找出条件与结论之间的内在联系，分析已知与求证，不等式左边与右边的差异与联系，去异求存同，找到证题的切入口，本题合理运用条件

1=abc的不同变形。

3、分析法

从求证的不等式动身，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为推断这些条件是否具备的问题，假如能够确定这些条件都已具备，那么就可判定所求证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，分析法的思路是“执果索因”。

例5：已知函数)21,0,11lg(∈-=xxxf，若.)2

1

,0(,2121xxxx≠∈且

求证：)2

]([21

2121xxfxfxf+>+

证明：要证原不等式成立，只需证明22

121)12

11)(11(-+>--xxxx事实上，2121,2

1

0xxxx≠+-+>--∴-+>-->+--=++

+=

-+∴故即是

得证。4、换元法

换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，根据所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得简单证明，这种方法称为换元法。换元法的目的是把合命题化简、化熟，把简单的、不熟识的命题化为简洁的、熟识的命题。

换元法在很多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元法的思想与方法来解就很便利，换元法多用于条件不等式的证明中，一般有增量换元、三角换元、和差换元、向量换元、利用对称性换元、借助几何图形换元等几种方法。1）增量换元

对对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母挨次的不等式，常用增量换元，换元的目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。

例6：已知.4

11,c

ac

bba

cba-≥-+->>求证：

分析：考虑到)(cbbaca-+-=-，由此可以令,0,0>-=>-=cbybax这时问题转

化为“y

xyxyx+≥+>4

11,0,证明若”。

证明：令yxcacbybax+=->-=>-=,0,0，下面只要证明：

y

xyx+≥+411即可。取等号）

即当且仅当cabyxyx

xyyxxyyxyxyx+====+≥++=++∴>2,,(4222))(11(,0,成立。即c

ac

bbayxyx-≥-+-+≥+∴4

11,411例7：若.2,0222abababba≥-+-≥≥求证：分析：如何利用已知不等式0≥≥ba是证明本题的关键，

由于)00(0≥+=?≥=-?≥?≥-hhbahhbababa，这样可把已知的不等式关系换成相等关系。

证明：),0(,0≥+=≥≥hhbaba设

.

222)(22222222

22222abababa

hbbhhnhbbhbbhbbbabab≥-+-∴=+≥+++=-++-+=-+-则

得证。

2）三角换元

三角换元就是依据已知的一些三角等式、三角代换来解决题目中的某些问题，如，问题中

若

已知

θθsi

n,cos)),,0(222ayaxaayx==+∞∈=+可设；若已知

)1(sin,cos,12

2

≤==≤+rryrxyxθθ可设；若已知，

或1122

222222=-=+b

yaxbyax则条件可设??

?==???==,tan,

sec;sin,cosθθθθyaxayax或其中θ的范围取决于yx,的取值范围，等等。例8：已知.1,1,1,,,2222≤+=+=+bdacdcbadcba求证：都是实数，且

分析：由1,12222=+=+dcba，可以联想到1cossin22=+αα的关系作三角代换。证明：,cos,sin,cos,sin,1,12222ββαα=====+=+dcbadcba所以可设,)cos(coscossinsinβαβαβα-=+=+∴bdac

1,1)cos(≤+∴≤-bdacβα又，即原不等式成立。3）和差换元

例9：对任意实数.2

222,,6

63322bababababa+≤+?+?+求证：分析：对于任意实数ba与，都有2

2,22b

ababbabaa--+=-++=

，令tsbtsab

at

bas-=+=-=+=

,,2

,2则有。证明：设tsbtsa-=+=,，下面只需证

.1515)3)((6422462322ttstssststss+++≤++

.

2

222,1515)3)((,012116

63322642246232264224babababattstssststssttsts+≤+?+?++++≤++∴≥++=-即左边右边

得证。4）向量换元

例10：已知.221212,1,,≤+++=+∈+babaRba求证：

分析：将不等式变形为12122121121+++?≤+?++?baba，观看其结构我们可

联想到学习两个向量的内积是有这样一共性质：2211baba?+?=?≤?。

证明：设)12,12,1,1(++==ba，

则有12122,1212+++==+++=?baba

.221212,2,1≤+++≤?==+aanmba得由性质

5）利用对称性换元

例11：设).)((,,,cbabacacbabcRcba-+-+-+≥∈+求证：

分析：经过观看，我们发觉，把cba,,中的两个互换，不等式不变，则可令

.8))((,,,xyzxzzyyxcbazbacyacbx≥+++-+=-+=-+=则原不等式可化为：证明：令cbazbacyacbx-+=-+=-+=,,

.8))((0,,,)(2

1

),(21),(21xyzxzzyyxxyzRcbayxczxbzya≥+++xyz时，有+∈Rzyx,,（否则zyx,,中必有两个不为正值，不妨设0,0≤≤yx则0≤c，这与0>c冲突）

