高中数学重难点及需补充的竞赛数学及大学数学知识

高中数学重难点及需补充的竞赛数学及大学数学知识经历2021、2022年两年新高考后，我们发现：要想应对当下的新高考数学，除了抓住重难点外，还需补充必要的竞赛数学及大学数学知识。那么，这些知识有哪些呢？我们针对高中数学重难点、需补充必要的竞赛数学及大学数学知识，做了如下梳理。给各位教师以及准备冲刺985、211高校的学生提供参考！知识梳理表高中数学重难点及需补充的竞赛数学、大学数学知识高中数学重难点需补充的竞赛数学、大学数学知识1.集合中元素特征中的“互异性”2.子集、真子集的性质3.空集的特殊性质4.集合交、并、补的运算5.韦恩图法6.德.摩根定律7.数轴、韦恩图中“以形助数，以数辅形”的“数形结合”思想8.集合问题中的“函数与方程思想”9.集合问题中的“分类讨论思想”10.集合问题中的“划归与转化思想”11.集合中的“新定义”问题1.有限集合子集的个数及推广命题2.容斥原理3.数论中的奇偶分析、整除、同余等性质4.集合的“长度”最值问题5.抽屉原理

12.集合观点下的充分条件与必要条件13.充分条件与必要条件的四种形式14.利用充分、必要条件求参数的范围15.证明充要条件的思路16.全称量词、存在量词真假的判断6.用反证法证明的步骤17.均值不等式链及推广18.糖水不等式19.基本不等式中“一正二定三相等”的模式识别及注意点20.用基本不等式求最值的10大解题技巧（凑项、凑系数、分离、换元、取平方、整体代换、构造法、待定系数法、因式分解法及其他方法）21.建立不等关系的4条途径（利用问题几何意义、判别式、函数有界性、单调性）22.分式型不等式的最值问题（分子二次，分母一次；或分子一次，分母二次）23.三个“二次”的关系（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系）24.函数零点的概念25.含参一元二次不等式的讨论26.同解不等式及同解变形27.数轴标根法求一元高次不等式7.基本不等式的几何解释（射影定理几何模型、垂径定理几何模型、相交弦定理几何模型、切割线定理几何模型等）8.函数的凹凸性9.用函数的凹凸性证明不等式10.函数的有界性28.分数指数幂的定义29.立方和（差）公式及运用30.指数式与对数式的互相转化31.对数恒等式及其运用32.指数与对数的运算性质33.对数的换底公式11.多重根号的处理技巧12.复杂的指数、对数换算技巧13.同构34.函数的定义域和值域35.复合函数的定义域求法36.已知值域求参数范围问题37.分段函数问题38.函数图像的变换作图法（平移与翻折）39.函数方程的解法（配凑法、换元法、解方程组法、待定系数法、赋值法）40.求函数单调区间的3种方法（图像法、定义法、利用已知函数单调性）41.二次函数在给定区间上的最值问题42.函数的恒成立与有解问题43.奇函数、偶函数的性质44.判断函数奇偶性的步骤45.函数的互对称、自对称46.幂函数的定义及性质47.解决函数有关实际问题的思路与步骤14.函数的“迭代”15.求复合函数的值域的8种方法（观察法、配方法、反解法、换元法、分离常数法、判别式法、数形结合法、最值法）16.函数中与存在量词、全称量词相关的结论（4类情形：任意，任意；存在，存在；任意，存在；存在，任意。可以是不等问题或方程问题）17.奇函数与奇函数，偶函数与偶函数，奇函数（但不是偶函数）与偶函数（但不是奇函数）的和差积商函数的奇偶性分析18.抽象函数奇偶性、单调性、周期性的判定方法19.函数的对称性与周期性之间的关系20.两边夹原理（夹逼定理）48.指数函数与指数型函数的区别49.解决指数型复合函数单调性的步骤50.对数型奇函数的性质51.对数函数的图像与性质52.对数的大小比较53.函数定义域为R的问题54.函数值域为R的问题55.解决对数型复合函数单调性的步骤56.线性函数、二次函数、指数函数、对数函数的增长速度比较57.函数的零点与方程的根的关系58.函数零点存在定理59.根据函数零点个数求参数取值范围60.结合“根与系数关系”研究根的分布问题61.结合“函数零点存在定理”研究根的分布问题62.二分法求函数零点近似值的一般步骤21.含绝对值的复合函数图像的变换22.反函数的概念（理解对数函数、指数函数互为反函数）23.求反函数的步骤24.双曲函数（双曲正弦、双曲余弦、双曲正切）的公式及函数性态25.反双曲函数（反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切）的公式及函数性态63.象限角、轴线角的集合表示64.弧度与角度换算65.弧度制下的扇形弧长、面积公式66.根据图形写出区域角的集合的步骤67.求已知角的三角函数值的步骤68.利用三角函数定义解三角不等式（方程）的步骤69.诱导公式及其运用70.同角三角函数的基本关系式71.正弦值、余弦值的和、差、积之间的关系72.化简或证明三角函数式的常用技巧（1的代换，弦切互化，整体代换等）73.正弦函数、余弦函数图像的周期性、对称性74.三角函数的对称轴、对称中心与周期的关系75.正弦函数、余弦函数的单调性和最值问题76.正切函数图像及性质77.比较两个正切值大小的步骤78.三角函数图像的平移问题79.由函数图像求解析式80.“审题、建模、解模、回归实际问题”的应用题解题方法（摩天轮、水车、风车、钟摆等问题。）26.第一象限内，sinx，x与tanx大小关系的几何解释81.平行向量、相等向量和相反向量82.向量减法的运算及几何意义83.三角形的“四心”（垂心、重心、内心、外心）的性质84.向量数乘的运算律85.向量的共线定理86.三点共线的充要条件87.向量的数量积（内积）的定义及性质88.向量的投影与投影向量的关系89.与向量的夹角有关的充要条件27.绝对值三角不等式28.平面向量的“积化和差公式”（极化恒等式）29.“奔驰”定理30.“等和线”及其运用

