数字信号处理第4版课件 第3章

数字信号处理

通信工程学院

丛玉良、林琳、朴美兰、王波

2023.08学习要求：

（1）掌握离散傅里叶级数的定义、计算与性质（2）掌握离散傅里叶变换的定义、计算与性质（3）理解离散傅里叶变换与其它变换之间的关系

3.1离散傅里叶级数设是周期为N

的周期序列，可以表示为周期为N的周期序列可以表示为N个正弦序列/复指数序列和。

（1）

（2）离散傅里叶级数正变换离散傅里叶级数反变换

3.1.1傅里叶级数定义

Xp(k)的周期性周期序列及其DFSxp(n)Xp(k)1.线性特性设周期序列xp(n)和yp(n)的周期都为N

，且则有3.1.2傅里叶级数的性质，当m和l为任意整数时，则2.序列位移特性设3.周期卷积特性设周期序列xp1(n)和xp2(n)的周期都为N

，有

则交换律求和仅在一个周期内完成称为周期卷积。线性卷积在-∞~+∞求和。

时域：频域周期卷积将有限长序列延拓成周期序列xp(n)xp(n)3.2离散傅里叶变换

有限长序列周期延拓的数学表示

同理有符号((n))N表示n对模N的余数，即其中，离散傅里叶变换

一般情况下延拓截断DFSDFTIDFTIDFS

DFT和DFS之间的关系

3.3离散傅里叶变换的性质如果x1(n)长为N1，x2(n)长为N2，则y(n)长为N=max[N1,N2]。X1(k)是x1(n)补N2-N1个零后的离散傅里叶变换。设N1<N2，则3.3.1线性特性3.3.2圆周位移特性1.圆周位移定义有限长序列x(n)的圆周位移定义为

3.3.2圆周位移特性

同理2.圆周位移定理若则它的离散傅里叶变换为

1.循环(圆周)卷积

令

3.3.3循环卷积特性2.循环卷积定理或循环卷积计算的圆形示意同样

特性1：

是关于k的偶函数是关于k的奇函数3.3.4对称性

特性2：奇偶虚实对称性这意味着或x(n)X(k)实函数实部为偶、虚部为奇实偶函数实偶函数实奇函数虚奇函数虚函数实部为奇、虚部为偶虚偶函数虚偶函数虚奇函数实奇函数表3-1DFT的奇偶虚实特性3.3.5相关特性1.离散（线性）相关函数对于离散序列x1(n)和x2(n)，则离散相关定义为

2.循环（圆周）相关设x1(n)和x2(n)都是长度为N的有限长实序列，则已知长为N的序列x(n)，X(k)=DFT[x(n)]，则

如果x(n)为实序列，则3.3.6DFT形式下的巴塞伐尔定理3.4离散傅里叶变换与其他变换之间的关系1.离散傅里叶变换与z变换之间的关系

2.用有限长恢复内插函数3.离散傅里叶变换表示序列傅里叶变换

3.5线性卷积与线性相关的DFT算法3.5.1计算循环卷积和线性卷积1.循环卷积的快速计算

2.循环卷积与线性卷积的关系

3.线性卷积的快速计算y(n)=x(n)*h(n)

设x(n)、h(n)均为因果序列，h(n)长N

，x(n)长N1，N1>>N。将x(n)分为M的p段，每小段长与h(n)接近，将x(n)的每小段与h(n)进行卷积，最后取和。4.重叠相加法

NMMMN+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+N1-1N1相邻两段序列有个点发生重叠。重叠相加法的快速算法1.循环相关的快速计算3.5.2计算循环相关和线性相关2.线性相关的快速