理论力学-陈立群-第3章-平衡问题-解答

PAGEPAGE7第三章平衡问题：矢量方法习题解答3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。题3.题3.1图（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？题3．2图解：以送料机为研究对象，受力图如图示。满载时不致翻倒的临界状态是。列平衡方程：题3．2图，，解得所以，当时，才能使料斗在满载时不致翻倒。3-3梁AB用三根杆支承，如图示。已知，，，。试求三杆的约束力。题3-3图解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程题3-3图，，,.,.（b）解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程题3-3图，，题3-3图解得：；，题3-4图解得：。题3-4图3-4试求图示多跨梁的支座反力。已知（a），；（b），。(a)解：（1）先取BC梁为对象，画受力图，列平衡方程，，；，，（2）再取AB梁为对象，画受力图，列平衡方程，，，;,,.(b)解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程:题3-4图,,题3-4图;,，（2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程:,,..,.3-5梁的支承及载荷如图示。已知：，。试求支座的约束力。题3-5图（a）解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程:题3-5图，，。，。。2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程:，，。，，。，。（b）解：（1）取BC梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B点处的载荷集度为q/2。列平衡方程:题3-5图，题3-5图，，。，（2）取AB梁为对象，画受力图。列平衡方程:，，.，,.，.3-6图示构架中，重物W重1200N，由细绳跨过滑轮E而水平地系于墙上，尺寸为：AD=BD=2m，CD=DE=1.5m。不计滑轮和杆的自重，求支座A和B处的约束力，以及杆BC的内力。题3-6图解：（1）以整体为研究对象，显然。题3-6图列平衡方程：，，。，，，。（2）以AB杆为研究对象。列平衡方程：，，其中。解得。3-7一凳子由杆AB、BC和AD铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力如图示。求铰链E处的约束力。题3-7图解：（1）取整体为研究对象。题3-7图，，；（2）取AB杆为研究对象。，，AB杆受力图AD杆受力图AB杆受力图AD杆受力图（3）取AD杆为研究对象。，。，，.3-8图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮以及绳索组成，H、G和E处为铰链，固结在杆EF上的销钉K放在杆CD的光滑槽内。已知物块M重P和水平力Q，尺寸如图示。若不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座A和C以及杆EF上销钉K的约束力。题3-8图题3-8图受力图（1），，；，受力图（2）受力受力图（2）受力图（3）。（2）取EF杆连同轮为研究对象，显然。，，.（3）取CD杆为研究对象，，，；代入上面（1）中第3式，解得：。3-9滑轮B与折杆AB和BC用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力P=500N，不计各构件的自重，求各构件给销钉的力。题3-9图受力图（1）题3-9图受力图（1），，；，；，；轮对销钉的作用力是的反作用力。受力图（2）（2）取轮连同销钉为对象，折杆AB和BC都是二力杆，列平衡方程：受力图（2），，，，其中，。解得。将数据代入，得：。3-10由杆组成的结构如图示。A、B、C、E、G均为光滑铰链。已知F=20kN,q=10kN/m,M=20kN-m,a=2m,不计自重，求A和G处的约束力以及杆BE和CE的内力。题3-10图题3-10图受力图（1），，，，；，。受力图（2）受力图（2），，，，；将此代入（1）中第3式，得。，，3-11构架由杆AB、AC和DF铰接而成，如图示。在杆DEF上作用一力偶矩为M的力偶。不计各杆的重量，求杆AB上铰链A、D和B所受的力。