有质量的弹簧及有序地质量最优分割法

有质量的弹簧放寒假回家，爸爸说要抱我，看看我长重了没有，我故意使劲想让他抱不动，我绷紧肌肉爸爸费了好大力量也没抱起我。“不要使劲，”爸爸说，“使劲我怎么抱得动！”我不想继续难为他，便放松了肌肉，他果然轻松的举起了我，“还要多锻炼呀！太轻了！”爸爸对我说。突然，脑中忽然闪过那个词，使劲？我使得可是内力呀！为什么内力让自己显得更重了？于是便有了以下这些思考：有质量的弹簧为了解决以上的问题，由于人体有弹性，不妨将人体看成一个有质量的弹簧，肌肉的收缩改变弹簧的倔系数。下面我们的讨论对象就是这个有长度有质量的弹簧。当我研究它时，发现这个由人体抽象而来的模型有很多很复杂的性质。质心的位置设弹簧的原长为L，质量为M，倔强系数为K，立于地面上，高为h，线密度为p是x的函数，下面计算质心离顶端的高度d。考虑微元dm，它上面的弹簧共重mg，则有dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dm两边积分，其中a为弹簧在重力作用下收缩的长度。得到，a=注：这里的计算不能对整个弹簧使用胡克定律，aK=Mg,从而得到a=，因为此时的弹簧各个部位的压缩状况是不同的了！又g=,即g=KL-MK/p两边对x求导：gp=，解此微分方程得到：p=,其中p0=M/L.所以质心离顶端的高度d=，其中a=，p0=M/L.容易看到当k趋向无穷大时，d=L/2，此时弹簧可看作刚体，质心当然是在重点！求导后容易发现d/l（l=L-a），随着K的增大减小，其实从p的表达式可以直接观察到这一点，因为当K小时，p随x的增加变化快，相反当k很大时，p随x的增加增加的较慢，故质心将更接近中点！举起有质量的弹簧如图，设用恒力f向上提弹簧的顶端，当底端刚好离开地面时弹簧的动能为零。弹簧举起前后的高度分别是h1和h2，故f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2，E1分别是（2），（1）中弹簧的弹性势能，若用小于Mg的力f,去拉弹簧，则它将先做向上的加速度不断减小的加速运动，只到加速度变为向下，继续向上做减速运动，当底端脱离的瞬间速度为零，此时加速度仍向下，故（2）中弹簧的拉伸长度a=，其中<g,故E2〈E1。所以f<Mg(h2-h1)/h,由2中的讨论知h1<L1/2,h2<L2/2,其中L1，L2为（1），（2）中弹簧的长度。而h=L2-L1。所以f〈Mg/2。回到本文开头提出的问题，当肌肉绷紧时近似将人体看作刚体，举起刚体的力显然是Mg,但当肌肉松弛下来，将人体看作一个有质量的弹簧举起它所需要的力就大大减小了！几个问题当我重新思考质量不能忽略的弹簧时，发现很多问题中如果考虑它将变得异常复杂，而有时弹簧的质量是确实不能忽略的。能量的传递问题曾经不止一次的碰到这样的物理模型，一个轻质弹簧连接一个小球，在光滑的水平面上，将自己储存的弹性势能传递给小球使之获得动能，通常我们当然认为弹簧与物体脱离后无动能，能量完全传递给了物体，但如果考虑弹簧的质量情况就大不一样了！图（1）是不考虑弹簧质量的情况。图（2）中我们假设物体和弹簧的质量都是M，弹簧原长L，倔强系数K，我们将其看成两段长为L/2的轻质弹簧之间连着一个质量为M的小球，不妨设物体的质量也为M。对小球和物体列运动方程：设小球，物体偏离平衡位置的长度分别为，x1,x2，弹簧本来压缩2A。,;解得x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=。物体与小球之间的距离x=Acoswt;当wt=时，物体与弹簧分离，而此时小球有速度Aw，故具有动能E=，物体此时的动能为E0=，故仅有五分之四能量传递给了物体！小球随后做角频率为的简谐振动。容易发现采用（2）的假设，物体从开始运动到分离将经过更长的时间！但是（2）的假设是很不精确的，真正准确的假设是应该将弹簧是为N个质量为M/N的小球，之间连有倔强系数为N*K的轻质弹簧，然后考虑N趋向无穷的极限情况。原则上通过微分方程组的求解可以求到具体的运动情况，但这种运动无疑将是十分复杂的由于数学知识有限本人在此无法给出一个解答。