人教B版高中数学必修5全一册课件

2.1.1

数列一二三四一、数列的有关概念【问题思考】

1.填空:(1)数列的定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.(2)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,….其中an是数列的第n项,叫做数列的通项,一般形式的数列简记作{an},这里{an}是数列的简记符号,并不表示一个集合.2.数列2,3,4,5,6与集合{2,3,4,5,6}有何区别?提示:数列2,3,4,5,6是按一定的次序排列的,打乱顺序后又产生新的数列;而{2,3,4,5,6}中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集合.一二三四二、数列的通项公式【问题思考】

1.填空:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an=f(n)来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.一二三四一二三四三、数列与函数的关系【问题思考】

1.填空:在数列{an}中,对于每一个正整数n(或n∈{1,2,…,k}),都有一个数an与之对应,因此,数列可以看成以正整数N+(或它的有限子集{1,2,…,k})为定义域的函数an=f(n),即当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…,其图象是一系列孤立的点.一二三四2.数列{an}与函数f(n)=an(n∈N+)的区别如何?提示:(1)数列{an}与函数f(n)=an(n∈N+)是不同的,{an}中的元素具有有序性,如将a1,a2,a3,…,an排成a3,a1,a2,…,an,则为不同的数列,而对于函数f(n)=an(n∈N+)来说却是一样的.(2)数列中,自变量的取值更有规律性,必须从小到大取正整数.3.做一做:已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则(

)A.3不是数列{an}中的项B.3只是数列{an}中的第2项C.3只是数列{an}中的第6项D.3是数列{an}中的第2项或第6项解析:令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或n=6.答案:D一二三四四、数列的分类【问题思考】

1.填空:(1)按项的个数分类(2)按项的变化趋势分类

一二三四2.是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.3.做一做:已知下列数列:①-1,0,1,2,3,4,…,n.②1,-1,1,-1,….④6,6,6,6,6.其中递增数列有

,递减数列有

,常数列有

,有穷数列有

,无穷数列有

(只填序号就可以).

答案:①

③

④

①④

②③一二三四思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)数列是按一定顺序排列的有规律的一列数.(

)(2)数列中的项不可能相等.(

)(3)数列是可以用图象表示的.(

)(4)数列可以用一群孤立的点表示.(

)(5)数列可以看成一种特殊的函数.(

)(6)如果一数列满足,那么该数列为递增数列.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√

(6)×探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析数列的概念【例1】

下列叙述正确的是(

)A.数列2,4,6,8和数列4,2,6,8是同一个数列B.同一个数在数列中可能重复出现C.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数D.数列的通项公式是唯一的解析:根据数列的定义,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,因此,A是错误的;数列的通项公式的定义域是正整数集N+或它的有限子集,因此,C是错误的;数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,还可以写成分段函数的形式,因此,D是错误的;而数列中的数可以重复出现,故选B.答案:B当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是:(1)判断这组元素是否都是数;(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列.注意:按一定顺序不表示该数列具有规律性,即数列中的每一项可以是有规律的,也可以是无规律的.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析根据通项公式求项【例2】

根据下面数列的通项公式,写出它们的前5项.思路分析:已知数列的通项公式,依次用1,2,3,…代替公式中的n,便可以求出数列的各项.(2)在通项公式an=3n+2n中,依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项分别为a1=3×1+21=5,a2=3×2+22=10,a3=3×3+23=17,a4=3×4+24=28,a5=3×5+25=47.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,便可以求出相应的各项,实际上相当于已知函数的定义域和解析式,求函数值.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析由数列的前n项写出其通项公式

当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟1.根据数列的前几项写对应的通项公式的一般思路是:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等;(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式;(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)k处理符号;(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析2.常见数列的通项公式如下:(1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=(-1)n;(2)数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n;(3)数列1,3,5,7,…的通项公式是an=2n-1;(4)数列2,4,6,8,…的通项公式是an=2n;(5)数列1,2,4,8,…的通项公式是an=2n-1;(6)数列1,4,9,16,…的通项公式是an=n2;当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析(1)将本例3(2)④中的数列变为1,11,111,1111,…结果如何?(2)变为5,55,555,5555,…结果又如何?当堂检测探究一探究二探究三探究四判断数列的单调性【例4】已知函数f(x)=.数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}的增减性.思路分析:先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性.探究五思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟数列增减性的判定方法1.作差比较法(1)若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;(2)若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;(3)若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.2.作商比较法当堂检测探究一探究二探究三探究四变式训练1若数列{an}满足an=-n2+2n+9(n∈N+),则该数列是