题3-11图和杆件受力图解：（1）取整体为研究对象，支座反力必组成力偶。题3-11图和杆件受力图，，；（2）取DF杆为研究对象，，，；（3）取AB杆为研究对象，，，，，，，。3-12构架由杆AB、AC和DF组成，如图示。杆DF上的销子E可在杆AC的光滑槽内滑动。在水平杆DF的一端作用铅直力F，不计各杆的重量，求杆AB上铰链A、D和B所受的力。题3-12图和杆件受力图题3-12图和杆件受力图，，；（2）取DF杆为研究对象，，，；，，；，，；（3）取AB杆为研究对象，，，；，，；，，。3-13不计图示结构中各杆的重量，力F=40kN。求铰链A、B和C处所受的力。题3-13图和杆件受力图题3-13图和杆件受力图，，，（a）（2）取CA杆为研究对象，，，（b）由式（a）和（b）联立解得：，；，，。，，代入数据，得：，，，。3-14在图示构架中，A、C、D和E处均为铰链连接，杆BD上的销子B置于AC杆的光滑槽内，力F=200N，力偶矩M=100N-m，不计结构中各杆的重量，求A、B和C处所受的力。题3-14受力图受力图（1）解题3-14受力图受力图（1），，。（2）取BD杆为研究对象，，，受力图(2)受力图（3）；受力图(2)受力图（3）（3）取AC杆为研究对象，，，；，，；，，。3-15用图示三角架ABCD和绞车E从矿井中吊起重G=30kN的重物，△ABC为等边三角形，三角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60°角，不计三角架的重量，求当重物被匀速吊起时各脚所受的力。题3-15图及其构件的受力图解：取滑轮和重物连同杆的一部分为研究对象，受力图及其在水平面的投影如图示，显然有：，，，。因三角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60°角，有题3-15图及其构件的受力图，，；（a），；（b），，；（c）由式（a）、（b）和（c）解得：.3-16重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM和BM拉住。已知物重W=1000N,斜面的倾角，绳与铅垂面的夹角分别为和。如果物体的尺寸忽略不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。题3-16图重物的受力图解：取重物M为研究对象，画受力图，建立M-xyz直角坐标系，其中xy题3-16图重物的受力图，，；，，，，解得：,,将数据代入，得，，。3-17图示一空间桁架，由六根杆组成。一力P=10kN，作用于节点A，此力在ABNDC铅垂面内，且与铅垂线CA成45°角。△EAK和△FBM相等，皆为铅垂等腰直角三角形，并与ABNDC直交，其余见图示。求各杆的内力。题3-17图解：（1）取节点A为研究对象，题3-17图，，；，，；节点的受力图，，节点的受力图。（2）取节点B为研究对象，，，；，，；，，。代入数据得：，，，。3-18三脚圆桌的半径r=50cm，重为G=600N，圆桌的三脚A、B和C形成一等边三角形。如在中线CO上距圆心为的点M处作用一铅垂力P=1500N，求使圆桌不致翻倒的最大距离。题3-18图圆桌受力图解：取三脚圆桌为研究对象，题3-18图圆桌受力图，，圆桌不致翻倒的条件：，，代入数据，得使圆桌不致翻倒的最大距离为。3-19手摇钻由支点B、钻头A和一个弯曲的手柄组成。当支点B处加压力和，以及手柄上加力后，即可带动钻头绕轴AB转动而钻空。已知：，，求：（1）钻头受到的阻抗力偶矩M；（2）材料对钻头的约束力的值；（3）力的值。题3-19图题3-19图摇钻受力图,,;,,;,,.,,.,,.,,题3-20图水平轴连同齿轮及带轮受力图3-2题3-20图水平轴连同齿轮及带轮受力图解:取水平轴连同齿轮及带轮为研究对象,,，；，，；，，；，，，，。3-21一端有绳子拉住的重100N的物体A置于重200N的物体B上如图示，B置于水平面上并作用一水平力F。若各接触面的静摩擦因数均为0.35,试求B即将向右运动时力F的大小。题3-21图物体A和B的受力图解：根据题意，设物体系统处于临界平衡状态，此时各接触面间的摩擦力均达到最大值。题3-21图物体A和B的受力图取物体A为研究对象，，，，，补充方程：。解得：，。（2）取物体B为研究对象，，，；，，补充方程：。解得：。代入数据得，。3-22重物A与B用一不计重量的连杆铰接后放置如图示。已知B重1kN，A与水平面、B与斜面间的摩擦角均为15°。不计铰链中的摩擦力，求平衡时A的最小重量。题3-22题3-22图物体A和B的受力图取重物B为研究对象，，，，，补充方程：，其中.