简振模以上的第二种假设实际上引出了一个更复杂更深刻的问题，那便是多自由度的振动！以下是作者的一些猜测与疑惑：在图（1），（2）中N个质量为m的小球被弹簧（倔强系数k）连接起来，分别挂在两面墙之间，和约束在一个球体上。由振动知识，当初始条件合适时，它们有N个简振频率，可以做N总不同模式的振动，当N趋向无穷时，它们的角频率频谱是连续的从0到2w0的，其中w0=，若将有质量的弹簧抽象成无穷多个小球串上轻弹簧，是否意味着弹簧再一定初始条件下可以以某种模式振动，若可以考虑到m=M/N，k=K*N，w0将趋向无穷，那么它的角频率将是可以趋向无穷的，这可能吗？总结弹簧是一个质量连续分布的固体，讨论它的运动状态和内部应力需要更多的物理和数学知识，由于水平所限以上的很多推理不免有谬误。但有一点是很清楚的，那就是当考虑弹簧的质量时简单的问题变的不简单了。物理学习不正是这样一个不断提问，不断改进假设，不断深入学习的过程吗？参考文献：1。《力学》杨维鸿2．《物理学难题集》舒幼生等3．《新概念力学》赵凯华等4．《新概念力学十讲》赵凯华等物理一班第七章有序地质量最优分割法第一节概述地层划分与对比是煤田地质勘探的主要任务之一。在地质工作中，通常是寻找地层的不整合或假整合界线，或者利用古生物化石、岩石矿物等地质特征对地层进行划分与对比。这种划分方法比较直观，适用于较大地层单元的划分与对比。当地质特征间的差异性不显著时，运用上述直观、定性的方法来解决较小地层单元的进一步划分就有一定的困难。因此，近年来开始利用有序地质量，即运用数学方法，并借于电子计算机定量地划分地层，提出了“有序地质量最优分割法”。地质数据中有相当多是有序的。这些按一定顺序排列的地质变量，叫做有序地质量。例如，沿地层露头剖面采集的岩石标本；钻孔取出的岩芯样品；与这些岩石、样品有关的岩性、物理化学和古生物数据；以及地球物理测井数据等。它们都是有序地质量。这类数据的特点是样品的前后次序不能变更。所以，一些不考虑样品排列顺序的数学处理方法，对此不适用。有序地质量最优分割法，就是对一批有序数据（地质体）进行分段的统计方法。设有个按顺序排列的样品，每个样品测得个变量，这批数据可用数据矩阵的形式表示为其中，表示第个样品第个变量的取值。若对以上个有序样品进行分割（分段），可能有种划分方法，每一种分法称为一种分割。在所有这些分割中，存在这样一种分割，它使得各段（组）内部样品之间的差异性最小（即样品数据的组内离差平方和最小），而使段（组）之间的差异性最大（即样品数据的组间离差平方和最大）。这种对个样品分段并使组内离差平方和最小的分割方法，称为最优分割法。样品变量总离差平方和的分解式为（7—1）式中，为总离差平方和；为组内离差平方和；为组间离差平方和。由式（7—1）可知，如果个样品分为段，每段的样品个数为，若每个样品只取一个变量，则（7—2）（7—3）因此，寻求最优分割，就是用计算的分法找出使组内离差平方和（）最小的那些分割点。这与判别分析中费歇准则相似，所以有序地质量最优分割法，有人又称为“F-分割法”或“有序样品的聚类分析”。第二节单元有序数据的最优分割若有个有序样品，每个样品只取一个变量，则有个有序数据序列，为现在试图将这个样品按顺序分割为段，使段（组）内离平差和尽可能小，而组间离差平方和尽可能大。为此，用表示从第个样品数据开始至第个样品数据为止的某段样品，其中该段样品变量的离差平方和为（7-4）式中由于能够反映样品段内样品间差异的情况，愈小，表示段内各样品之间差异性愈小；反之，愈大，表示段内各样品之间差异性愈大。因此，又把称为段的直径。若个样品分为段：，为最优段分割。其各段离差平方和（段直径）分别为：，。根据最优分割的原则，其组内离差平方和必须满足（7-5）或（7-6）在实际应用时，往往事先不知道个有序样品客观上究竟能划分为几段。因此，必须从最优分成二段、三段、…、段进行分析。一、最优二段分割若把个有序样品分为两段，则有如下种不同的分法，即在上述种分法中，究竟哪一种方法最优？只须计算出每一种分割的组内离差平方和，并从其中找出组内离差平方和最小的那一种分割，就是所求的最优二段分割。