数列.(填“递增”“递减”或“摆动”)

答案:递减探究五思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测数列与函数的关系【例5】

已知数列{an}的通项公式是

,试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.思路分析:探求数列的最大项可以通过作差或不等式组解决.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测反思感悟1.数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题.2.根据数列的特殊性,由于它的定义域是N+或它的有限子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.3.利用数列(函数)的单调性可以求数列中的最大(最小)项.一般常用方法为:探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练2数列{-2n2+29n+3}中的最大项为

.

解析:由已知得an=-2n2+29n+3=∵n∈N+,∴当n=7时,an取得最大值,即a7=108.答案:108探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测因未考虑到数列是一种特殊的函数而致误【典例】

已知在数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是(

)A.(-∞,2] B.(-∞,3)C.(-∞,2) D.(-∞,3]错解因为an是关于n的二次函数,其定义域为正整数集,故若{an}递增,则必有

≤1,故k≤2.故选A.正解an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.由于{an}单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,所以k<2n+1,故只需k<3即可.故选B.答案:B探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测纠错心得函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调,则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调.关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an+1与an的大小来判断:若an+1>an,则数列为递增数列;若an+1<an,则数列为递减数列.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练已知数列{an}是递增数列,且对任意n∈N+,都有an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是

(

)A.λ>0 B.λ<0C.λ≥-2 D.λ>-3解析:由题意知an+1>an,则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,即λ>-2n-1.∵n≥1,∴λ>-3.故选D.答案:D探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项(

)A.380 B.39 C.32 D.23解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).∵380=19×20=19×(19+1),∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.答案:A2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是(

)A.19 B.20 C.21 D.22解析:观察数列可得规律:1+1=2,1+2=3,2+3=5,……8+13=x=21,13+21=34,∴x=21,故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测答案:D探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测答案:14探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测2.1.2

数列的递推公式(选学)一二一、数列的递推公式【问题思考】

1.填空:如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.2.所有的数列都有递推公式吗?提示:递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.例如

精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.3.做一做:已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为(

)A.13 B.15 C.30 D.40答案:D一二二、通项公式与递推公式的区别与联系【问题思考】

一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)所有的数列都有递推公式.(

)(2)如果数列{an}满足,且a1>0,那么数列{an}是递增数列.(

)(3)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,且an=an-1-an-2(n≥3),则一定有a2017=a1.(

)(4)数列2,4,6,8,10,…的递推公式可以表示为an+1-an=2(n∈N+).(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)×探究一探究二思维辨析当堂检测由递推公式写出数列的项【例1】

已知数列{an}的第一项是2,且an=(n≥2),写出这个数列的前5项,你能说出这个数列有什么特点吗?思路分析:根据数列的第一项和递推公式,可依次求出a2,a3,a4,a5,然后再观察数列的特点.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟由递推公式写出数列的项的方法1.根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,然后依次代入计算即可.2.解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.3.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.探究一探究二思维辨析当堂检测由递推公式求通项公式【例2】

(1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的通项公式;(2)已知a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式.思路分析:递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.(1)解法一:(累加法)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.法二:(迭代法)an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1.探究一探究二思维辨析当堂检测又a1=1=20,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.法二:(迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1·a1=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟1.归纳法一般是根据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,有时易发生错误.2.累加法当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项公式an.3.累乘法如果递推关系可以变形为an+1=g(n)·an的形式,且g(n)能够求积,则可用累乘法求数列的通项公式.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测因没有对归纳的结论进行论证而致误【典例】

