同济大学第一章函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章第一复习函数有关内容，既而介绍极限的观点、性质、运算等知识，最后经过函数的极限引入函数的连续性观点，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节

会合与函数会合会合议论函数离不开会合的观点.一般地，我们把拥有某种特定性质的事物或对象的整体称为会合，构成会合的事物或对象称为该会合的元素.往常用大写字母A、B、C、表示会合，用小写字母a、b、c、表示会合的元素.假如a是会合A的元素，则表示为aA，读作“a属于A”；假如a不是会合A的元素，则表示为aA，读作“a不属于A”.一个会合，假如它含有有限个元素，则称为有限集；假如它含有无穷个元素，则称为无限集；假如它不含任何元素，则称为空集，记作.会合的表示方法往常有两种：一种是列举法，即把会合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示会合.比如，有1,2,3,4,5构成的会合A，可表示成A={1,2,3,4,5}

；第二种是描绘法，即设会合M所有元素x的共同特色为P，则会合M可表示为Mx|x拥有性质P.比如，会合A是不等式x2x20的解集，就能够表示为Ax|x2

x2

0

.由实数构成的会合，称为数集，初等数学中常有的数集有：（1）全体非负整数构成的会合称为非负整数集（或自然数集），记作

N

，即N0,1,2,3,

,n,

；（2）所有正整数构成的会合称为正整数集，记作N，即N1,2,3,,n,；（3）全体整数构成的会合称为整数集，记作Z，即Z,n,,3,2,1,0,1,2,3,,n,；（4）全体有理数构成的会合称为有理数集，记作

Q，即Q

p

p

Z,q

N,且p与q互质；q（5）全体实数构成的会合称为实数集，记作R.区间与邻域在初等数学中，常有的在数集是区间.设a,bR，且ab，则（1）开区间(a,b)x|axb；（2）半开半闭区间[a,b)x|axb，(a,b]x|axb；（3）闭区间[a,b]x|axb；（4）无量区间[a,)x|xa，(a,)x|xa，(,b]x|xb，(,b)x|xb，(,)x|xR.以上四类统称为区间，此中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无穷区间.在数轴上能够表示为（图1-1）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）图1-1在微积分的观点中，有时需要考虑由某点x0邻近的所有点构成的会合，为此引入邻域的观点.定义1设为某个正数，称开区间(x0,x0)为点x0的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x,)，即0U(x0,)x0|x0xx0x||xx0|.在此，点x0称为邻域的中心，称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2o此外，点x0的邻域去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作U(x0,)，即oU(x0,

)

x|0

|x

x0

|

,图形表示为（图1-3）：图1-3此中(x0,x0)称为点x0的左邻域，(x0,x0)称为点x0的右邻域.函数的观点函数的定义定义2设x、y是两个变量，D是给定的数集，假如对于每个xD，经过对应法例f，有独一确立的y与之对应，则称y为是x的函数，记作yf(x).此中x为自变量，y为因变量，D为定义域,函数值f(x)的全体成为函数f的值域，记作Rf，即Rfy|yf(x),xD.函数的记号是能够随意选用的,除了用f外,还可用“g”、“F”、“”等表示.但在同一问题中,不一样的函数应采用不一样的记号.函数的两因素：函数的定义域和对应关系为确立函数的两因素.例1求函数y11x2的定义域.x解1的定义区间知足：x0；1x2的定义区间知足：1x20，解得1x1.x这两个函数定义区间的公共部分是1x0或0x1.所以，所求函数定义域为[1,0)(0,1].例2判断以下各组函数能否相同.（1）f(x)2lgx，g(x)lgx2；（2）f(x)3x4x3，g(x)x3x1；（3）f(x)x，g(x)x2.解（1）f(x)2lgx的定义域为x0，g(x)lgx2的定义域为x0.两个函数定义域不一样，所以f(x)和g(x)不相同.（2）f(x)和g(x)的定义域为一的确数.f(x)3x4x3x3x1g(x),所以f(x)和g(x)是相同函数.（3）f(x)x，g(x)函数的表示法有表格法、在此不再多做说明.函数举例:

x2x,故二者对应关系不一致，所以f(x)和g(x)不相同.图形法、分析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.1,x0例3函数ysgnx0,x0，函数为符号函数，定义域为R，值域1,0,1.如1,x0图1-4：图1-4例4函数yx，此函数为取整函数，定义域为R，设x为随意实数,y不超出x的最大整数，值域Z.如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，

一个自变量

x经过对于法例

f

有确立的y值与之对应，但这个我们称这样的对应法例确立了一个

y值不老是独一多值函数.

