数理统计·参数估计课件

数理统计数理推断问题参数估计假设检验点估计区间估计§6参数估计数理统计数理推断问题参数估计假设检验点估计区间估计§6参数一、参数的点估计定义1设总体的分布函数已知但含未知参数,为来自总体的样本，相应的样本值是.由样本构造一个统计量,用它的观测值来估计未知参数,称为的点估计量,称为的点估计值.一、参数的点估计定义1设总体的分布函为来自总体的一个样本，观测值为：用样本均值作为总体均值的点估计量,即

从而

为的点估计值.1.数字特征法——用样本的数字特征估计总体的数字特征为来自总体用样本方差作为总体方差的点估计量,即

从而

为的点估计值.用样本方差例1在一批某种零件中,随机地取8个,测得它们的重量(单位:g)为:801,804,799,794,802,800,803,805.试用数字特征法估计总体均值和方差.解例1在一批某种零件中,随机地取8个,测得它们的重量例2已知乘客在某公交汽车站等车的时间(单位：min)服从上的均匀分布,现随机抽测了10位乘客的等车时间,数据如下:2,4,5,8,3,6,5,6,10,1.试用数字特征法估计的值,并求乘客等车时间不超过5min的概率.解设是抽得的样本,由于,密度函数为例2已知乘客在某公交汽车站等车的时间(单位：mi总体的均值为由数字特征法有因此代入数据得从而等车时间不超过5min的概率为

总体的均值为对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,应该选用哪一个估计量？应该用什么标准评价一个估计量的好坏？常用的标准有三个：（1）无偏性；（2）有效性；（3）一致性.2.估计量的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不(1)无偏性设是参数的估计量,若,则称是的无偏估计量.注:1.估计量的值不一定就是的真值,因为它是一个随机变量,若是的无偏估计,则尽管的值随样本值的不同而变化,但平均来说它会等于的真值.2.一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数相应函数的无偏估计量.例如，当时，是μ的无偏估计量，但不是的无偏估计量，事实上：(1)无偏性设是参数例3证明样本均值为总体均值的无偏估计.样本方差为总体方差的无偏估计.而不是总体方差的无偏估计.证明

[1]因为随机变量与总体同分布，故所以样本均值为总体均值的无偏估计.例3证明样本均值为总体均值[2][2]

所以样本方差为总体方差的无偏估计.

[3]所以不是总体方差的无偏估计.[3](2)有效性设和都是参数的无偏估计量,若,则称比更有效.的所有估计量中,方差最小的估计量称为的有效估计量.有效估计量偏离的真值的程度最小.(2)有效性设和例4设是来自总体的样本,且

试验证估计量

都是的无偏估计量，并比较哪一个更有效.证明因为所以和都是的无偏估计量.例4设是来自总体的样本,且

由于因此所以比更有效.由于(3)一致性无偏性、有效性都是在样本容量n一定的条件下进行讨论的，然而不仅与样本值有关，而且与样本容量n有关，很自然，我们希望n越大时，n对

的估计应该越精确.如果依概率收敛于,即,有则称是的一致估计量.(3)一致性无偏性、有效性都是在样练习题选择题：以下说法不正确的有___________（A）只有总体服从正态分布，样本均值才是总体均值的无偏估计量（B）无论总体服从什么分布，样本均值一定是总体均值的无偏估计量（C）当总体服从正态分布时，样本方差必为总体方差的无偏估计量（D）无论总体服从什么分布，样本方差一定是总体方差的无偏估计量练习题选择题：二、参数的区间估计定义1设是自总体的一个未知参数,对于给定值,若由来自的样本确定的两个统计量和使得成立,则称为置信水平(或置信度),称随机区间是参数的置信水平为的置信区间,和分别为置信下限和置信上限.注:1.区间包含未知参数的真值的概率为;2.置信区间的长度反映了精确要求,区间越短越精确；3.置信水平反应了区间估计的可靠性要求,越小越可靠.二、参数的区间估计定义1下面讨论正态总体的均值和方差的置信区间的计算方法.下面讨论正态总体1.均值的区间估计（1）方差已知设是来自总体的一个样本,其中为已知,为未知.由于,所以故有统计量

1.均值的区间估计（1）方差已知对于给定的置信水平,可选择使得（1）成立,即

故

由此得由标准正态分布表可得临界值.对于给定的置信水平再由（1）式得

即故的一个置信水平为的置信区间：再由（1）式得例5设总体,从总体中抽取一个样本值如下:12.6,13.4,12.8,13.2求总体均值的置信水平为0.95的置信区间.解由题意知,样本均值的观测值为由查表得例5设总体,从总体中从而总体均值的置信水平为0.95的置信区间为：

从而总体均值的置信水平为0.95的置信区间为：若且方差已知时,求的置信区间的步骤如下:（1）从总体中随机抽取容量为的样本,其观测值为（2）计算样本均值的观测值（3）根据由查标准正态分布表,查得临界值（4）求出总体均值的置信水平为的置信区间

若（2）方差未知考虑T统计量

（2）方差未知对于给定的置信水平,可选择t分布的双侧临界值使得（2）成立,即

查自由度为的t分布表得双侧临界值从而由（2）得对于给定的置信水平即故的一个置信水平为的置信区间：即例6已知某地初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取12名初生婴儿,测得其体重（单位：g）为:3100,2520,3000,3000,3600,3160，3560,3320,2880,2600,3400,2540.试以0.95的置信水平估计该地初生婴儿的平均体重.解由,得样本均值的观测值为例6已知某地初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取从而总体均值的置信水平为0.95的置信区间为：

从而总体均值的置信水平为0.95的置信区间为：若且方差未知时,求的置信区间的步骤如下:（1）从总体中随机抽取容量为的样本,其观测值为（2）计算样本均值和样本标准差的观测值（3）根据和样本容量查标t分布表,查得临界值（4）求出总体均值的置信水平为的置信区间若2.方差的区间估计设是来自总体的一个样本,其中为未知.考虑2.方差的区间估计设对于给定的置信水平,选取区间

使得

于是

即亦即对于给定的置信水平故方差的一个置信水平为的置信区间：标准差的一个置信水平为的置信区间：故方差的一个置信水平为的置例7已知某地初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取12名初生婴儿,测得其体重（单位：g）为:3100,2520,3000,3000,3600,3160，3560,3320,2880,2600,3400,2540.试以0.95的置信水平估计该地初生婴儿体重的方差.解由,得查分布表得例7已知某地初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取又由例6知从而该地初生婴儿体重方差以0.95为置信水平的置信区间为：

又由例6知若且未知时,求的置信区间的步骤如下:（1）从总体中随机抽取容量为的样本,其观测值为（2）计算样本均值和样本标准差的观测值（3）根据和样本容量查标分布表,查得临界值