数列{an}满足a1=1,以后各项由an+1=an+2(2n3-12n2+22n-11)给出,写出这个数列的前4项,并写出其通项公式.错解a1=1,a2=3,a3=5,a4=7.由此猜想,这个数列是正奇数从小到大排成的,故an=2n-1.探究一探究二思维辨析当堂检测正解a2=a1+2(2×13-12×12+22×1-11),a3=a2+2(2×23-12×22+22×2-11),a4=a3+2(2×33-12×32+22×3-11),……an=an-1+2[2(n-1)3-12(n-1)2+22(n-1)-11],以上所有式子相加得an=n4-10n3+35n2-48n+23.纠错心得根据数列的递推公式求通项公式,可以先通过求出数列的前n项,再进行归纳猜想得出数列的通项公式,但这种方法虽然操作简单,但所得结论有失严谨,极易产生错误结论,本例中的错解便是例证.解决此类问题,若从根本上解决问题,只能从递推公式出发,推导出其等价的结构形式.以上的累加法就是求通项公式的一种常用方法.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测1.下列说法错误的是(

)A.递推公式也是数列的一种表示方法B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式解析:通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列,它也是给出数列的一种方法.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于(

)A.6 B.7C.8 D.9解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案:C3.一个数列{an}满足a1=1,a2=2,从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项,请写出构成这个数列的递推公式an=

.

解析:这个数列给出的方法是不同的,它是由前后项之间的关系确定的,只需要根据已知条件就可以直接列出关系式,要注意n的取值范围.答案:2an-1+an+1(n≥2)探究一探究二思维辨析当堂检测∵a1=2,∴an=2+ln

n.∵a1=2+ln

1=2,∴{an}的通项公式为2+ln

n.答案:2+lnn探究一探究二思维辨析当堂检测5.已知数列{an}分别满足下列条件,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1);解:(1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.探究一探究二思维辨析当堂检测2.2.1

等差数列一二三一、等差数列的概念【问题思考】

1.填空:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示.2.如何用定义来判断或证明数列{an}为等差数列?提示:定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤:(1)作差an+1-an,将差变形;(2)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.四一二三二、等差数列的通项公式【问题思考】

1.填空:如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d.知识拓展1.等差数列通项公式的其他形式.(1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b是常数).2.等差数列的判断方法.(1)定义法:an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d⇔数列{an}是等差数列;(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列;(3)通项公式法:an=an+b⇔数列{an}是以a1=a+b为首项,以a为公差的等差数列.2.要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?提示:因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d,所以要确定一个等差数列的通项公式,需要知道两个独立的条件.四一二三四三、等差中项【问题思考】

1.填空:如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.x,A,y是等差数列的充要条件是2A=x+y.提示:∵x,A,y成等差数列,∴A-x=y-A,答案:A四、等差数列的性质【问题思考】

1.填空:若数列{an}是公差为d的等差数列,(1)当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.一二三四一二三四(5)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=….(6)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.(7)下标成等差数列,且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.(8)若数列{bn}也为等差数列,则{an±bn}也成等差数列.一二三四2.做一做:(1)在等差数列{an}中,a2+a8=12,则a5等于

.

(2)在等差数列{an}中,若a5+a9=13,a2=7,则a12等于

.

答案:(1)6

(2)6一二三四思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)若一个数列每一项与前一项的差都是常数,则该数列为等差数列.(

)(2)数列an=3n+1的递推公式可以写成a1=4,a2=7,2an=an-1+an+1(n≥2).(

)(3)在等差数列{an}中,若有am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q成立.(

)(4)决定一个等差数列是递增数列的条件是首项a1>0,且公差d>0.(

)(5)等差数列的通项公式an=f(n)一定为关于n的一次函数.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测等差数列的判定或证明【例1】

已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是不是等差数列?思路分析:可以利用a1和d写出bn的通项公式,也可以直接利用定义判断bn+1-bn是不是常数.解法一:由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.由于bn是关于n的一次函数(或常函数,当d=0时),故{bn}是等差数列.法二:根据题意,知bn+1=3an+1+4,则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数).由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n,试证明数列{an}为等差数列.证明:∵an=10+lg