.这个对应法例其实不切合函数的定义，习惯上函数的性质设函数yf(x)，定义域为D，ID.（1）函数的有界性定义3若存在常数M0，使得对每一个xI，有f(x)M，则称函数f(x)在I上有界.若对随意M0，总存在x0I，使f(x0)M，则称函数f(x)在I上无界.如图1-6：图1-6比如函数f(x)sinx在(,)上是有界的:sinx1.函数f(x)1在(0,1)x内无上界，在(1,2)内有界.（2）函数的单一性设函数yf(x)在区间I上有定义,x1及x2为区间I上随意两点,且x1x2.假如恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单一增添的；假如恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单一递减的.单一增添和单一减少的函数统称为单一函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数yf(x)的定义域D对于原点对称.假如在D上有f(x)f(x),则称f(x)为偶函数；假如在D上有f(x)f(x),则称f(x)为奇函数.比如，函数f(x)x2，因为f(x)(x)2x2f(x)，所以f(x)x2是偶函数；又如函数f(x)x3，因为f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)x3是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形对于y轴对称，奇函数的图形对于原点对称.函数的周期性设函数yf(x)的定义域为D.假如存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有xlD,且fxlf(x),则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.假如在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期.我们往常说的周期是指最小正周期.比如，函数ysinx和ycosx是周期为2的周期函数，函数ytanx和ycotx是周期为的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不必定存在最小正周期.比如，常量函数f(x)C，对随意实数l，都有f(xl)f(x)，故随意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数1,xQD(x)Qc，0,x当xQc时，对随意有理数l，xlQc，必有D(xl)D(x)，故随意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.反函数在初等数学中的函数定义中，若函数f:Df(D)为单射,若存在f1:f(D)D，称此对应法例f1为f的反函数.习惯上,yf(x),xD的反函数记作yf1(x),xf(D).比如，指数函数yex,x(,)的反函数为ylnx,x(0,)，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数yf(x)单一递加(减)，其反函数yf1(x)存在，且也单一递加（减）.（2）函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图形对于直线yx对称.下边介绍几个常有的三角函数的反函数：正弦函数ysinx的反函数yarcsinx，正切函数ytanx的反函数yarctanx.反正弦函数yarcsinx的定义域是[1,1]，值域是,；反正切函数yarctanx的22定义域是(,)，值域是,，如图1-10：229图1-10复合函数定义4设函数yf(u),uDf，函数ug(x),xDg,值域RgDf，则yfg(x)或yfg(x),xDg称为由yf(u),ug(x)复合而成的复合函数，此中u为中间变量.注：函数g与函数f构成复合函数fg的条件是RgDf，不然不可以构成复合函数.比如，函数yarcsinu，u[1,1]，ux22,xR.在形式上能够构成复合函数yarcsinx22.可是ux22的值域为[2,)[1,1]，故yarcsinx22没存心义.在后边的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则：从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5对函数yasinx分解.解yasinx由yau，usinx复合而成.例6对函数ysin2(2x1)分解.解ysin2(2x1)由yu2，usinv，v2x1复合而成.初等函数在初等数学中我们已经接触过下边各种函数：常数函数：yC（C为常数）；幂函数：yx(0)；指数函数：yax(a0且a1)；对数函数：ylogax(a0且a1)；三角函数：ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx；反三角函数：yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.这六种函数统称为基本初等函数.定义5由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.比如，yesinx，ysin(2x1)，ycotx等都是初等函数.2需要指出的是，在高等数学中碰到的函数一般都是初等函数，可是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个分析式来表示.可是有的分段函数经过形式的转变，能够用一个式子表示，就是初等函数.比如，函数x,x0y，x,x0可表示为yx2.习题1-1求以下函数的定义域.（1）y1x2；（2）（3）ylnxx2；（4）2（5）y5（6）；x24

y14x2；1xyarcsinx34；yln(3x)x.2以下各题中，函数f(x)和g(x)能否相同，为何（1）2f(x)xg(x)x2f(x)lgx，g(x)2lgx；（），；2（3）f(x)x，g(x)elnx；（4）f(x)x，g(x)sin(arcsinx).3.已知f(x)的定义域为[0,1]，求以下函数的定义域.（1）f(x2)；（2）f(tanx)；（3）f(xa)f(xa)(a0).4.设fx1x23x5，求f(x)，f(x1).5.判断以下函数的奇偶性.（1）ysinxtanx；（2）（3）yexex（4）；2

ylgxx21；yx(x31)；1x,x0（5）yx,x.106.设以下考虑的函数都是定义在区间(l,l)(l0)上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.以下函数中哪些是周期函数假如是，确立其周期.（1）ysin(x1)；（2）ycos2x；（3）y1sinx；（4）ycos2x.8.求以下函数的反函数.（1）y3x1；（2）ex（3）y；（4）x1ex,x1

