等差数列（精讲）

6.1等差数列（精讲）一．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．二．等差中项如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b．①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．三．等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)四．等差数列的前n项和公式1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．3.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm．一．等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．2.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个。二．等差数列的判定与证明的常用方法1.定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．3.通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．4.前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列．三．在等差数列{an}中前n项和性质1.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；2.S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；3.S2n－1＝(2n－1)an．5.若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)．6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)．四．求等差数列前n项和Sn及最值1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．3.项的符号法(邻项变号法)：①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.数列的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．考法一等差数列基本量的计算【例11】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（

）A．54 B．71 C．80 D．81【答案】D【解析】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以.故选：D.【例12】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为，则，，解得，，所以．故选：D.【例13】（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.【一隅三反】1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列的前项和为．若，则（

）A．16 B．25 C．29 D．32【答案】B【解析】由可得，即，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以，故选：B2．（2023春·广东佛山）（多选）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（

）A． B．－11是数列中的项C．数列的前n项和 D．数列的前7项和最大【答案】ABD【解析】，，解得，，对选项A：，正确；对选项B：取，，正确；对选项C：，错误；对选项D：，，，故数列的前7项和最大，正确.故选：ABD3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（）A．数列的公差为 B．C．数列是公差为的等差数列 D．【答案】ABC【解析】由题意知，又，故可看出方程的两根，∵数列为递减数列，，．公差，故A正确；又，，故B正确；由上可知，则当时，，当时，，数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确；由C选项知：，故，∵，，故D错误．故选：ABC4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，若数列和均为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】数列为等差数列，设其首项为，公差为d，则，，由数列为等差数列，可得则，两边平方整理得，，两边平方整理得，，解之得，则，，选项A：.判断错误；选项B：.判断正确；选项C：.判断错误；选项D：.判断正确.故选：BD考法二等差数列的判定与证明【例21】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．证明：是等差数列，并求出数的通项公式．【答案】证明见解析，【解析】因为，所以，则，即，又，则，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以．【例22】（2023·北京）已知数列满足，记．求证：数列是等差数列．【答案】证明见解析【解析】（定义法），所以数列是首项为，公差为的等差数列.（等差中项法），，，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.【一隅三反】1．（2023·安徽）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（

）A．数列，，，…，…为等差数列B．数列，，，…，，…为等差数列C．数列为等差数列D．数列为等差数列【答案】C【解析】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.故选：C.2．（2023·云南）已知等差数列的前项和为，若(1)求数列的通项公式.(2)证明:数列为等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，有，所以等差数列的通项公式为；（2）由(1)知，，所以，又，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.3．（2023·广东）已知数列{}满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{}的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：数列{}满足．两边取倒数可得：，即，∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2；（2）由（1）可得：，解得．4．（2023福建）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：(1)数列为等差数列；(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）解：因为数列为等差数列，，，所以数列的公差为，，则，又，，故数列为等差数列.（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，由数列的通项公式可得，将此式展开可得，所以有，即，所以，，所以，，化简整理得，，与假设矛盾，故数列中任意三项均不能构成等比数列.考法三等差数列的中项性质【例31】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为数列是等差数列，所以，即，所以，故选：A【例32】（2023·湖北）等差数列中，若，则的前15项和为（

）A．1 B．8 C．15 D．30【答案】C【解析】等差数列中，，所以，则的前15项和为，故选：．【一隅三反】1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以.故选：A.2．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是等差数列，所以，故，则，因为是等比数列，所以，故，则，所以.故选：A3．（2023·广东）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】因为，又，所以，所以，即，设等差数列的公差为，则，所以，又所以，所以．故选：C.4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为______．【答案】【解析】由，则，由，则，所以.故答案为：考法四等差数列前n项和的性质【例41】（2023·海南）若两个等差数列，的前n项和满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.故选：B.【例42】（2023·云南）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为=，所以可设，，，所以，，所以，故选：A.【例43】（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（

）A．9 B． C．12 D．【答案】A【解析】由已知，，，即3，，成等差数列，所以，所以，故选：A．【例44】（2023·全国·高三对口高考）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故选：A.【例45】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．【一隅三反】1．（2023·山西）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.2．（2023·山东）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，.则，，所以.故选：B.3．（2023·河北）设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：C.4．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】即，又等差数列的前项和形式满足，故.则，故.故选：A5．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒考法五等差数列的最值【例51】（2023·甘肃）设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【解析】因为是方程的根，，又，公差，由等差中项知：

，

，，，即使得的成立的最大；故选：A.【例52】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（

）.A．， B．与均为的最大值C． D．【答案】B【解析】依题意，因为，，所以，所以CD正确；由，易得，所以，即，由，得，所以，所以A正确；对于B：因为，所以，因此，与不可能同为的最大值.故选：B.【一隅三反】1．（2023·内蒙古）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（

）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】C【解析】因为，所以异号，因为，所以，又有，所以，即，因为，，所以的最大整数n为17.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（

）A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【解析】由等差数列的性质可知，，又，和异号，数列的前项和有最大值，数列是递减的等差数列，即，，，，当时，的最大值为20．故选：C．3．（2023春·重庆·高三统考开学考试）设等差数列的前项和为，满足，则（

）A． B．的最小值为C． D．满足的最大自然数的值为25【答案】C【解析】由于，，∴上式中等差中项，，即，故A错误；由等差数列的性质可知，，即，故B错误；由以上分析可知C正确，D错误；故选：C.考法六等差数列在实际生活中的应用【例61】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（

）A．26 B．130 C． D．156【答案】B【解析】设第天的织布量为,根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列,该等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，所以，解得，所以．所以这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为130.故选:B【例62】（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（

）A．102 B．103 C．104 D．105【答案】C【解析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，由已知是的倍数，也是的倍数，故为的倍数，所以首项为，公差为的等差数列，所以，令，可得，又解得，且，故获得精品足球的人数为.故选：C.【一隅三反】1．（2023·河南）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（

）A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块【答案】B【解析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，所以，所以所以，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）块.故选：B2．（2023·吉林）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为