2n=10+nlg

2,∴an+1-an=[10+(n+1)lg

2]-(10+nlg

2)=lg

2(n∈N+),∴数列{an}为首项a1=10+lg

2,公差为lg

2的等差数列.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测等差数列的通项公式及应用【例2】

在等差数列{an}中,已知a4=70,a21=-100,求出数列的首项a1与公差d,并写出通项公式.解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,解得a1=100,d=-10,所以通项公式an=100-10(n-1)=-10n+110.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.等差数列通项公式的求法(1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.(2)等差数列通项公式的另两种形式:①an=am+(n-m)d;②an=pn+q(p,q是常数).2.方程思想的应用等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.若本例中条件不变,问{an}中有多少项属于区间[-18,18]?解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,所以an=-10n+110,令-18≤-10n+110≤18.解得9.2≤n≤12.8.又因为n∈N+,所以n=10,11,12,即属于区间[-18,18]的项有3项,它们是a10,a11,a12.2.若将本例中“a21=-100”改为“a19=100”,其他条件不变,结果如何?解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,所以通项公式an=64+2(n-1)=2n+62.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测等差数列性质的应用【例3】

(1)在等差数列{an}中,已知a1,a2018为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2017等于(

)A.10 B.15 C.20 D.40(2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=

.

解析:(1)根据韦达定理及等差数列的性质可得a2+a2

017=a1+a2

018=10.(2)因为数列{an}是等差数列,所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.答案:(1)A

(2)20反思感悟等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:若{an}为等差数列,则(1)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时,总有am+an=ap+aq;(2)当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,总有am+an=2ak.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=

.

解析:因为{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.答案:35探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测构造等差数列求通项公式

思路分析:若利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求an.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟一般给出数列的递推公式求通项公式时,要根据递推公式的结构特点灵活地应用“平方法”“开方法”“取倒数法”等,往往会构造出一个新数列满足等差数列的条件.从而利用新数列的通项公式,间接求出所求数列的通项公式.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n+1(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式为

.

探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测因未考虑到角标的不一致性而致误【典例】

已知两个等差数列{an}:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?错解已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为an=3n+2,bn=4n-1(1≤n≤100).令an=bn,得3n+2=4n-1,即n=3.所以两数列只有1个数值相同的项,即第3项.正解因为an=3n+2(n∈N+),bk=4k-1(k∈N+),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,所以n=k-1.而n∈N+,k∈N+,所以可设k=3r(r∈N+),得n=4r-1.可得1≤r≤25.所以共有25个相同数值的项.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测纠错心得判断两个等差数列中具有相同数值的项,一般转化为方程的整数解问题,但要注意,数值相同的项的序号不一定相同,因此方程中需要引入两个互不干扰的未知数才行.对于本题而言,数值相同的项,它们的项的序号并不一定相同.例如23在数列{an}中是第7项,而在数列{bn}中是第6项,我们也说它是两个数列中数值相同的项,也就是说,在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过,而并不关心它是这两个数列中的第几项.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(

)A.2 B.3 C.6 D.9答案:B2.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8的值为(

)A.24 B.22 C.20 D.-8答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=

.

解析:在等差数列{an}中,a3=7,a5-a2=6,∴3d=6.∴a6=a3+3d=7+6=13.答案:134.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=

.

探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:∵a2,b2,c2成等差数列,∴2b2=a2+c2.2.2.2

等差数列的前n项和一二三一、等差数列的前n项和公式【问题思考】

1.填空:2.如何选用上述两个公式进行求和?四一二三四3.做一做:(1)在等差数列{an}中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于(

)A.30 B.40 C.50 D.60(2)已知等差数列{an}中,a1=-5,d=3,则S8=(

)A.44 B.40 C.15 D.5答案:(1)C

(2)A一二三四二、等差数列的前n项和公式与函数的关系【问题思考】

1.填空:因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值.一二三四2.从函数的角度认识等差数列的前n项和,你有何新发现?一二三四3.做一做:在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为

.

解析:由题意知当d<0时,Sn存在最大值,∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大.又当且仅当n=8时,Sn取最大值,一二三四三、等差数列前n项和的性质【问题思考】

1.填空:等差数列的依次连续每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…成等差数列.解法一:利用等差数列的性质,一二三四四、有关等差数列中奇数项和、偶数项和的问题【问题思考】

1.填空:一二三四一二三四2.做一做:一个等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2,则公差d等于

.