y1lg(x2)；y2sinxx(,)；2（5）yx2,1x4.2x,x49.以下函数是有哪些函数复合而成的.（1）ysin(3x1)；（2）ycos3(12x)；（3）yln(arcsin(x1))；（4）yesinx2.10.设f(x)x2，(x)lnx，求f(x)，ff(x)，f(x).第2节极限极限在高等数学中据有重要地位，微积分思想的构架就是用极限制义的.本节主要研究数列极限、函数极限的观点以及极限的有关性质等内容.数列的极限数列的观点定义1若依据必定的法例，有第一个数a1，第二个数a2，，挨次摆列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确立的数12nan，那么，我们称这列有序次的数a，a，，a，为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.比如111,,12,,2n,；481,111,(1)n12,,,,；34n1,2,3,,n,；234n11,1,1,,(1)n1,都是数列，它们的一般项挨次为1，(1)n1，n，(1)n1.2nnn1我们能够看到，数列值an跟着n变化而变化，所以能够把数列an看作自变量为正整数n的函数，即anf(n),nN.此外，从几何的角度看，数列an对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取a1，a2，，an，，在数轴上表示为（图1-11）：图1-11数列极限的定义数列极限的思想早在古代就已萌发，我国《庄子》一书中着名的“一尺之锤，日取其半，万世不停”，魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中开创“割圆术”，用圆内接多边形的面积去迫近圆的面积，都是极限思想的萌芽.设有一圆，第一作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；挨次进行下去，一般把内接正62n1边形的面积记为An，可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，，An，，它们就构成一列有序数列.能够发现，当内接正多边形的边数无穷增添时，An也无穷凑近某一确立的数值(圆的面积)，这个确立的数值在数学上被称为数列An当n时的极限.在上边的例子中，数列1如图1-12：2n图1-12当n时，1无穷凑近于常数0，则0就是数列1当n时的极限.2n2n再如数列n：当n时，n无穷凑近于常数1，则1就是数列n当n1n1n1n时的极限；而数列(1)n1：当n时，(1)n1在1和-1之间往返震荡，没法趋近一个确立的常数，故数列(1)n1当n时无极限.由此推得数列的直观定义：定义2设an是一数列，a是一常数.当n无穷增大时（即n），an无穷凑近于a，则称a为数列an当n时的极限，记作limann→a（n→∞）．aan在上例中，lim10，limn(1)n10.n1，limnn2nn1n对于数列an，其极限为a，即当n无穷增大时，an无穷凑近于a.怎样胸怀an与a无限凑近呢一般状况下，两个数之间的凑近程度能够用这两个数之差的绝对值ba来胸怀，而且a越小，表示a与b越凑近.(1)n1(1)n1比如数列n，经过察看我们发现an当n无穷增大时，an无穷凑近0，n即0是数列an当n时的极限.下边经过距离来描绘数列an的极限为0.因为an0(1)n11,nn当n愈来愈大时，1愈来愈小，进而an愈来愈凑近于0.当n无穷增大时，an无穷接近于0.n比如，给定1，要使11，只需n100即可.也就是说从101项开始都能使100n1001an0100成立.给定1，要使11，只需n10000即可.也就是说从10001项开始都能使10000n100001an010000成立.一般地，无论给定的正数多么的小，总存在一个正整数N，使适当nN时，不等式ana(1)n1当n时极限的实质.都成立.这就是数列ann依据这一特色获得数列极限的精准定义.定义3设an是一数列，a是一常数.假如对随意给定的正数，总存在正整数N，使适当nN时，不等式ana都成立，则称a是数列an的极限，或称数列an收敛于a.记作limana.n反之，假如数列an的极限不存在，则称数列an发散.在上边的定义中，能够随意给定，不等式ana表达了an与a无穷凑近程度.此外N与有关，跟着的给定而选定.nN表示了从N1项开始知足不等式ana.对数列an的极限为a也能够略写为：limana0,N0.当nN时,有xna.n数列an的极限为a的几何解说：将常数a与数列a1,a2,,an,在数轴上用对应的点表示出来，从N1项开始，数列an的点都落在开区间(a,a)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间之外（图1-13）.图1-13例1证明数列极限lim(1)n10.nn证明因为ana(1)n101,nn对0，要使(1)n1,0n即1,n1.取N1,当n(1)n1N时，有0.由极限的定义知nn(1)n1lim0.n例2证明数列极限lim3n13.n2n12证明因为ana3n134n1121,2n1224n4n对0，要使3n13,2n12即1,n1.取N1,当nN时，有3n13.由极限的定义知4n442n123n13lim.2n12注：在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重要的是要指出对于随意给定的正数，正整数N的确存在，没有必需非去找寻最小的N.例3证明数列极限lim10.2nn证明因为ana1012n2n,对0(设1)，要使10,2n1ln.取Nln，当nN时，有10.由极限的定即,取对数得nln22n2nln2义知lim10.2nn数列极限的性质定理1(极限的独一性)收敛数列的极限必独一?证明（反证法）假定同时有limana及limanb?且ab，不如设a<b?nn按极限的定义?对于ba>0?因为limana，存在充分大的正整数N1?使当2nN1时?有baana?2有anba.2因为limanb，存在充分大的正整数N2?使当nN2时?有nanbba2?有aban.2baab取NmaxN1,N2，则当nan成立，这是不行能的，N时，同时有an和22故假定不行立.收敛数列的极限必独一.定理2(收敛数列的有界性)假如数列an收敛?那它必定有界?即对于收敛数列an，必存在正数M，对全部nN，有anM.