新教材高中数学第三章函数的概念与性质32函数的基本性质322函数的奇偶性课件湘教版必修第一册

3．2.2函数的奇偶性新知初探课前预习题型探究课堂解透新知初探课前预习最新课程标准结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义学科核心素养1.了解函数奇偶性的概念．(数学抽象)2．会利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(逻辑推理)3．会利用奇、偶函数的图象．(直观想象)4．能利用函数的奇偶性解决简单问题．(逻辑推理)教材要点要点1．偶函数的概念如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝________成立，则称F(x)为偶函数．2．奇函数的概念如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝________成立，则称F(x)为奇函数．F(x)－F(x)3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．原点y轴状元随笔奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知f(x)是定义在R上的函数．若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(

)(2)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数．(

)(3)f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.(

)(4)一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数．(

)××

×

√

答案：C解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C.3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(

)A．－2B．2C．0D．不能确定答案：B解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.故选B.4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)(2)(4)(1)(3)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．题型探究课堂解透

方法归纳判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，且f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称．

ACA

题型2函数奇偶性的图象特征例2

已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已知画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象．(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间．(3)根据图象写出使y＝f(x)＜0的x的取值范围．

方法归纳1．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．跟踪训练2

设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是__________________．{x|－2<x<0或2<x≤5}解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．

BC

方法归纳1．已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．(2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值．(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．角度2利用函数的奇偶性求函数值例4

(1)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，则f(1)＋g(1)＝(

)A．－2B．－1C．1D．2(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋3，且f(－2)＝10，则函数f(2)的值是________．D－4解析：(1)∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，由－x代入x得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋2由题意知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋2，所以f(1)＋g(1)＝－1＋1＋2＝2.故选D.(2)令g(x)＝ax3＋bx∵g(－x)＝a(－x3)＋b(－x)＝－ax3－bx＝－(ax3＋bx)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．∴f(－x)＝g(－x)＋3＝－g(x)＋3，∴g(2)＝－7，∴f(2)＝g(2)＋3＝－7＋3＝－4.方法归纳利用函数的奇偶性求函数值的方法已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值．角度3利用函数的奇偶性求函数解析式例5

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝x(x－1)，求f(x)．

方法归纳利用奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可．具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)将－x代入已知区间上的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出对应区间上的f(x)．

答案：(1)B

(2)见解析

方法归纳利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．

－1

(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝________，b＝________．(3)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________．

0－26

a>c>b

答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视了函数的定义域，直接利用函数奇偶性的定义判断，错选了C.根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)判断函数的奇偶性．若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数．

答案：AD

答案：A

答案：D

1解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(x－1)，求函数f(x)的解析式．

抽象函数

没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．题型1抽象函数的定义域(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围．(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围．(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同．例1已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．思路分析：由f(x)的定义域为[0，1]可知对应关系f作用的范围为[0，1]，而f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x＋m，x－m都在[0，1]这个区间内，从而使f(x＋m)＋f(x－m)有意义．

题型2抽象函数的奇偶性对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．其解题策略为(1)要善于对所给的关系式进行赋值．(2)变形要有目的性，要以“f(－x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形．例2函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．题型3抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性，通常利用单调性的定义，但要注意充分运用所给条件，判断出函数值之间的关系．常见思路：先在所证区间上任取两数x1，x2(x1＜x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．

解析：(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域关于原点对称．∵对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1x2)＝f(