一二三四思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)公式an=Sn-Sn-1对任意的n∈N+均成立.(

)(2)等差数列的前n项和一定是关于n的二次函数.(

)(3)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列

为等差数列.(

)(4)在等差数列{an}中,若a1<0,d>0,则该数列的前n项和存在最大值.(

)(5)若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c,则该数列一定不是等差数列.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列的前n项和公式的直接应用【例1】

在等差数列{an}中,(1)已知a10=30,a20=50,Sn=242,求n;(2)已知S8=24,S12=84,求a1和d;(3)已知a6=20,S5=10,求a8和S8;(4)已知a16=3,求S31.思路分析:在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练1设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=

.

解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,答案:54探究一探究二探究三一题多解当堂检测Sn与an的关系问题【例2】

(1)若数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a4=(

)A.7 B.8 C.9 D.17(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n,则数列{an}的通项公式为

.

(3)已知{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn=an,则{an}的通项公式为

.

解析:(1)a4=S4-S3=(42-1)-(32-1)=7.(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+5n-[3(n-1)2+5(n-1)]=6n+2,当n=1时,a1=S1=8适合上式,所以an=6n+2.(n∈N+)探究一探究二探究三一题多解当堂检测(3)由已知2Sn=(n+1)an,∴2Sn-1=nan-1(n≥2),两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1,即(n-1)an=nan-1,以上各式相乘可得an=na1=n(n≥2).又a1=1也适合上式,∴an=n(n∈N+).答案:(1)A

(2)an=6n+2(n∈N+)

(3)an=n(n∈N+)探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟1.如果知道了数列{an}的前n项和Sn,可由公式

来求解{an}的通项公式,求解时注意要分类讨论,对n=1的情况进行验证,能写成统一的形式就将a1合进来,否则保留分段函数形式.2.如果给出的已知条件是含有Sn与an的递推关系,也往往利用Sn-Sn-1=an(n≥2)来转化.探究一探究二探究三一题多解当堂检测1.将本例2(2)中的“Sn=3n2+5n”改为“Sn=3n2+5n-2”结果又如何?解析:当n=1时,a1=S1=6.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+5n-2)-[3(n-1)2+5(n-1)-2]=6n+2.当n=1时,a1=6不适合an=6n+2.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列前n项和的性质的应用【例3】

(1)等差数列{an}中共有3m项,前2m项的和为100,后2m项的和为200,求中间m项的和.(2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.思路分析:(1)本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的应用.(2)已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.探究一探究二探究三一题多解当堂检测解:(1)法一:由已知得

探究一探究二探究三一题多解当堂检测(2)设等差数列{an}共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.∴2n+1=7.又S奇=(n+1)·an+1=44,∴an+1=11.故这个数列的中间项为11,共有7项.探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟等差数列前n项和的性质主要有以下两类:(1)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列;(2)在等差数列{an}中,①若项数为2n+1(n∈N+),则

,其中S奇=(n+1)an+1,S偶=n·an+1;②若数列项数为2n(n∈N+),则S偶-S奇=nd.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练2(1)已知某等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)A.5 B.4 C.3 D.2(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(

)A.130 B.170 C.210 D.260(2)令m=1,则Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,则有a1=30,a2=70,d=40,则a3=110,故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.答案:(1)C

(2)C探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列前n项和的最值问题【典例】

在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项.解法一:由S17=S9,得探究一探究二探究三一题多解当堂检测∴当n=13时,Sn有最大值169.法三:先求出d=-2(同法一).由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.故n=13时,Sn有最大值169.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测方法点睛解等差数列的前n项和最大(最小)值问题的常用方法有:(1)二次函数法:由于

是关于n的二次式,因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值,但要注意这里的n∈N+.(2)图象法:可利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn达到最大(或最小).(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an≥0时,Sn≥Sn-1;当an≤0时,Sn≤Sn-1,因此当a1>0,且d<0时,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;当a1<0,d>0时,满足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使{an}的前n项和Sn最大,n的值为(