90.两角和与差的余弦（正弦）公式及其变用91.合一变换公式的证明及运用92.两角和差的正切公式及其变形93.正切函数在三角形中的重要结论94.三角求值、化简的常见思路95.二倍角公式及升幂、降幂公式96.18°、36°的正弦、余弦值97.证明三角恒等式的一般步骤31.三倍角公式32.半角公式33.万能公式34.“积化和差公式”、“和差化积公式”及其几何证明35.三角恒等变换的3个方向（变“角”、变“名”、变“结构”）98.正弦定理及其变形运用99.余弦定理及其变形运用100.利用正弦定理讨论三角形解的个数101.面积公式、秦九韶三斜求积公式、海伦公式102.三角形面积、周长的最值问题36.余弦定理的逆定理37.余弦定理的正弦形式38.角平分线定理39.三角函数中的“划归与转化思想”103.旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的表面积、体积最值问题104.等角定理105.异面直线所成角106.直线与平面平行、垂直107.直线与平面所成的角108.平面与平面平行的判定定理与性质定理109.平面与平面垂直的判定定理及性质定理110.二面角的求法（定义法、三垂线法、垂面法、补形法、等体积法、射影法、公式法）111.7种空间中的距离（两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平行线间的距离、异面直线间的距离、直线与平面间的距离、两平行平面间的距离等。）112.空间向量及其坐标表示113.空间直线的方向向量与法向量114.空间向量在度量问题中的应用40.与正多面体的顶点数、面数、棱数有关的“欧拉定理”41.最小角定理42.三垂线定理及其逆定理43.三线角公式44.三余弦定理及三正弦定理45.求解距离问题的“转化与划归思想”（面面距离——>线面距离——>点面距离——>点点距离）115.计数原理116.概率与统计初步117.成对数据的统计分析118.一般离散型随机变量的分布列、正态分布119.二项分布与超几何分布120.斜率模型的几何意义121.两直线平行、垂直的判定122.直线方程的5种形式（点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程）123.直线系过定点问题124.直线与二元一次方程的关系125.方程组解的组数与两条直线的位置关系126.四种常见的对称问题（点关于点、点关于线、线关于点、线关于线）127.点到直线的距离公式及其应用128.设直线斜截式的注意点129.点与圆的位置关系130.圆的直径式方程131.与圆有关的轨迹问题132.圆的一般方程的代数特点133.几何意义为“斜率、截距、距离”的代数式134.与圆有关的轨迹问题135.直线与圆的位置关系的判定（代数角度、几何角度）136.两圆位置关系的判定方法137.两圆的公共弦问题138.两圆的公切线问题139.两圆相切问题46.经过两条直线交点的直线系方程47.夹角公式48.圆系方程及其运用49.阿波罗尼斯圆50.过圆上一点的切线方程51.过圆外一点引圆两条切线，切点弦所在直线的方程52.过两曲线交点的曲线系方程53.经过两圆公共点的圆系方程

