指数函数教案

指数函数教案指数函数教学设计

教材选用：北师大版高中数学选修1

教学目标：

1.知道什么是指数函数及其定义域、值域；

2.能够根据指数函数的特点画出它们的图像、决定它们的性质；

3.能够看出指数函数与幂函数以及对数函数、指数关系的联系，并能举例说明；

4.能够进行一些基本的乘法、除法、幂运算和对数运算。

教学重点：

1.指数函数的定义、图像和性质；

2.幂函数与指数函数的关系；

3.指数函数与对数函数的关系。

教学难点：

1.指数运算法则的应用；

2.对数函数的定义、图像和性质。

教学内容：

第一部分：教师引入

教师可采用物理上的例子作为引入，例如介绍放射性衰变现象或者生物的繁殖过程中，对指数函数进行简单的引入，进而引导学生理解指数函数的概念。

第二部分：教师讲解

1.指数函数的基本概念

（1）指数函数的定义：设a为正实数，且a≠1，x为任意实数，则函数y=a^x称为以a为底的指数函数。

（2）指数函数的图像：

当a>1时，y=a^x是增函数，图像呈现指数增长趋势；

当0＜a＜1时，y=a^x是减函数，图像呈现指数衰减趋势。

（3）指数函数的性质：

①定义域：x为任意实数；

②值域：

当a>1时，y≥0；

当0＜a＜1时，0＜y≤1；

③对称轴：x轴；

④单调性：当a>1时，y=a^x递增；当0＜a＜1时，y=a^x递减。

2.底数为e的指数函数

（1）自然对数的定义：lnx(x>0)表示以常数e为底，x的对数，即lnx=logex。

（2）自然指数函数：y=e^x，其中e=2.718281828459……

（3）e^x的图像：y=e^x呈现指数增长趋势。

3.幂函数与指数函数的关系

幂函数y=x^n中，当n>0时，函数值随着自变量x的增大而增大，增长趋势与y=a^x函数一致。

当n=0时，y=1，相当于指数函数y=a^0。

当n<0时，y=x^n中随着x的增大，函数值却在减小，与y=a^x函数的减函数趋势一致，但由于在n为整数的情况下，x^n的定义域处理会存在问题，所以不同的书籍会有不同的处理方式。

4.指数函数与对数函数的关系

（1）对数函数的定义：

设a为正实数，且a≠1，x为正实数，则函数y=logax称为以a为底的对数函数。

（2）对数函数的图像：

以2为底的对数函数y=log2x的图像呈现对称性，即y=log2x与y=-log2x的图像互相对称，且y=log2x与x轴、y轴都有公共点，即(1,0)和(0,1)；

当a>1时，y=logax是增函数；当0<a<1时，y=logax是减函数，都呈现指数增长或衰减的趋势；

当a=1时，y=log1b=0；

当b>0时，logbb=1。

（3）指数函数与对数函数的关系：

设a>0，且a≠1，则有a^logax=x。

第三部分：教师辅导

通过例题、习题的方式，加深学生对指数函数的掌握。

典型例题：

1.若3^x-2×3^{x-1}=7，求x的值。

解：3^x-3^{x-1}=7/2，化简可得：

3^{x-1}(3-1)=\frac{7}{2}

化简后可得：

3^{x-1}=7/4

则x-1=log3(7/4)

x=log3(7/4)+1

2.房子达到理想温度需要的时间是室温的80%，已经过去了20分钟，还需要过去多长时间才能达到温度呢？

解：设室温为a，要达到的温度为b，则

t=20+0.8^nt

根据指数函数的增长趋势，若t越大，则0.8^t越小，因此t应为升函数，两边同时除以0.8^n，得：

t/0.8^n=0.25+0.8^n*t/0.8^n

令z=t/0.8^n，将上式代入得：

z=0.25+0.8z

z=0.25÷0.2=1.25

t=1.25×0.8^n

通过应用指数函数的增长趋势，变形后计算，求出达到理想温度需要的时间。