)A.5 B.6 C.5或6 D.6或7解析:由已知得a3>0,a9<0,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0,∴S5=S6,故使{an}的前n项和Sn最大,n的值为5或6.答案:C探究一探究二探究三一题多解当堂检测1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值为(

)A.55 B.95 C.100 D.不能确定答案:B2.在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11=(

)A.24 B.48 C.66 D.132解析:由a9=a12+6,得2a9-a12=12.由等差数列的性质得,a6+a12-a12=12,a6=12,答案:D探究一探究二探究三一题多解当堂检测3.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则(

)A.S4<S5 B.S4=S5

C.S6<S5 D.S6=S5解析:法一:设该等差数列的首项为a1,公差为d,从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.从而有S4=S5.法二:由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,从而有S4=S5.答案:B探究一探究二探究三一题多解当堂检测4.设数列{an}的前n项和为Sn=2-2·3n,则通项公式an=

.

解析:当n=1时,a1=S1=2-2×31=-4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-2·3n)-(2-2·3n-1)=-4·3n-1.此时对n=1,有a1=-4×31-1=-4,也适合an=-4·3n-1.综上,对n∈N+,an=-4·3n-1.答案:-4·3n-15.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,习题课——等差数列习题课一二一、等差数列的概念【问题思考】

填空:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.一二二、等差数列的前n项和公式【问题思考】

1.填空:一二2.如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗?只有当c=0时,a1=a+b+c才满足an=2an-a+b.因此,当数列的前n项和公式为Sn=an2+bn时,所确定的数列才是等差数列,这时,等差数列的公差d=2a.一二3.做一做:设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=

.

解析:由S10=S11,得a11=0,即a1+10d=0,由于d=-2,所以a1=20.答案:20探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测等差数列的基本运算【例1】

(1)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则a1+a2+…+a17=

.(2)已知数列{an}中,a1=-7,a2=3,an+2=an+2,则S100=

.

解析:(1)由a1=-7,an+1=an+2,得an+1-an=2,则a1,a2,…,a17是以-7为首项,公差为2的等差数列,(2)由a1=-7,an+2=an+2,可得an+2-an=2,故a1,a3,a5,a7,…,a99是以-7为首项,公差为2的等差数列,共50项.同理,a2,a4,a6,…,a100是以3为首项,公差为2的等差数列,共50项.故S100=2100+2600=4700.答案:(1)153

(2)4700探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测反思感悟由等差数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,d,n,an,Sn中的三个便可求出其余的两个,即“知三求二”,“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解.这种求解思路常称为“基本量法”.探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测已知Sn求an【例2】

已知数列{an}中,an>0,Sn是数列{an}的前n项和,且an+=2Sn,求an.思路分析:由条件中的等式赋值n=1,即可求得a1;由an=Sn-Sn-1(n≥2)这一关系可得出数列中项之间的关系,即可求得an(n≥2),再验证当n=1时a1是否成立.探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测反思感悟an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N+都成立,而只对n≥2的正整数成立.由Sn求通项公式an时,要分n=1和n≥2两种情况,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测特殊数列的求和问题【例3】已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;思路分析:(1)设出公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)先由(1)求出bn的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测解:(1)设等差数列{an}的公差为d,探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测反思感悟1.等差数列各项取绝对值后组成的数列{|an|}的前n项和,可分为以下情形:(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.(2)在等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.(3)在等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列{an}分成两段处理.探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测变式训练3在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测等差数列前n项和中的最值问题【例4】

已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项和,S10=S22.(1)求Sn;(2)这个数列前多少项的和最大?求出这个最大值.解:(1)∵S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22,探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测等差数列中的给和求和问题【典例】

等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28.解法一:设{an}的公差为d,探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测方法点睛解决此类问题最基本的方法是用定义法求出a1和d,此种方法应熟练掌握,但结合题意灵活应用等差数列的性质探寻其他解法,可以开阔思路.有时可以省去繁杂的运算,应重点关注解法一和解法四.探究一探究二探究三探究四一题多解当堂检测变式训练已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=1,S30=5,则S40=(

)A.7 B.8 C.9 D.10解析:根据等差数列的性质知,S10,S20