解得：。代入数据得：。取重物A为研究对象，，，，，补充方程：，解得：。将数据代入，得：。3-23利用劈尖原理升高重物的装置如图示。设重物重20kN，各接触面间的摩擦角均为12°，不计劈尖的重量，计算图示情况升高重物所需的最小水平力F。题3-23图物体A和B的受力图题3-23图物体A和B的受力图取重物连同劈尖A为研究对象，，，，，解得：，即。（2）取劈尖B为研究对象，，，，，解得：。代入数据，得：。3-24起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。已知制动轮半径R=50cm，鼓轮半径r=30cm，制动轮与制动块间的摩擦因数，被提升的重物重G=1000N，手柄长，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需。题3-24图制动轮和题3-24图制动轮和手柄的受力图（1）取制动轮为研究对象，,,,摩擦定律：。取手柄连同制动块为研究对象，，，代入数据，得：。3-25砖夹的宽度为250mm，曲杆AGB与GCED在G点铰接，尺寸如图所示。设砖重P=120N，提起砖的力F作用在砖夹的中线上，砖夹与砖间的摩擦因数。求距离d为多大时才能把砖夹起。题3-25图受力图题3-25图受力图（1）受力图（2）（1）折杆GCED为研究对象，此折杆为二力构件，其约束力一定沿着GD连线。因此，平衡条件为：，即，，.(2)取图示折杆AGB连同折杆GCED为研究对象，由三力平衡汇交定理知，A处全反力必与D处全反力对称地交于一点。因此，当D处不滑动时A处必也不滑动。题3-26图受力图（1）受力图（2）3-26图示重100N、高H=20cm、底面直径d=10cm的正圆锥体放在斜面上。静摩擦因数，质心C的位置题3-26图受力图（1）受力图（2）解：取圆锥体为研究对象。（1）设力较小，圆锥体有下滑或逆时针翻倒趋势。，，；，，解得：；其中为斜面倾角。最大静滑动摩擦力。不滑动条件：。解得：，其中为摩擦角。，，.代入数据，得：，所以，圆锥在滑动临界状态时不会翻倒。的下限要求。（2）设力较大，圆锥体有上滑或顺时针翻倒趋势。，，，，，；最大静滑动摩擦力。不滑动条件：。解得：。，，.代入数据，得：。因此，在没有达到滑动临界状态时，圆锥已经。不翻倒的条件是，即由此得，，代入数据，得。综上分析，的取值范围为。3-27攀登电线杆的脚套钩如图示。设电线杆的直径d=300mm，A和B之间的的垂直距离b=-100mm。若套钩与电线杆之间的摩擦因数。求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最最小距离应为多大。题3-27图套购的受力图题3-27图套购的受力图，解得。实际设计时，考虑到安全因素，须，代入数据，得。题3-28图门的受力图3-28题3-28图门的受力图解：取门为研究对象，当门太窄时，在水平力作用下门有顺时针的角位移，使门的A和E点与门的上下滑道接触，设门处于滑动的临界平衡状态，受力图如图示，，，，，，，补充方程：，。以上5个方程联立，解得：。由于门被卡住时平衡已与力的大小无关，令，导出门不被卡住时的门宽b的最小值，此时与门重无关。3-29一半径为R、重为P1的轮静止在水平面上，如图示。在轮上半径为r的轴上绕有细绳，此绳跨过滑轮A，在端部系一重为P2的物体。绳的AB部分与铅直线成角。求轮与水平面接触点C处的滚阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反力。题3-29图轮题3-29图轮的受力图，，滑动摩擦力：；，，法向反力：；，，滚阻力偶矩：。3-30钢管车间的钢管运转台架，钢管依靠自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径50mm。设钢管与台架间的滚阻系数。试决定台架的最小倾角的大小。题3-30图题3-30图钢管的受力图，，；，在临界滚动状态，滚动摩阻力偶达到最大值。其中，。将代入，得，代入数据，。3-31汽车P=15KN，车轮的直径为600mm，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80mm的阻碍物？并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为多大才不致打滑？题3-3题3-31图和汽车的受力图，其中，。（2）取车身为研究对象，设为驱动力偶。，。（b）（3）取车轮B为研究对象，，，（c），，（d）补充方程：，（e）将方程（a）~（e）联立，解得：。即，发动机应给予后轮的力偶矩为，此时后轮与地面的