证明设limana，依据数列极限的定义?取??1?存在正整数N?当nN时?不n等式ana1都成立?于是当nN时?ananaaanaa1a.取Mmaxa1,a2,,aN,1a，那么数列an中的全部an都知足不等式anM.?这就证了然数列an是有界的?定理2说了然收敛数列必定有界，反之不行立.比如，数列(1)n有界，可是不收敛.定理3(收敛数列的保号性)假如limana,且a0(或a0)?那么存在正整数N当nN时?有an0(或nan0)?证明就a0的情况?由数列极限的定义?对a0,NN,当nN时?有2|ana|a?2进而0aan.2推论假如数列an从某项起有an0(或an0)?且limana?那么a0(或na0).定理4(夹逼准则)假如数列an、bn及cn知足以下条件?(1)bnancn(n1,2,)?(2)limbna?limcna?nn那么数列an的极限存在?且limana?n证明因为limbna?limcna?以依据数列极限的定义????0??N10?当nnN1时?有abna.又N20?当nN2时?有acna?现取NmaxN1,N2?则当nN时?有abna?acna同时成立?又因bnancn(n1,2,)?所以当nN时?有abnancna?即|ana|?这就证了然limana?n例4求证lim1110.n2(n1)2(nn)2n证明因为n111n(nn)2n2(n1)2(nn)2n2，而limn0，limn0，由夹逼准则知，(nn)2n2nnlim1110.222nn(n1)(nn)假如数列an知足条件a1a2anan1?就称数列an是单一增添的.假如数列an知足条件a1a2anan1?就称数列an是单一减少的?单一增添和单一减少量列统称为单一数列?定理5(单一有界准则)单一有界数列必有极限?例5求数列1，11，，111，的极限.解证明数列的有界性.令an111，此中a11，a222.设ak2，则则an11an，ak11ak32.由概括法知，对所有的nN，有0an2，故an有界.证明数列的单一性.已知a11，a2，则a2a1.设akak1，则2ak1ak1ak1ak-1akak-10.1ak1ak1由概括法知，对所有的nN，有an1故an单一递加.an，由单一有界准则知，数列an存在极限，设为a.在an11an两边取极限，得a1a,解得a1515a15故所求数列的极2或a.因为收敛数列保号性知舍去.22限是15.2函数的极限因为数列an能够看做是自变量为n的函数：anf(n),nN.所以数列an的极限为a，能够以为是当自变量n取正整数且无穷增大时，对应的函数值f(n)无穷凑近于常数a.对一般的函数yf(x)而言，在自变量的某个变化过程中，函数值f(x)无穷凑近于某个确定的常数，那么这个常数就叫做f(x)在自变量x在这一变化过程的极限.这说明函数的极限与自变量的变化趋势有关，自变量的变化趋势不一样，函数的极限也会不一样.下边主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限.自变量x时函数的极限引例察看函数ysinx时的变化趋势（图1-14）.当xx图1-14从图1-14能够看出，当x无穷增大时，函数sinx无穷凑近于0（确立的常数）.x由此推得函数f(x)在x时极限的直观定义：定义4设f(x)当x大于某一正数时有定义，当x无穷增大时,函数值f(x)无穷凑近于一个确立的常数A,称A为f(x)当x→+∞时的极限.记作limf(x)A??或f(x)A(x)．x引例中，limsinx0.x类比于数列极限的定义推适当x时函数f(x)的极限的直观定义：定义5设f(x)当x大于某一正数时有定义，假如存在常数A，对随意给定的正数，总存在正数X，使适当xX时，不等式f(x)A都成立，则称A是函数f(x)在x时的极限，记作limf(x)A.x对定义5的简单表达：limf(x)A0,X当时有f(x)A.x类比当x时函数f(x)的极限制义，当x时函数f(x)的极限制义：定义6设f(x)当x大于某一正数时有定义，假如存在常数A，对随意给定的正数，总存在正数X，使适当xX时，不等式f(x)A都成立，则称A是函数f(x)在x时的极限，记作limf(x)A.x对定义6的简单表达：limf(x)A0,X当时有f(x)A.x在引例中，sinx0.limxx联合定义5和定义6，推得函数f(x)在x时的极限制义：定义7设f(x)当|x|大于某一正数时有定义，假如存在常数A，对随意给定的正数，总存在正数X，使适当xX时，不等式f(x)A都成立，则称A是函数f(x)在x时的极限，记作limf(x)A.x对定义7的简单表达：limf(x)A0,X当时有f(x)A.x联合定义7，函数f(x)在x时的极限存在的充要条件是：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xxx例6证明limsinx0.xx证明因为f(x)Asinx0sinx1,xxx对0，要使f(x)A,即1,x1.取X1,当xX时，有f(x)A,由极限的定义知xlimsinx0.x从几何上看，limf(x)A表示当xX时，曲线yf(x)位于直线yA和xyA之间（图1-15）.图1-15这时称直线yA为曲线yf(x)的水平渐近线.比如limsinx0，则y0是曲线ysinx的水平渐近线.xxx自变量xx0时函数的极限引例1察看函数f(x)x1和g(x)x211时函数值的变化趋势（图x在x11-16）：图1-16从图1-16中得出，函数x211时函数值都无穷凑近于f(x)x1和g(x)在xx12，则称2是函数f(x)xx211时的极限.1和g(x)在xx1从上例中看出，固然f(x)和g(x)在x1处都有极限，但g(x)在x1处不定义.这说明函数在一点处能否存在极限与它在该点处能否有定义没关.所以，在后边的定义中假定函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，函数f(x)在xx0时函数极限的直观定义：定义7函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义.当xx0时，函数f(x)的函数值无限凑近于确立的常数A，称A为函数f(x)在xx0时的极限.在定义7中，函数f(x)的函数值无穷凑近于某个确立的常数A，表示f(x)A能任意小，在此相同能够经过对于随意给定的正数，f(x)A表示.而xx0能够表示为0xx0（>0），表现了x凑近x0的程度.