从牟合方盖引发关于球体积公式的思考 论文

从牟合方盖引发关于球体积公式的思考摘要：本文先从中国古代对这个问题的研究开始谈起，简单介绍了祖暅原理的内容和牟合方盖的构造，并将这二者结合起来得出球的体积公式，在此基础上对牟合方盖模型限”得到了关于球的体积公式，并得出微积分在球体积公式推导上的应用。最后，探讨了对级数的思考。关键词：祖暅原理，牟合方盖，微积分，级数，球的体积公式引言：2019年人教数学A版中在介绍祖暅原理推导几何体的体积公式中，忽略了球的体积公式的推导，所以这篇论文主要目的是为学有余力的同学解释球的体积公式的由来，并加入高等数学在这方面的研究，以丰富学生的数学素养。本论文参考了2003版的人教数学A版，所以也一并采纳了以前教材中的推导方法。与之前的相关研究相比，本文在介绍了新的微积分法以及由此对级数的发散思考。一、牟合方盖在球体积的应用1.祖暅原理行平面之间的两个几何体，被平行与平面的任意平面所截，如果截得的两个截图1祖暅原理图解这个原理通俗的解释是：如果一摞纸摆在桌上，那么我们可以近似看作是一个直四棱柱，若将这摞纸从侧面使它倾斜一个角度，那么虽然不在是直四棱柱，但是由于其高度不变，它的体积任然不会发生变化。图2祖暅原理通俗的解释祖暅原理对柱体体积公式的解释：对于形状各异的柱体，我们选取一个棱柱，一个圆柱和一个长方体，并使他们的下底面在同一平面上。当我们用平行于下底面的平面去截这三个柱体，根据祖暅原理，这三个柱体的体积相同，所以体积公式均为v=sh祖暅原理对椎体的体积公式可以类比上述柱体的推导。图3柱体体积公式2.牟合方盖（1）牟合方盖的提出：牟合方盖是由我国古代魏晋时期数学家刘徽（约公元225年-公元295年）提出。当时刘徽对于体积的求解存在如下问题：对于一个底面是正方形的四棱底面为上述边长为a的正方形的内接圆高度仍为h的圆柱，则我们也容易得到该4圆柱的体积为为πa2h。4图4正方体与内接等高圆柱在刘徽所处的时代，已经能够认识到：若每个截面的面积的比值恒为4：π，则体积比值也为4：π，所以四棱柱的体积与圆柱的体积比值为4：π。所以现在只需要找到每个截面都与球对应的等高的截面面积之比为定值的几何体，就可以间接通过该几何体的体积利用比值关系间接的得出球的体积。（2）牟合方盖的构造：刘徽对于牟合方盖的描述为：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖大概的意思为，拿8个正方体，正方体的边长均为一寸，把它们堆积成一个边长为两寸的正方体。在这个正方体内部做一个直径为两寸，高为两寸的圆柱。然后在横着做一个相同的圆柱，就可以得到牟合方盖。图5牟合方盖的构造这样我们就能得到类似于图3的一个牟合方盖和它当中的一个内嵌的球。牟合方盖的体积：球的体积=4：π。但是可惜的是，对于牟合方盖的体积刘徽未能成功攻克。根据他的表述：“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”图6牟合方盖及其内接球但是刘徽指出只要计算出牟合方盖的八分之一，问题就能解决。大约200多年后的祖冲之父子从刘徽手中接过了接力棒，将体积计算出来。图7八分之一牟合方盖3.牟合方盖在球的体积推导过程的应用根据祖暅原理我们知道：若相同高度的截面面积相同，则几何体的体积相同。对于牟合方盖的八分之一，我们可以采用“挖补法”：正方体可以看成由八分之一牟合方盖加上剩下的部分构成。我们称八分之一牟合方盖为“小牟合底面，下底面为顶点的四棱锥体积相同。在高度为h处，外棋的横截面（蓝色部分）是一个由大正方形的面积减去小正方形的面积。若正方体的棱长为r,因为侧面为四分之一圆弧在侧面使用勾股定理有，小正方形的边长为r2-h2所以小正方形的面积（红色区域）为：r2-h2所以蓝色的面积为：r2-(r2-h2)=h2图8牟合方盖的“外棋”对于高度为h处的四棱锥的截面积:在正方体的侧面使用相似三角形,我们可以得到，该四棱锥的截面（黄色部分）为边长为h的正方形，所以面积为h2图9正方形的上底面为底面，下底面为顶点的四棱锥rr3

3，所以小牟合方3r盖的体积等于r3-13r

2=3r

3，所以牟合方盖的体积8×2r3=3

16r33因为牟合方盖的体积：球的体积4：π所以球的体积:4.对于牟合方盖模型的改进

4πr33数学家刘辉的牟合方盖构造巧妙，理解起来有一定难度。所以在2003版的人教数学A版本中并未介绍此模型，而是利用同底同高的圆柱圆锥模型进行推导。因为旧版教科书中对此进行了详细的介绍，本文不在赘述，详见附件一。二、微元法与微积分在球体积上的应用1.牟合方盖背后的数学思想：数学家刘徽从正方体的等高内接圆柱出发，构造出一个与球的体积之比仍旧为4：π的几何体。虽然没有求出该几何体的体积，但是这种类比的数学思想是难能可贵的。祖暅原理实际上就是微元法的一种体现，接下来我们使用微元法接着探究球的体积。2.微元法求球的体积通过将不规则的几何体不断的分成足够“细”的几何体的体积然后累加求为了计算方便，我们对半球进行分割，将最后所得结果翻倍就可以得到整个球的体积。我们把半径进行n等分，过这些等分点分别做相互平行的平面，把球分割成n个“小圆片”图10球的分割当n→+∞时，小圆片的上下底面面积近似相等，每个“小圆片”近似可看成圆柱。我们选取第iR的高为,下底面的半径根据勾股定理有nRRn]2所以该小圆柱体的体积为：Rn

