数字图像处理第三章 图像的正交变换2

数字图像处理第3章图像信号的正交变换

数字图像信号的正交基表示3.3沃尔什变换和哈达玛变换3.4上节知识点回顾1、DFT2、二维DFT的实现3、一维DCT表达式的推导4、DFT和DCT频谱特点3.3数字图像信号的正交基表示一、变换核的一般表达式

其中x,y,u,v=0,1,2,...,N-1，g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正变换核和反变换核。若则变换核是可分离的。若则变换核是对称的。此时，变换可写成：

正变换式：F=PfQT

反变换式：f=P1FQ1T其中F为二维频谱按u行，v列排列成的频谱方阵，f是按x行、y列排列成的图像方阵。二、变换的矩阵表达式

P、P1分别是由P(u,x)、P1(u,x)按u行x列排列成的方阵；而Q、Q1T分别是Q(y,v)Q1T(y,v)按y行、v列排列成的转置方阵。

F=PfQTf=P-1F(QT)-1左乘P-1右乘(QT)-1

(P﹡)TP=I,(Q﹡)TQ=I

f=(P﹡)TFQ﹡

P1=(P﹡)T,Q1=(Q﹡)T

三、基本图像和基本频谱将P、Q写成向量形式：P=(P0P1…PN-1)，Q=(Q0Q1…QN-1)，其中Pi，Qi为列向量，并将矩阵f分解成求和形式：

将正变换和反变换写成外积的形式

是固定矩阵，只和该正交变换阶数有关，称为基本图像，其物理意义：在以变换域系数Fij作为权值的情况下，由此基本图像组合，可得到原始图像f。

看成基本频谱，图像频谱可以看成以图像域系数fij作为加权的基本频谱之和。例：以5×5的DFT为例，讨论基本图像和基本频谱。由已知P1、Q1是对称酉矩阵，可得：P1=(P﹡)T

、Q1=(Q﹡)T和P=Q

｛Pi﹡Pj﹡T｝为5×5基本图像，｛PiPjT｝为5×5基本频谱，根据i、j不同取值，它们均有25个5×5矩阵。

基本图像形成过程：

利用周期性其任何一列和任意一行的转置相乘后(外积)可得到一个5×5矩阵，即一个基本图像，这样的图像有25个。任意一幅5×5图像都可以表示为这25个基本图像的加权和，权值大小为其相应位置的傅立叶频谱系数。结论：任一幅5×5图像的频谱是由25个基本频谱加权得到，加权系数为相应图像的像素值，从而每一个频谱系数都和整幅图像相关，即整幅图像对某一个频谱分量都有贡献，同样每一个像素值是所有频谱分量的贡献。举例：P(u,x)=Q(y,v)=

156159158155158156159158160154157158157159158158156159158155158156159158160154157158157159158158156153155159159155156155155155155157156159152

158156153157156153155154155159159156158156159157161f(x,y)=

0.61180.62350.61960.60780.61960.61180.62350.61960.62750.60390.61570.61960.61570.62350.61960.61960.61180.62350.61960.60780.61960.61180.62350.61960.62750.60390.61570.61960.61570.62350.61960.61960.61180.60000.60780.62350.62350.60780.61180.60780.60780.60780.60780.61570.61180.62350.59610.61960.61180.60000.61570.61180.60000.60780.60390.60780.62350.62350.61180.61960.61180.62350.61570.6314F(u,v)=3.1离散傅立叶变换3.2离散余弦变换3.3数字图像信号的正交基表示3.4沃尔什变换和哈达玛变换第3章图像信号的正交变换3.4沃尔什变换和哈达玛变换Walsh函数系是完备正交函数系，只取两种值，在归一化条件下只取+1、-1,便于计算。典型非正弦正交变换，方波变换较DFT减少了存储空间、提高运算速度变换核其中3.4.1沃尔什变换bk(z)是z的二进制表达式中的第k位的值。例如n=3，则对于z=6（110），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。可以看出，沃尔什变换核是一个对称阵列，其行和列是正交的。正反变换核除了相差一个常数项1/N外，其他相同。其为可分离的，表示为：二维Walsh变换核为：举例：求Walsh变换核矩阵元素方括号中各项的符号即为变换核的符号，从中可见Walsh变换的本质是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定的规律改变，进行加减运算。举例：若二维信号求其离散Walsh变换。其中N=4时的二维Walsh变换核为则：例：可见，二维Walsh变换具有某种能量集中的特性，而且原始数据越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上，因此，可用于图像压缩。本质上是一