由此获得函数f(x)在xx时0函数极限的精准定义：定义8函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义.对于随意给定的正数，总存在正数，当x知足不等式0xx0时，函数f(x)知足不等式f(x)A，称A为函数f(x)在xx0时的极限.记作limf(x)A或f(x)A(xx0).xx0定义8简单表述为：limf(x)A0,0,当0xx0时,有f(x)A.xx0函数f(x)在xx0时极限为A的几何解说：o对0，当xU(x0,)时，曲线yf(x)位于直线yA和yA之间，如图1-17：图1-17例7证明limCC,C为常数.xx0证明因为f(x)ACC0,对0，对0，当0xx0时，都有f(x)A,故limCC.xx0例8证明limx212.x1x1证明因为f(x)Ax212x1,x1对0，要使f(x)A，即x1.取，当0xx0时，都有f(x)A,故limx212.x1x1在函数的极限中，xx0既包括x从左边向x0凑近，又包括从右边向x0凑近.所以，在求分段函数在分界点x0处的极限时，因为在x0处双侧函数式子不一样，只好分别议论.x左边向x0凑近的情况，记作xx0.x从右边向x0凑近的情况，记作xx0.在定义8中，若把空心邻域0xx0改为x0xx0，则称A为函数f(x)在xx0时的左极限.记作limf(x)A或f(x0)A.xx0近似地，若把空心邻域0xx0改为x0xx0，则称A为函数f(x)在xx0时的右极限.记作limf(x)A或f(x0)A.xx0我们把左极限和右极限统称为单侧极限.依据f(x)在xx0时极限的定义推出f(x)在xx0时的极限存在的充要条件是左、右极限都存在而且相等，即：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0xx0xx0例9议论函数x,x0f(x)01x,x当x0时f(x)极限不存在.解函数图形（图1-18）以下：图1-18f(x)载x0处的左极限为limf(x)lim(x)0；x0x0右极限为limf(x)lim(1x)1.x0x0因为limf(x)limf(x)，故limf(x)不存在.x0x0x0函数的极限的性质类比数列极限的性质，能够推得函数极限的性质.因为函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下边仅以limf(x)为代表议论.xx0性质1（独一性）若limf(x)A，则极限值是独一的.xx0性质2（局部有界性）若limf(x)A，若存在常数M0及0，当0xx0xx0时，有f(x)M.性质3（保号性）若limf(x)A，且A0（或A0），若存在0，当xx00xx0时，有f(x)0（或f(x)0）.性质4（夹逼准则）设、、是三个函数，若存在0，当0xx0f(x)g(x)h(x)时，有g(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，xx0xx0则limf(x)A.xx0无量大与无量小在研究函数的变化趋势时，常常会碰到两种特别情况：一是函数的极限为零，二是函数的绝对值无穷增大，即是本节议论的无量小和无量大，以limf(x)为代表议论.xx0无量小若limf(x)0，则称函数f(x)为xx0时的无量小.xx0比如lim(x21)0，则x21是x1时的无量小.lim10，则1是x时的x1xxx无量小.在此需要指出的是：（1）无量小不是很小的数，它表示当xx0时，f(x)的绝对值能够随意小的函数.（2）在说一个函数是无量小时，必定要指明自变量的变化趋势.同一函数，在自变量的不一样变化趋势下，极限不必定为零；在常数里面.（3）0是独一的无量小.无量大函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义.对于随意给定的正数M，总存在正数，当x知足不等式0xx0时，函数值f(x)知足不等式f(x)M，则称函数f(x)为xx0时的无量大.依据函数极限的定义，当xx0时无量大的函数f(x)极限是不存在的.为了便于表达函数的这一性态，习惯上称作函数的极限是无量大，记作limf(x).xx0若把定义中f(x)M改为f(x)M(或f(x)M)，称函数极限为正无量大（或负无量大），记作limf(x)(或limf(x)).xx0xx0在此，相同注意无量大不是很大的数，不可以和很大的数混作一谈.比如因为lim1，1为x0时的无量大，如图1-19.x0xx图1-19从图形上看，当x0时，曲线y1x0.无穷凑近于直线x一般地，若limf(x)，则直线xx0为曲线yf(x)的铅直渐近线.xx0在上例中，x0是曲线y1的铅直渐近线.x无量小的性质性质1limf(x)A充要条件是f(x)A，此中为xx0时的无量小.xx0证明limf(x)A0，0，当0xx0时，都有xx0f(x)A.令f(x)A，则，即lim0，说明为xx0时的无量小.xx0此时f(x)A.性质2在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无量大，则1为无量小；若f(x)为f(x)无量小，且f(x)0，则1为无量大.f(x)比如因为lim(x1)0，则lim1.1x1x1x性质3有限个无量小的和是无量小.性质4有界函数与无量小的乘积是无量小.例10求极限limxsin1.x0x解因为sin11，是有界函数，而limx0.由性质4得limxsin10.xx0x0x推论1常数与无量小的乘积是无量小.推论2有限个无量小的乘积是无量小.习题1-2依据数列的变化趋势，求以下数列的极限：（1）an(1)n1（2）an2n(1)nn2；2n；（3）annsinn；（4）ann1.2n1依据数列极限的定义，证明：（1）lim10；（2）limn112.nnn3n13（3）limn21（4）limsinn0.n1；nnn3.设limana，求证limana.nn4.设数列an有界，limbn0，求证limanbn0.nn依据函数极限的定义，证明：（1）limx244；（2）lim2x13；x2x2x2（3）lim1x21；（4）limsinx0.2x2x2xx6.求以下函数在指定点处的左、右极限，并判断在改点处极限能否存在.（1）f(x)x0处；cosx,x00处；，在x（2）f(x)x,x，在xx10（3）f(x)xsin1,x00处.x，在x1x2,x07.