高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习练考题预测全过关2-11-3导数的综合应用

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。练考题预测·全过关1.(2019·天津高考)已知函数f(x)=2若关于x的方程f(x)=14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a ()A.54,9C.54,94∪{1} 【解题指南】画出f(x)图象及直线y=14x+a,借助图象分析【解析】选D.如图,当直线y=14x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方或者直线y=14x+a与曲线y=1x即1≤14+a≤2,即54≤a≤或者1x2=14,得即12=14×2+a,所以a的取值范围是54,【方法技巧】根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法.2.(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=lnxx+1(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点.(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,1),(1,+∞),因为f′(x)=1x+2所以f(x)分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1e+1e-1<0,f(e2)=2所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0<1x1<1,f1x1=lnx1+故f(x)在(0,1)有唯一零点1x综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)因为1x0=e-lnx0,故点由题设知f(x0)=0,即lnx0=x0+1x0-1,故直线AB的斜率k=曲线y=ex在点B(lnx0,1x0)处切线的斜率是1x0,曲线y=lnx在点A(x0,lnx0所以曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.3.(2019·浙江高考)已知实数a≠0,设函数f(x)=alnx+x+1(1)当a=34时,求函数f(x)的单调区间(2)对任意x∈1e2,+∞均有f(x)≤x注28…为自然对数的底数.【解析】(1)当a=34时,f(x)=34lnx+f′(x)=34x+12所以,函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(2)由f(1)≤12a,得0<a≤当0<a≤24时,f(x)≤x2a等价于xa221+x令t=1a,则t≥22设g(t)=t2x2t1+x2lnx,t≥22(ⅰ)当x∈17,+∞时,1+1g(t)≥g(22)=8x421+x2ln记p(x)=4x221+xlnx,x≥1p′(x)=2x2x+11故x111(1,+∞)p′(x)0+p(x)p1单调递减极小值p(1)单调递增所以,p(x)≥p(1)=0.因此,g(t)≥g(22)=2p(x)≥0.(ⅱ)当x∈1e2g(t)≥g1+1x=令q(x)=2xlnx+(x+1),x∈1e则q′(x)=lnx故q(x)在1e2,17上单调递增,所以由(ⅰ)得q17=277p1所以,q(x)<0.因此g(t)≥g1+1x=由(ⅰ)(ⅱ)得对任意x∈1e2,+∞g(t)≥0,即对任意x∈1e2,+∞,综上所述,所求a的取值范围是0,4.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ()A.y=sinx B.y=lnxC.y=ex D.y=x3【解析】选A.对函数y=sinx求导,得y′=cosx,当x=0时,该点处切线l1的斜率k1=1,当x=π时,该点处切线l2的斜率k2=1,所以k1·k2=1,所以l1⊥l2;对函数y=lnx求导,得y′=1x恒大于0,斜率之积不可能为1;对函数y=ex求导,得y′=ex恒大于0,斜率之积不可能为1;对函数y=x3求导,得y′=3x2恒大于等于0,斜率之积不可能为5.如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD,其中AB,CD,DA都是线段,曲线段BC是抛物线的一部分,且点B是抛物线的顶点,BA所在直线是该抛物线的对称轴,经测量,AB=2米,AD=3米,AB⊥AD,点C到AD,AB的距离CH,CR的长均为1米,现要用这块边角料截一个矩形AEFG(其中点F在曲线段BC或线段CD上,点E在线段AD上,点G在线段AB上).设BG的长为x米,矩形AEFG的面积为S平方米.(1)将S表示为x的函数.(2)当x为多少时,S取得最大值,最大值是多少?【解析】(1)以点B为坐标原点,BA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设曲线段BC所在的抛物线方程为y2=2px(p>0).将点C(1,1)代入,得2p=1,所以曲线段BC的方程为y=x(0≤x≤1).又由点C(1,1),D(2,3)得线段CD的方程为y=2x1(1≤x≤2),而GA=2x,所以S=x(2)①当0≤x≤1时,因为S=x(2x)=2x12所以S′=x-1232x12=2当x∈0,23时,S′>0,此时当x∈23,1时,S′<0,此时