140.椭圆标准方程推导过程中隐藏在代数式背后的几何特征（焦半径公式、椭圆的第二定义、椭圆上异于端点的点与椭圆对称轴端点的斜率之积为定值）141.曲线方程的求法142.椭圆的几何性质、椭圆上点的坐标的有界性143.离心率的意义144.直线与圆锥曲线相交的弦长公式145.圆锥曲线的中点弦问题（处理中点弦问题的常用方法）146.椭圆的“垂径定理”147.与焦点三角形有关的结论148.与焦点弦有关的结论149.与焦半径有关的问题150.与椭圆通径有关的问题151.与椭圆有关的定值、最值问题152.双曲线的几何性质153.双曲线的常用性质及结论154.双曲线的渐近线方程及其运用155.双曲线的第二定义156.双曲线的“垂径定理”157.抛物线的轨迹方程158.与抛物线有关的轨迹问题159.抛物线的几何性质160.抛物线的参数p的几何意义161.抛物线焦点弦的常用结论162.定值问题及常用处理方法163.定点问题及常用处理方法54.有心圆锥曲线中点弦的统一性质55.三角形的坐标面积公式56.椭圆的参数方程57.卡西尼卵形线58.共焦点的圆锥曲线系方程59.常用的圆锥曲线系方程60.为什么抛物线不存在渐近线61.求曲线轨迹方程的5大方法（直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。）62.圆锥曲线的切线问题（椭圆的切线方程、双曲线的切线方程、抛物线的切线方程）63.常见曲线的切点弦方程（圆的切点弦方程、椭圆的切点弦方程、双曲线的切点弦方程、抛物线的切点弦方程、反比例函数的切点弦方程、耐克曲线的切点弦方程、一般二次曲线的切点弦方程）64.极点、极线的几何定义、代数定义及基本结论65.阿基米德三角形66.“张直角弦”问题67.圆锥曲线“等角”定理68.彭赛列（Poncelet）闭合定理69.蒙日圆问题164.数列与函数的关系165.数列通项公式与前n项和的关系166.数列通项公式与前n项积的关系167.等差数列的判定方法168.基本量思想169.等差数列的单调性170.等差数列通项与一次函数的关系171.等差数列的性质172.等差数列项的设法173.抽取等差数列的等距项174.解决两等差数列公共项问题的方法175.解答等差/等比数列应用问题的基本步骤176.等差/等比数列前n项和公式177.裂项求和法178.等差数列前n项和最值的2种求法（通项公式法；借助二次函数图像）179.在等差数列中，关于等和问题的最值180.等比数列与指数函数的关系181.等比数列的判定与证明182.利用错位相减法求等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列的前n项和183.分期付款的数学模型184.倒序相加法185.分组求和法70.k阶递推数列71.周期数列及求和72无穷递缩等比数列的极限73.由等比数列生成的新等比数列74.数列不等式放缩的基本类型（利用累加法/累乘法/可求和的新数列/迭代法等构建关系进行放缩）75.糖水原理76.一阶线性递推数列77.指数递推型数列78.分式递推式的“不动点法”79.二阶线性递推数列的“特征根法”80.裴波那契数列81.数学归纳法及第二数学归纳法82.贝努利不等式

186.瞬时速度与平均速度的区别与联系187.求导数的步骤（一差，二化，三极限）188.导数的几何意义189.利用切线求最值190.曲线的公切线问题191.基本初等函数的导数192.导数的四则运算193.复合函数的导数194.用导数证明函数单调性195.求函数单调区间的方法196.关注结构特征构造辅助函数197.已知函数的单调性求参数的取值范围198.构造函数利用导数解决不等式问题199.已知函数的极值/最值求参数的取值范围200.求可导函数极值的步骤201.函数最值与极值的区别与联系202.生活中的最优化问题203.隐零点问题204.讨论含参函数的零点个数205.已知零点的个数，求参数的取值范围206.与函数零点有关的不等式证明的一般思路207.三次函数的图像特征和零点分布208.三次函数的图像及其性质209.三次函数的切线210.三次函数的零点211.三次函数的最值