2R])∙n=R

[ (π∙[ (n 1-

)]i-12)]n所以半球的体积为：V=V1+V2+⋯+Vi+⋯+Vn-1+Vnπ∙R32=2n2n)]

2[ (n)]

2[ (n)][

(n)]}[π∙R3[= n-n

12+22+⋯+i2+⋯+(n-2)2+(n-1)2]n2]我们知道：所以：

12+22+⋯+n2=1n(n+1)(2n+1)6[π∙R3[V= n-

[6(n-1)n(n-1)]]

=π∙R31-(n-1)(2n-1)1n n21

( 6n2 )图11“小圆片”近似圆柱当n→+∞时:)3((n-1)(2n-)3(6n2 =π∙R2)1-6n2)

2π∙R3=3所以整个球的体积是上述半球体积的两倍，体积为4π∙R333.微积分公式。那么进入立体几何之后，由此我们不禁思考球的体积又该使用什么积分方法才能得到呢？我们将上述的分割的“小圆片”可以看成是由曲边梯形以高为轴旋转得到的旋转体。图12球沿x轴方向的分割图13曲边梯形所以积分区间为[-R,R]。在每一个小区间[x,x+dx]中，均可以看成以f(x)为底面半径,根据勾股定理有：f(x)= R2-x2，dx为高的圆柱。这里的dx是微分符号，不在理解为积分的一个后缀，可以理解成对x的微分。所以积分可以写成R R R R2∫πf(x)dx=

∫π(R2-x2)

dx=

∫π(R2-x2)dx=2π∫

(R2-x2)dx-R -R

-R∫R∫(R2-x2)dx=xR2-0

01x3|R=03

02R33所以积分结果为2π∙

2R3=3

4πR33三、“求和”与级数级数先简单介绍一下级数：给定一个数列{un},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式u1+u2+⋯+un+⋯在差别的，就等比数列而言，它是一个有限级数，一般加到到第n项停止下来。对于有限项而言，它的各项之和毫无疑问是一个定值。在微分法中，我们将半球进行n等分，然后进行近似求和，得到了一个确定的结果。由此引发了对无限项的思考，也就是无限项的和是一个怎样的情况。这就是级数的敛散性问题。以高中数学知识为载体：对于一个等比数列，有无穷项，它的所有的和是否是确定的；换而言之也就是思考等比级数的敛散性。对于无限项的和，直觉反应是它的和是很大的，不会是一个定值。事实上就等比级数而言，它的敛散性取决于公比。例如1+2+4+⋯+2n+⋯这个级数的各项和只会越加越大又例如：0.9+0.09+0.009+⋯+9×10-n+⋯这个级数的各项和只会无限接近1。这个问题属于数学分析学中的级数理论，再这只做浅显的介绍，起到启蒙作用，这在大学数学中将详细介绍。四、总结本文从中国古代数学历史开始，介绍了古人的智慧，牟合方盖和祖暅原理无不透露着智慧的结晶。在微元法的基础上，我们又再一次利用近代数学的成就——微积分解决了球的体积问题。在求和的问题上我们拓展了无限项的问题——级数。现在数学命题更灵活，更新颖。命题根植于课本，发散到其他领域。有时也往往以大学数学为引子，对学生的数学素养进行考察。本文最主要的目的就是将书本上一个简单的祖暅原理进行拓展，尽可能的丰富学生的见识。从整个内容来看，数学知识得益于数学思想的发展，一个想法的产生往往会推动数学的向前发展。祖暅原理的提出比西方早了一千多年。圆周率的计算也是领先一千多年。可以说中国古代的数学是领先于当时世界各国的，但是当下数学领域的中心已经转移到了西方。所以数学领域要想重振辉煌需要我们教育工作者多让学生思考，一些奇思妙想，天马行空的想法往往就是推动数学的向前发展。参考文献[1]朱亚萍,马晟.基于历史发生原理的高中数学学科育人教学实践探索——以“球的体积”为例[J].湖北工程学院学报,2022,42(03):74-80.[2]张瑶,王保红.略论数学教师专业素养提升——以球体积公式的推导为例[J].高中数学教与学,2021(24):44-47.[3]于子杰.基于Geogebra的球体积公式可视化探究[J].数学学习与研究,2021(29):142-145.[4]李习凡,朱胜强.类比思想引路，数学软件辅助——“球的表面积和体积公式”的探究教学[J].教育研究与评论(中学教育教学),2021(08):90-92.[5]梅颖颖.“球的体积和表面积”教学设计[J].中国数学教育,2021(08):43-47+49.积和表面积”的点评[J].中国数学教育,2021(08):48-49.[7]林佳乐,徐庆惠.“球的体积公式及其应用”的教学设计、实践与反思[J].中学数学研究(华南师范大学版),2021(06):15-19.[8]杨新鹏,董蓉艳.利用祖原理推导球的体积公式的教学设计[J].数学教学通讯,2021(06):46-47.[9]胡爱芬.HPM视角下球体积公式的研究性学习[J].中学数学教学参考,2020(22):52-54.[10]张乐瑛.HPM视角下球体积公式推导的教学设计[J].中学数学,2019(13):7-9.[11]何嗣澎,郑胜.圆面积与球体积的统一探讨[J].数学学习与研究,2019(09):142.[12]张剑平.核心素养视域下的高效课堂建设——以球的表面积、体积公式为例[J].数学学习与研究,2019(08):84.[13]齐丹丹.HPM视角下球体积公式的教学[D].华东师范大学,2018.[14]孙鋆.数学文化下的球体