九年级数学（北师大版）上册课件-【第1课时 利用一元二次方程解决几何问题】

利用一元二次方程解决几何问题2北师版九年级上册情境导入你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？如图，一个长为10

m

的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8

m.如果梯子的顶端下滑1

m，那么梯子的底端滑动多少米？（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？xx设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米(8-x)2+(6+x)2=102x2-2x=0x1=0（舍），x2=2.（2）如果梯子长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米(12-x)2+(5+x)2=132x2-7x=0x1=0（舍），x2=7.几何画板探究新知例1如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）几何画板（1）要求

DE

的长，需要如何设未知数？

（2）怎样建立含

DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？（4）选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？解：连接DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC

的中位线.∴DF∥AB，且DF=AB.∵AB⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile.设相遇时补给船航行了xnmile，那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）nmile.在Rt△DEF

中，根据勾股定理可得方程

x2=1002+(300-2x)2，整理，得3x2-1200x+100000=0.

解这个方程，得

所以，相遇时补给船大约航行了118.4nmile.随堂练习【选自教材P53随堂练习】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设所行时间为t，则有(3t)2+102=(7t-10)2，解得t1=0（舍去），t2=.∴甲走了×7=（步），乙走了×3=（步）.达标检测【选自教材P53习题2.9】有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？解:设较多的钱为x．由题意,可得x(20－x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)．所以，赛义德得到的钱数为12.如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q

同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C

匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？解:设经过ts，△PCQ

面积为Rt△ACB

面积的一半．

(8－t)(6－t)＝×6×8×，解得t1＝2，t2＝12(舍去)．所以，经过2s，△PCQ

面积为Rt△ACB

面积的一半．【选自教材P53习题2.9】如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为0.78m2，上口比渠底宽0.6，渠深比渠底少0.4m，求渠深.【选自教材P53习题2.9】解:设渠深为xm，则渠底为(x＋0.4)m．S＝·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x

＝0.78，解得x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．所以，渠深0.6m．解:设

ts后P

，Q

两点相距15cm．由题意有t2＋(21－t)2＝152，解得t1＝9，t2＝12．所以，运动9s或12s时,P,Q

两点相距15cm．如图，在Rt△ACB

中，∠C=90°，AC=30cm，BC=