在个有序样品中，对任意一个都可以确定一个二段分割，即。若把对个样品在第个样品处进行的二段分割的组内离差平方和记为（7-7）式中，表示被分割的样品数；表示把个样品分为二段；表示以第个样品为分割点。上述种分割的组内离差平方和分别为……………在中，当时，则假设当时，达到最小，即则最优二段分割为，其中为最优二段分割点。二、最优三段分割若把个有序样品分为三段，其中必有两个分割点。假设第和第个样品为分割点，则三段分割为若把三段分割的组内离差平方和记为：，其中为两个分割点，则显然，如果有为最优三段分割，则必为最优二段分割，否则必存在另一个最优二段分割，使这与为最优三段分割相矛盾。因此，如果对个有序数据进行最优三段分割，必须对任意一个，即前个数据先求出其最优二段分割，为若则前个样品的最优二段分割与构成一个三段分割。最后，找出一个适当的，如，使得则为个样品的最优三段分割，其中和为最优三段分割点。三、最优段分割若对个有序样品数据进行最优段分割，可先找出个样品的最优段最优分割，即从而得与构成段分割，但不一定是最优段分割。可选择一个适当的，如时，使得可得最优段分割为，其中为最优段分割点。应当指出，分割的段数一直可做到所要求的段数为止；或者可以预先给定一个小正数，使段分割的组内离差平方和后为止。这样得出的就是最后的分割的段数。由图所示，组内离差平方和是随分段段数的增加而单调地减少。所以当时，组内离差平方和。因此，可根据组内离差平方和随段数增加而下降到比较稳定的时候（即图中曲线平缓时）再确定分段段数。第三节多元有序数据的最优分割为了分层，有时需要汇集样品更多的信息，采用多个变量指标。例如，采集个有序样品，每个样品测得个变量，原始数据可构成一个阶矩阵，为在多变量情况下，人们自然会联想到是否能将单元有序数据最优分割原理引申到多元数据中来，以此对个有序样品进行分割，一般最简单有效的办法就是把一段样品多个变量合并为一个变量来处理，统一定义“段直径”。但是，为了使不同变量间具有共同的数据基础，事先要对各个变量进行数据规范化处理，如使数据作正规化变换。原始数据矩阵中元素记为：，则正规化数据为（7-8）得正规化数据矩阵根据正规化数据，将样品段的段直径定义为（7-9）式中（7-10）若个有序样品分为段，每段内有个样品，则多元有序数据最优分割的原理与单元有序数据最优分割一样，使组内离差平方和(7-11)应当指出，样品的段直径除了用式（7-9）定义外，还可用其他方法定义。如用样品数据绝对值距离来定义，即(7-12)也可用其他度量空间的距离来定义。第四节最优分割法的计算步骤数据正规化设原始数据阵为将中的元素变换为得正规化数据矩阵计算段直径矩阵其中因为故必须计算个，得计算全部分割的组内离差平方和（或段直径和）及各种分段的最优分割最优二段分割由矩阵对每一个计算相应的组内离差平方和，为找出最小值，确定相应的最优二段分割点，即分割点为。从而得到个样品的最优二段分割为，其中为最优二段分割点。2）最优三段分割根据矩阵及最优二段分割结果，对每一个计算相应的三段分割的组内离差平方和，为然后求出最小值，并确定相应的最优三段分割点，为从而得到个样品的最优三段分割为，其中，为最优三段分割点。3）最优段分割根据矩阵及最优段分割计算结果，对于每一个分别计算相应的段分割的组内离差平方和，为找出最小值，并确定相应的最优段分割点，即从而得到个样品的最优段分割为……，其中，为最优段分割点。绘制曲线在曲线上，选择曲线拐点对应的值（取整）作为最终分段数。例7·1某煤矿所采煤层的煤质牌号为主焦煤，在煤巷中见一火成岩墙侵入煤层，致使煤质发生变化，为弄清楚煤质变化情况，从火成岩附近每隔m依次取一煤样，获得个有序煤样的镜煤最大反射率数据为试进行最优分割。此样本最可能分割法共有种，今要在这种分割中找出一种最优的分割（类内差别小，类间差别大）。其作法如下：对原始数据进行正规化变换后得正规化数据，为计算段直径矩阵,即最优二段分割。由对于时，计算当时，则其中当时，则其中当时，则其中当时，则其中当时，则从而得到个样品的最优二段分割为。其中，为分割点。最优三段分割。即对于时，计算