因此：02,02,02>≥+>≥+>≥+zxxzyzzyxyyx则有：xyzxzzyyx8))((≥+++综上，恒有xyzxzzyyx8))((≥+++，

把zyx,,的值代人上式得：).)((cbabacacbabc-+-+-+≥得证。6）借助几何图形换元

例12：已知cba,,是ABC?三边的长，求证：.222222333accbbaaccbba++≥++分析：如图，作为切点的内切圆，设FEDABC,,?，令.,,AEzCDyBDx===（其中+∈Rzyx,,）

，则原不等式可转化为：zyxyyxxxzzzy222)(2

22++≥+++++（1）再利用均值不等式：abba2≥+。

证明：设FED,,为切点，令.,,AEzCDyBDx===则原不等式可化为（1）的形式，又

由于+

∈Rzyx,,，则有，.2,2,22

22xyy

xzxxzyzzy≥+≥+≥+所以（1）式成立，故原不

等式成立。得证。

7）代数换元

例13：已知+∈Rcba,,，且.23131313,1≤+++++=++cbacba求证：分析：引入参数，配凑成二次方程转化为二次不等式证明：设.131313kcba=+++++则可令.0,3

13,313,313321321=+++=++=++=

+ttttk

ctkbtka其中所以232221)3

33(131313tk

tktkcba+++++=+++++

即)(3)(32362

3222122322213212tttkttttttkk+++=++++++=

所以3

62

k≥，解得

23≤k，即23131313≤+++++cba。得证。8）分式换元

例14：设2232

1,1,0,0+≥+=+>>y

xyxyx求证：

分析：由于,0,0,1>>=+yxyx所以用分式换元，转化为均值不等式证明。证明：设)0,0(,>>+=+=

bab

abybaax，则22323)(221+≥++=+++=+b

a

abbbaabayx，即

2232

1+≥+y

x9）比值换元法

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个帮助未知数表示这个比值，然后代入求证式即可。

例15：已知.10,421222≥++-=+=-zyxzyx求证：证明：设kzyx=-=+=-421，于是4,2,1+=-=+=kzkykx

把zyx,,代入222zyx++得：1010)1(310)12(31363222≥++=+++=++kkkkk。得证。5、放缩法

为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性达到证题的目的，这种方法称为放缩法，放缩时主要方法有：

1）舍去或加上一些项，如：.)2

1

(43)21(22+>++aa

2）将分子或分母放大（缩小），如：

).1,.(1

21,1

21

,)1(11,)1(112

2>∈++>

-+-+++?+?=2211)1(3221

.2

)

1(21+=

+++=nnn又)..(2

)

11(,1Nkkkkkkk∈++A,先假设BA≤，依据题设及其他性质推出冲突，从而确定B>A成立。

例17：已知.2

1

)3(,)2(,)1(,)(2不全小于求证：

fffbaxxxf++=证明：假设,2

1

)3(,21)2(,21)1(21)3(,)2(,)1(=++=++∈aazyxazyxRzyx用且求证zyx,,都是不大于a

3

2

的非负数。

证明：由22222

1

,azyxyxaz=++--=代入，可得

。得证。

，同理可得：，化简得即，azaxayaayyayayyaRxayayxyax3

2

032032

00,0230

]2

1

)([8)(4,00

2

1

)(22222222222≤≤≤≤≤

≤∴>≤-≥--+--≥?∴∈=--++--8、构造法

有些不等式可构造函数利用函数性质，或构造复数利用复数向量有关性质，或构造几何图形利用集合学问，还可以构造数列利用数列相关性质来证明不等式。1）利用函数的单调性

例19：求证：

.111b

ba

ab

aba++

+≤

+++

分析：由不等号两边形式可归纳为)0.(1)(≥+=

xx

x

xf的形式，因此可考虑函数x

x

xf+=

1)(在0≥x时的单调性。证明：构造函数xx

xf+=

1)(，设210xx<≤，0)

1)(1(1121212211<++-=+-+xxxxxxxx)(xf∴在0≥x上是增函数，且baba+≤+

令baxbax+=