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第二十四节双变量问题之比值代换知识与方法通过前面“换元法和主元法”的学习，相信大家已经感受到了“齐次换元”的妙用，但某些情况下，直接凑出这种结构较为困难，此时可以先设，从而得出，代入有关条件中消去，再通过变形化为关于t的不等式加以证明，这种处理问题的方法叫做“比值代换”.典型例题【例1】已知函数（1）求的最小值；（2）若方程有两个不相等的实根，，证明：.【解析】（1）由题意，，，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故.（2）证法1：设，，则，因为当时，，所以，故，从而在上单调递减，又，所以，即，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以，从而，故，又，所以，因为，，且在上单调递增，所以，故，所以.证法2：由（1）可得，因为和是方程的实根，所以，两式作差得：，故①，设，则，且，代入式①可得，所以，故，所以要证，只需证，即证，也即证，设，，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，从而，故，所以成立【反思】本题第2问是结构不良的极值点偏移问题，可以先构造对称差函数证得，再来一步放缩即可证得；也可以直接利用比值代换，转化为关于t的不等式来证，这是结构不良的偏移类问题的常用处理方法.【例2】已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若，是函数的两个不同的零点，证明：.【解析】（1）若，则，所以，当时，，，所以，当时，，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增.（2）证法1：由题意，，所以，从而，故，同理，，不妨假设，设，则，且，由两式作差得：，所以，从而，，故，所以要证，只需证，即证，也即证，设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即，故成立，另一方面，要证，只需证，即证，也即证，故只需证，所以只需证，即证，也即证，故只需证，设，则，所以在上单调递减，又，所以，即，从而，故成立，所以.证法2：由题意，，所以，从而，故，同理，，所以，故，一方面，由对数平均不等式，，所以，另一方面，要证，只需证，即证，也即证，故只需证，由对数平均不等式，，所以，故成立，综上所述，不等式成立.强化训练1.已知函数（1）证明：曲线在点处的切线l恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：.【解析】（1）由题意，，所以，又，所以曲线在点处切线l的方程为，整理得：，所以直线l过定点.（2）由题意，，所以设，因为，所以，且，代入②可得：，所以③，又由①可得，所以，代入③可得：，所以，故，从而，设，则，设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，故，从而在上单调递增，因为，所以，从而，故，所以.2．已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数存在两个零点，，证明：.【解析】由题意，，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故.（2）由题意，，所以，故①，设，因为，所以，且，代入式①可

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