指出以下函数在什么状况下是无量小，什么状况下是无量大.（1）f(x)x1（2）f(x)lnx；x；11（3）f(x)cotx；（4）f(x)ex.求以下函数的极限.（1）lim21；（2）lim2x1；x2xx2xx（3）limx2cos1；（4）limarctanx.x0xxx9.求函数f(x)1的图形的渐近线.1x210.利用极限存在准则证明：（1）lim111；（2）limnnn1；n222nnn1n2nn2（3）数列an11an的极限存在；2（4）数列a12，an11an1的极限存在.2an第3节极限的运算本节议论极限的求法，主要内容是极限的四则运算、复合函数的极限运算法例，以及利用这些法例，求某些特定函数的极限.因为函数极限自变量的变化趋势有不一样的形式，下边仅以limf(x)为代表议论.xx0极限的四则运算法例定理1假如fxAgxB，则lim(),lim()xx0xx0（1）limf(x)g(x)AB；xx0（2）limf(x)g(x)AB；xx0（3）若B0，则limf(x)A.xx0g(x)B证明只证limf(x)g(x)AB.xx0因为limfx)Ag(x)B，则xx0xx0f(x)A，g(x)B,此中和是xx0时的无量小.于是f(x)g(x)AB(AB)().因为仍旧是xx0时的无量小，则limf(x)g(x)AB.xx0其余状况近似可证.注：本定理可推行到有限个函数的情况.例1求lim32x5.x2x解lim325lim32limlim53lim2limlim5x2xxx2xx2xx2x2xx2xx234-2515.例2求limx2x2x3.x12x22x3limx22x3limx22limx3解limx1x1x16.x2limx2limx2x1x1x1注：在运用极限的四则运算的商运算时，分母的极限B0.但有时分母的极限B0，这时就不可以直策应用商运算了.例3求limx1.x1x1解因为lim(x1)0，分母中极限为0，故不可以用四则运算计算.x1x1lim(x1)0x1因为lim1lim(x1)0，依据无量小的性质，知x1x2x1x1lim.x1x1例4求limx222x1.x1x1解因为x1时，分子、分母的极限都为0，记作0型.分子分母有公因子x1，可约去公因子x10，所以limx22x1lim(x1)2limx100.x1x21x1(x1)(x1)x1x12总结：在求有理函数除法limP(x)的极限时，x0Q(x)（1）当Q(x)0时，应用极限四则运算法例，P(x)P(x0)；Q(x0)xx0Q(x)（2）当Q(x)0，且P(x)0时，由无量小的性质，P(x)；limxx0Q(x)（3）当Q(x0)0，且P(x0)0时，约去使分子、分母同为零的公因子xx0，再使用四则运算求极限.例5求lim3x22x3.2x2x5x7解因为x时，分子、分母的极限都为，记作型.用x2去除分子及分母，即3x22x33233limlimxx2257.x2x5x7x22xx2例6求（1）limx31；（2）lim5x3.5x22x73x2x1xx解（1）用x3去除分子及分母，得x3111lim5x27lim5x3.x2xx27xx2x3（2）用x2去除分子及分母，求极限得5x353limlimxx20.2x111x3xx3xx2总结：型的函数极限的一般规律是：当a00，b00，m和n为正整数，则a0,nmlima0xna1xn1anb0m.b0xmb1xm1bm0,nx,nm例7求lim13.1x1x3x1解这是型，能够先通分，再计算.lim13limx2x2(x2)(x1)1x1x3x)(1xx2)limx)(1xx2)x1x1(1x1(1limx21.xx2x11例8求limx1x.x解这是型无理式，能够先进行有理化，再计算.limx1x10.limxxx1x两个重要极限sinxlim1x0x作单位圆（图1-20）,图1-20取圆心角AOBx，设0x，由图1-20可知，2AOB的面积扇形AOB的面积AOD的面积，即1sinx1x1tanx，222整理，得sinxxtanx.不等式两边同时除以sinx，取倒数，得cosxsinxx1.当x取值范围换成区间,0，不等式符号不改变.2当x0时，limcosx1，有夹逼准则知x0limsinx1.x0xsinx注意：在利用lim1求函数的极限时，要注意使用条件：x0x（1）极限是0型；（2）式中带有三角函数；（3）limsin1中的变量一致，都趋00向于0.例9求limtanx.0x解tanxsinx1sinxlim1limlimcosxlim111.x0xx0xx0xx0cosx例10求limsin3x.0sin2x解limsin3xlimsin3x2x33limsin3xlim13113.x0sin2xx03xsin2x22x03xx0sin2x221cosx2x例11.求limx2x02sin2xxsinx21cosx1sin21121解lim222.limx2limxlimx12x0x0x22x022x0222xlim11exn考虑xn（正整数）的情况.记an11，下边证明an是单一有界数列.n因为1n1n(n1)12n(n1)(n2)13an11nnn2!n3!nn(n1)(n2)1n1n!n1111111112111121n1.2!n3!nnn!nnn近似地，n1111111an11111121n12!n13!n1n11121n.n1!n11n11n比较an和an1的睁开式，除前两项外，an的每一项都小于an1的对应项，且an1比an多了最后的正数项，所以anan1，即an是单一递加数列.因为an1111111112111121n12!n3!nnn!nnn11111111112!3!12122122212221n!1n111111111213.222232n1111122即an是有界数列.n由极限存在准则知，当n时，an11e来表示,的极限存在，往常用字母n即n1lim1e.nx能够证明，当x取实数而趋势（或）时，函数11的极限也存在，且等于xe.故当x时，xlim11e.x令1t，当x时，t0，上式可变成x1lim1tte，t0x故极限lim1e的另一种形式是1x1lim1xxe.x01x注意：在利用lim1e求函数极限时，要注意使用条件：xx111（1）极限是型；（2）lim1e中的变量一致，且括号e和lim10内1与括号右上角处互为倒数.x例12求lim12.x2x2解lim1lim1xxxxx4x例13求lim.x3x

