(完整)2023高考数学专题十四外接球

1/1(完整)2023高考数学专题十四外接球培优点十四外接球

1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心

例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20π

C．24π

D．32π

【答案】C

【解析】162==haV，2=a，24164442222=++=++=haaR，24πS=，故选C．

2．补形法（补成长方体）

图2

图3

例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．

【答案】9π

【解析】933342=++=R，24π9πSR==．

3．依据垂直关系找球心

例3：已知三棱锥PABC-的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC△满意

BABC==π

2

ABC∠

=

，若该三棱锥体积的最大值为3，

则其外接球的体积为（）A．8πB．16πC．16π3D．32

π3

【答案】D

【解析】由于

ABC△是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1

2r==的半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则1

632ABCS=?=△，BD=11

6336

ABCVShh==?=△，

最大体积对应的高为3SDh==，故223Rd=+，即2

233RR=-+，解之得2R=，

所以外接球的体积是

3432π

π33

R=，故答案为D．

一、单选题

1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．24πD．48π

【答案】B

【解析】设长方体的外接球半径为R，由题意可知：(22

2

2223

5

R=+

+

，则：23R=，

该长方体的外接球的表面积为24π4π312πSR==?=．本题选择B选项．

2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为23面积为（）A．12πB．28πC．44πD．60π

【答案】B

【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：23

2r=2r=，设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径2

2

2327R=

+=，

对点增分集训

外接球的表面积24π28πSR==．本题选择B选项．

3．把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥

DABC-的外接

球的表面积为（）A．32πB．27π

C．18π

D．9π

【答案】C

【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥DABC-的外接球直径为32AC=，外接球的表面积为24π18πR=，故选C．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）

A．2πa

B．22πa

C．23πa

D．24πa

【答案】C

【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为2a的正四周体，如图所示：

该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对

角线，所以2223

23RaaaaRa=++=?=，所以该几何体外接球面积2

22

34π4π3πSRaa??==?=????

，故选C．

5．三棱锥ABCD-的全部顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，2BCBD==，243ABCD==，则球O的表面积为（）

A．16π

B．32π

C．60π

D．64π

【答案】D

【解析】由于2BCBD==，23CD=，所以

2

222223

1cos222

2

CBD+-∠==-??，

2π3

CBD∴∠=

，因此三角形BCD外接圆半径为

122sinCD

CBD

=∠，

设外接球半径为R，则2

2

2

=2+412162ABR??=+=???

，2

=4π64πSR∴=，故选D．

6．如图1111ABCDABCD-是边长为1的正方体，SABCD-是高为1的正四棱锥，若点S，1A，1B，1C，1D在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．

9π16

B．

25π16

C．

49π16

D．

81π16

【答案】D

【解析】如图所示，连结11AC，11BD，交点为M，连结SM，

易知球心O在直线SM上，设球的半径ROSx==，在1RtOMB△中，由勾股定理有：22211OMBMBO+=，即：

2

2

2

222xx??-+=????

，解得：98x=，则该球的表面积2

2

9814π4ππ816

SR??

==?=???．本题选择D选项．

7．已知球O的半径为R，A，B，

C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为1

2

R，2ABAC==，120BAC∠=?，则球O的表面积为（）A．

16π9

B．

16π3

C．

64π9

D．

64π3

【答案】D

【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC=+-???=，

设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得：

23

2r=，则2r=，

又22144RR=+，解得：2163R=，则球的表面积264

4ππ3

SR==．本题选择D选项．

8．已知正四棱锥PABCD-(底面四边形ABCD是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10若该正四棱锥的体积为50

3

，则此球的体积为（）A．18πB．86C．36π

D．323π

【答案】C【解析】

如图，设正方形ABCD的中点为E，正四棱锥PABCD-的外接球心为O，Q底面正方形的边长为10，5EA∴=，Q正四棱锥的体积为

503

，

2

150

10

33

PABCDVPE-∴=?

?=

，则5PE=，5OER∴=-，

在AOE△中由勾股定理可得：2

255RR-+=，解得3R=，34π36π3

VR∴==球，故选C．

9．如图，在ABC△中，6ABBC==，90ABC∠=?，点D为AC的中点，将ABD△沿BD折起到PBD△的位置，使PCPD=，连接PC，得到三棱锥PBCD-．若该三棱锥的全部顶点都在同一球面上，

则该球的表面积是（）

A．7π

B．5π

C．3π

D．π

【答案】A

【解析】由题意得该三棱锥的面PCD3BD⊥平面PCD，设三棱锥PBDC-外接球的球心为O，

PCD△外接圆的圆心为1O，则1OO⊥面PCD，∴四边形1OODB为直角梯形，由3BD11OD=，及OBOD=，得7OB=7R=

∴该球的表面积27

4π4π7π4

SR==?

=．故选A．10．四周体ABCD-中，60ABCABDCBD∠=∠=∠=?，3AB=，2CBDB==，则此四周

体外接球的表面积为（）A．

19π2

B．

1938π

C．17π

D．

1717π

【答案】A【解析】

由题意，BCD△中，2CBDB==，60CBD∠=?，可知BCD△是等边三角形，3BF=，∴BCD△的外接圆半径23rBE=

=，3

FE∵60ABCABD∠=∠=?，可得7ADAC==可得6AF=∴AFFB⊥，∴AFBCD⊥，∴四周体ABCD-高为6AF=

设外接球R，O为球心，OEm=，可得：222rmR+=……①，

)

2

226π

EFR+=……②

由①②解得：19R=

219

4ππ2

SR==．故选A．11．将边长为2的正ABC△沿着高AD折起，使120BDC∠=?，若折起后ABCD、、、四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．7

π2

B．7π

C．

13π2

D．

13π3

【答案】B

【解析】BCD△中，1BD=，1CD=，120BDC∠=?，

底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到3BC=3

21rr=?=，

见图示：

AD是球的弦，3DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的

一半，即为球心的位置O，∴3

OM=

，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径．∴球的半径37

14OD=+

=

．该球的表面积为24π7πOD?=；故选B．12．在三棱锥ABCD-中，6ABCD==，5ACBDADBC====，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．

4343π

B．

4343π

C．

43π

2

D．43π

【答案】D

【解析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，

由条件，4ABCD==，5BCACADBD====，可知，ABC△与ADB△，都是等腰三角形，

AB⊥平面ECD，∴ABEF⊥，同理CDEF⊥，∴EF是AB与CD的公垂线，

球心G在EF上，推导出AGBCGD△≌△，可以证明G为EF中点，2594DE=-=，3DF=，1697EF=-=，

∴7GF=

，球半径74394DG=+=

，∴外接球的表面积为24π43πSDG=?=．故选D．

二、填空题

13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π

【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161

232sin6023

r=?=?=

?

，

则外接球的半径2

2

32391221

R=+=+=，

则外接球的表面积为2

4π4π2184π

SR

==?=．

14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】

32163π

-

【解析】设正四棱锥的棱长为a，则2

3

4163

a

??

=

?

?

??

，解得4

a=．

于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN

△的内切圆，

其中4

MN=，23

PMPN

==22

PE=．

设内切圆的半径为r，由PFOPEN

?

△△，得

FOPO

ENPN

=，即

22

223

rr

-

=，

解得

22

62

31

r==

+

∴内切球的表面积为(2

2

4π4π6232163π

Sr

===-．

15．已知三棱柱

111

ABCABC

-的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32

AB=