长沙外国语学校立体几何中的向量方法(全)

321立体几何中的向量方法——方向向量与法向量lAP１、直线的方向向量直线ｌ的向量式方程直线上的非零向量叫做直线的方向向量一、方向向量与法向量2、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________-1,-1,10,0,11,0,0练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量ABCDPEXYZ练习设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系垂直平行相交因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系用向量方法解决几何问题322立体几何中的向量方法——平行关系练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量ABCDPEXYZml一平行关系：β例1:四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2求证：AE//FGABCDPGXYZFE立体几何法呢？MN例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，1求证：PA//平面EDBABCDPEXYZG解1立体几何法连结AC交BD于点G，再连结GEABCDPEXYZG解法2：共线向量基本定理ABCDPEXYZ解法3：共面向量基本定理ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=11证明：解得＝－２,ｙ＝１ABCDPEXYZ解法4：平面向量法向量方法三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点求证:BC1∥面AB1D练习题O立体几何法呢？例四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，PF=FG=GC求证：面AEF//面BDGABCDPGxyzFE立体几何呢？O323立体几何中的向量方法——垂直关系二、垂直关系：lmlABCαβ例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD∴MN⊥AB,同理MN⊥CD证2向量法例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD证3如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2yyABCDPEFXYZ解法一：向量法ABCDPEFxyz解法二：几何法,E是AA1中点，例3正方体平面C1BDE求证：平面EBD324立体几何中的向量方法——夹角问题lmlm1异面直线所成角l2、线面角l2、线面角2、线面角3、二面角2、二面角2、二面角夹角问题：PP’Al例1：

的棱长为1.解1建立直角坐标系A1xD1B1ADBCC1yzEF例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F1求证：PA//平面EDB;23求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZ3解建立空间直角坐标系，设DC=1例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F3求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ平面PBC的一个法向量为：解2如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1平面PBD的一个法向量为：G例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F3求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF解3立体几何法：设DC=1，练习的棱长为1.解1建立直角坐标系A1xD1B1ADBCC1yz平面ABD1的一个法向量为平面CBD1的一个法向量为的棱长为1.解2立体几何法A1D1B1ADBCC1P324立体几何中的向量方法——距离问题1A1,y1,1,B2,y2,2,则距离问题：2点P与直线l的距离为d,则距离问题：距离问题：3点P与平面α的距离为d,则dd

距离问题：4平面α与β的距离为d,则mDCPA例1如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，所以答:这个晶体的对角线AC1

的长是棱长的倍。练习P1072如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长BACD解1练习P1072如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长BACD解2立体几何法P例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离点E到直线A1B的距离为例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离解2立体几何法面积法P例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离等体积法解2例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离解1:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离仿上例求得D1C到面A1BE的距离为例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离等体积法解2例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1