x222lim1xx

x22e2.xxx(x3)(1)3解lim4lim11lim11.xx3xx3xx3lim11xx3求lim11例142xx.x012x解lim12xxlim1x0x0

(x3)1131e11e1.x312)1(2)(lim12x2xe2.2xx0无量小的比较引例当x0时，x、x2、3sinx都是无量小，而极限limx20，limx，lim3sinx3.x0xx0x2x0x引例中，在x0时，三个函数都是无量小，但比值的极限结果不一样，这反应了不一样的无量小趋于0的速度“快慢”不一样.定义在xx0时，(x)和(x)为无量小，（1）假如lim(x)0,则称(x)是(x)(x)xx0（2）假如lim(x),则称(x)是(x)(x)xx0

为高阶无量小，记作o()；为低阶无量小；（3）假如lim(x)(C0),则称(x)与(x)为同阶无量小；Cxx0(x)（4）假如lim(x)0,k0),则称(x)是对于(x)的k阶无量小；kC(Cxx0(x)（5）假如lim(x)(x)与(x)为等价无量小，记作~.1,则称xx0(x)明显等价无量小是同阶无量小的特别情况，即C1.在上边的例子中，因为limx20，则当x0时，x2是x的高阶无量小，记作x2o(x)；x0x因为limx，则当x0时，x是x2的低阶无量小；x0x2因为lim3sinx3，则当x0时，3sinx是x的同阶无量小；xx0因为limsinx1，则当x0时，sinx是x的等价无量小.xx0在此，列举出当x0时，常有的等价无量小有sinx~x；tanx~x；1cosx~1x2；arcsinx~x；arctanx~x；21ex1~x；ln(1x)~x；n1x1~x.n在上述几个无量小的观点中，最常有的是等价无量小，下边给出等价无量小的性质：定理2~的充要条件是o().证明以自变量xx0时的极限为例.必需性设~，则limlim1lim10.xx0xx0xx0故o()(xx0)，即o().充分性设o()，则limlimo()o()，lim11xx0xx0xx0故~(xx0).注：其余自变量的变化趋势下同上.定理3~，~，且lim存在，则xx0limlim.证明以自变量xx0时的极限为例.limlimlimlimlimlim.xx0xx0xx0xx0xx0xx0定理3表示，在求两个无量小之比的的极限时，分子或分母都可用等价无量小来取代.例15求lim1cosx.x0xsinx解当x0时，1cosx~1x2，sinx~x，则2lim1cosx1x21.lim2x0xsinxx0x22例16求lim1xx1.x0e1解当x0时，1x1~1x，ex1~x，则21x11x1.limlim2x0ex1x0x2例17求limtanxx3sinx.x0解（错误做法）当x0时，sinx~x,tanx~x.则tanxsinxxxlimx3lim30.x0x0x（正确做法）当x0时，sinx~x,tanx~x.则tanxsinxtanx1cosxx1x212lim3lim3lim3.x0xx0xx0xcosx2说明：在代数和中各等价无量小不可以分别替代，在因式中能够用等价无量小的替代.习题1-3求以下极限：（1）lim2x2x3；（2）limx21；x1x1x3（3）limx38；（4）limx22x1；x2x2x1x21122111（5）lim1；（6）lim22n；xxxn11133n（7）limx21；（8）limx21x21；3x2x1xx（9）lim16；（10）lim3x1193x2；x3x3x2x（11）limn(n1)(n2)；2n3n（13）limsinkx（k0常数）；x0x（15）limcosx1；x0xsinx（17）limxcscx；019）limxcot2x；03x（21）lim2x；x22x2（23）lim13xsinx；x0

（12）limx21；x2x214）limtan2x；0x（16）lim3nsinxn（x0常数）；n3sinxsina（18）lim；xaxa（20）lim12xx；x01x（22）lim1；xx（24）lim2xsinx12arctan.x1xx2.已知limax2bx21，求常数a,b.x2x13.已知lim

xc

x24，求常数c.xxc第4节函数的连续性在自然界中，有很多现象都是连续变化的，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等.这类现象在函数关系上的反应，就是函数的连续性.函数连续的观点函数的增量定义1设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2，其差u2u1称作变量u的增量，记作u，即uu2u1.比如，一天中某段时间[t1,t2]，温度从T1到T2，则温度的增量TT2T1.当温度升高时，T0；当温度降低时，T0；当时间的改变量tt2t1很细小时，温度的变化T也会很小；当t0时，T0.定义2对于函数yf(x)，假如在定义区间内自变量从x0变到x，对应的函数值由f(x0)变化到f(x)，则称xx0为自变量的增量，记作x，即xxx0或xx0x.（1-4-1）f(x)f(x0)为函数的增量，记作y，即yf(x)f(x0)或yf(x0x)f(x0).（1-4-2）注：增量不必定是正的，当初值大于终值时，增量就是负的.函数连续的观点设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在这邻域内从x0变到x0x时，函数增量yf(x0x)f(x0)（图1-21）.图1-21假定x0不变，让x改动，y也随之变化.假如当x无穷变小时，y也无穷变小.根据这一特色，给出函数yf(x)在x0处连续的观点.定义3设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，假如limlim()()0，（1-4-3）x0yfx0xfx0x0则称函数yf(x)在点x0处连续.设xx0x，则当x0时，即是xx0.而yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)，由y0就是f(x)f(x0)，即limf(x)f(x0).xx0定义3能够改写为以下定义：定义4设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，假如limf(x)f(x0)，（1-4-4）xx0那么就称函数yf(x)在点x0处连续.由定义4知，函数yf(x)在点x0处连续，一定知足以下三个条件：（1）函数yf(x)在点x0处有定义；（2）limf(x)存在，即limf(x)limf(x)；xx0xx0xx0（3）limf(x)f(x0)xx010在x例1议论函数f(x)xsinx,x0处的连续性.0,x0解因为limf(x)limxsin10，x0x0x而f(0)0，故limf(x)f(0).x0由连续性的定义知，函数f(x)在x0处连续.因为函数f(x)在x0处极限存在等价于f(x)在x0处左、右极限都存在而且相等，联合这一特色，下边定义左、右连续的观点.假如limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处的左连续.假如limf(x)f(x0)，xx0xx0则称函数f(x)在点x0处的右连续.假如函数yf(x)在点x0处连续，必有limf(x)f(x0)，则有xx0limf(x)limf(x)f(x0)，xx0xx0这说了然函数yf(x)在点x0处连续，既包括了f(x)在点x0处左连续，又包括了f(x)在点x0处右连续.定理1函数yf(x)在点x0处连续的充要条件是函数yf(x)在点x0处既左连续又右连续.注：此定理常用于判断分段函数在分段点处的连续性.例2议论函数x2,x1f(x)1x1,x在x1处的连续性.解函数f(x)图形如图1-22.图1-22因为limf()limx21f(1)，故f(x)在x1处左连续.x1xx1limf(x)limx11f(1)，故f(x)在x1处不右连续.x1x1所以由定理1知，函数f(x)在x1处不连续.以上是介绍函数在一点处连续的观点，下边介绍连续函数的观点.定义5假如函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,称f(x)为(a,b)内的连续函数.假如函数f(x)在(a,b)内连续,且在左端点xa处右连续，在右端点xb处左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.例3证明函数ysinx在(,)内是连续的.证明任取x0(,)，则yf(x0x)f(x0)sin(x0x)sinx02cosx0xsinx.22因为limy2limcosx0xsinx，x0x022当x0时，由无量小的性质知，limy0.x0由定义1，ysinx在x0处连续.而x0是在(,)内任取的，故ysinx在(,)内是连续的.近似地，能够考证ycosx在定义区间内是连续的.函数的中断点定义6假如函数yf(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处中断，x0称为f(x)的中断点.依据定义3，函数yf(x)在点x0处连续一定知足的三个条件知.换句话说，只需此中一个条件不知足，函数f(x)就在x0处中断.所以f(x)在x0处出现中断的情况有以下三种：1）在2）在

