2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第三章多维随机变量及其概率分布

第三章多维随机变量及其概率分布二维随机变量（X,Y）(X,Y)的分布函数F(x,y)=P(X乞x,Y乞y)X的分布函数F1(x)=limF(x,y)=F(x,：：)y—Y的分布函数F2(y)=limF(x,y)二F(::,y)limF(x,y)=0=limF(x,y)x y_..离散型（X,Y）的分布律PjPk-0(与VPK=1比较)Pk-0(与VPK=1比较).KPj=1P=P(X=XiTPjjPj二P（丫二yj八Pj1231 2 30J0.103i0P»1Pg2Pq30.26a0.251Pl1P20i0例1设（X,Y）的分布律为求（1）a=?P(X=0)P(Y_2)P(X：：1,Y_2)P(X二Y)解:1 3(1)由二二 Pij =1知二:二 Pjij i£j#=(P01+P)2+P03+P1+P12+P13)=0.1+0.1+0・3+0.25+a+0.25=1解得a=033p(x=0)八P0j二P01P02P03=0.10.10.3=0.5j411P(Y乞2)=P(Y=1)P(Y=2)=RP2「Ri，P2二(0.1 0.25) (0.1 0) =0.45P(X:：:1,Y乞2)=P(X=0,Y乞2)=P(X=0,Y=1) P(X二0,Y=2)= P01- p02 =0.1 0.1二0.2P(X二Y)二印=0.25连续型(X,Y)的分布密度设D为平面上的区域，设D为平面上的区域，f(x,y)为(X,Y)的分布密度，则其满足:口jf(x,y)dxdy=1P((X,Y)D)=f(x,y)dxdyDxy特别，F(x,y)二P(X乞x,Y辽y)二(u,v)dudv：：2：：2F(x,y).x.:yf(x,y)若X，Y相互独立，则有F(x,y)二F,x)E(y)，f(x,y)=f,x)£(y)，其中Fjx),fjx)分别为X的边缘分布函数和分布密度， F2(y),f2(y)分别为丫的边缘分布函数和分布密度。常见二维连续型分布(1)平面区域D上的均匀分布：设 D的面积为SD,(X,Y)服从D的均匀分布，贝U(X,Y)的分布密度为亠(x,y)£df(x,y)二Sd.0,其他例2设D='(x,y):x2y2 ，即D为xy平面上的单位园域，则Sd=二，设(X,Y)服从D上的均匀分布,1x2+y2兰1则其f(x,y)=付y*0,其他44S解：设(X,Y)具有D上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则P((X,Y)・A) ，其中Sa-d表示A与DSD公共部分的面积。例3（续例2）求P（X.0,Y.0）1解：P（X0,Y.0）=4=_二422(2)二维正态分布N(叫』2,匚1，匚2,P)*，设(X,Y)具有该分布，则其概率密度为"八2+.‘1一卩2exp-—（X」1）22（1-p）（x-已）（y-巴）+（y-込）I2 严::y：：：：,G0,二2a0,P<1,-处<片<+处，i=1,2此时X的边缘密度fl(x)—1——e"”/2”，即x〜N（叫，匚12）故EX-・，DX、2-1Y的边缘密度f2(y)二_1 e4^4^/2：?，即丫〜NL,&22），故EY二M2,DY■.2二;「2P为X,Y的相关系数，可知当P=0时，f(x,y)二f1(x)f2(y)，即X,Y相互独立，这是一个重要结论:在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。另外，可知Cov(X,Y)二 /D丫二p二&2*例4设X〜N(0,4),丫〜N(-1,1)，两者相互独立，求(X,Y)的分布密度f(x,