x0处无定义；xx0处固然有定义，可是limf(x)不存在；xx0（3）在xx0处有定义，limf(x)存在，可是limf(x)f(x0).xx0xx0f(x)在x0处只需切合上述三种情况之一，则函数f(x)在x0处必中断.下边举例函数中断的例子.（1）函数f(x)10处无定义，所以x0是f(x)1在x的中断点.xx1,x0（2）符号函数f(x)sgnx0,x0，在x0处，因为1,x0limf(x)lim(1)1，limf(x)lim11.x0x0x0x0因为在x0处函数左、右极限不相等，故limf(x)不存在，所以x0是此函数的中断点.x0sin5x,x0，在x（3）函数f(x)x0处，因为0,x0limf(x)limsin5xx5，x0x0而f(0)0,故limf(x)f(0)，x0是此函数的中断点.x0从上边的例子看出，函数f(x)在x0处固然都是中断，但产生中断的原由各不相同.根据这一特色，下边对中断点进行分类:假如f(x0)与f(x0)都存在，则称x0为f(x)的第一类中断点，不然称为第二类中断点.在第一类中断点中，假如f(x0)f(x0)，则称x0为f(x)的可去中断点；假如f(x0)f(x)，则称x0为f(x)的跳跃中断点.0在上边的例子中，在（2）中x0是跳跃中断点，在（3）中x0是可去中断点.在第二类中断点中，假如f(x0)与f(x0)起码有一个为，则称x0为f(x)的无量间断点；假如f(x0)与f(x0)起码有一个是不停振荡的，则称x0为f(x)的振荡中断点.在上例（1）中，x0是无量中断点.再如ysin10为函数的中断点.当x0时，函数在-1和1之间出现无穷次的，xx振荡，如图1-23：图1-23则x0为振荡中断点.初等函数的连续性定理2设函数f(x)与g(x)在x0处连续，则其和、差、积、商（分母在x0处函数值不为零）在x0处也连续.定理3设函数yf(x)由yf(u)和u(x)复合而成.且yf(u)在u0处连续，u(x)在x0处极限lim(x)u0存在，则xx0limf(x)limfuf(u0)flim(x).xx0uu0xx0注：内函数的极限存在,外函数在该极限点连续，则求复合函数的极限时极限符号能够与外函数符号交换.例4求limx32.x3x9解yx3由yu和ux3复合而成.且limx31，yu在x29x29x3x2961处连续，则6limx3limx316x2996.x3x3x26在定理3中，假如把条件lim(x)u0改为u(x)在xx0处连续，且(x0)u0结xx0论仍旧成立，即limf(x)flim(x)f(x0).xx0xx0例5求lim225.x0xx解yx22x5由yu和ux22x5复合而成.ux22x5在x0处连续，u(0)5；yu在u5处连续，则limx22x5022055.x0因为初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成的，联合定理2和定理3知，初等函数在定义区间是连续的.定理4初等函数在其定义区间内是连续的.例6求limx293.x2x0解limx293limx293limx211.x0x2x0x2x2x0936例7求limln(1x).x0xln(1x)1ln(111解limlimx)limln(1x)xlnlim(1)xlne1.xxx0x0x0x0例8求limexx1.x0解令ex1t，则xln(1t)，当x0时，t0.则limex1limt11.x0xx0ln(1t)limln(1t)x0t里7、例8也说了然当x0时，ln(1x)~x，ex1~x.例9求lim1cot2x2tan2x.x0解因为12tan2cot2x22xecotxln12tanx，当x0时，ln12tan2x~2tan2x，故lim12tan2xcot2x22limcot2xln12tan2x2limcot2xtan2xe2.limecotxln12tanxex0ex0x0x0一般地，形如1u(x)v(x)的函数称为幂指函数.假如limu(x)0,limv(x),则lim1u(x)v(x)elimv(x)ln1u(x)elimv(x)u(x).闭区间上连续函数的性质在中已经介绍了函数

y

f(x)

在闭区间

[a,b]

连续的观点，下边持续议论闭区间

[a,b]上连续函数的性质

.最值定理定理

5（最值定理）闭区间上连续的函数在该区间上必定存在最大值和最小值

.此定理说明，假如函数

f(x)

C[a,b]

，如图

1-24：图1-24则起码存在一点1[a,b]，f(1)m，对x[a,b]，都有f(x)m，则m是f(x)在[a,b]上的最小值.起码存在一点2[a,b]，f(2)M，对x[a,b]，都有f(x)M，则M是f(x)在[a,b]上的最大值.注：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，假如缺乏一个，定理5不必定成立.比如，函数yx在开区间(0,2)内固然连续，可是没有最大值和最小值（图1-25）.x1,0x1