切线长定理 省赛获奖

切线长定理OPAB1.性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.2.判定定理过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线CDB●OA知识回顾和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.ABC●I如果四边形的四条边都与一个圆相切,这圆叫做四边形的内切圆.这个四边形叫做圆的外切四边形.●OABCD知识回顾O过直线外一点画圆的直线，你能画出几条？试试看。PABOPAB议一议如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由。（一）、切线长定义1、切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.2、剖析定义：①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。OPAB3、在图形中辨别：

（1）已知：如图，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）（2）如图，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？OPAB（3）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？OPAB（二）、切线长定理1、探索问题：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类。OPAB2、得出定理：切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。OPABOPAB已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。求证：PA=PB，PO平分∠APB证明：连接OA、OB∵PA、PB是⊙O的切线∴∠PAO=∠PBO=90°在Rt△POA和Rt△POB中∵OA=OB，OP=OP∴Rt△POA≌Rt△POB∴PA=PB,PO平分∠APB∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B）∴PA=PB.用符号语言表示定理：OPAB(3)切线和切线长区别。切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段的长度，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离。OPAB4、拓展：（1）下图是轴对称图形吗？连结图中的两个切点AB交OP于点C，又能得出什么结论？答：是轴对称图形，连接AB，结论成立。（1）△PAB是一个等腰三角形，并且存在等腰三角形的三线合一定理.（2）AB⊥OP，出现了圆的垂径定理.OPABC（2）已知⊙O的两条切线互相平行，A、B两点为切点，如果连接两切点AB，则AB是⊙O的直径吗？CD（3）如图，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图中存在切线长定理吗？.存在ABCDEF（三）圆的外切四边形的性质请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.HEFG例1：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径。解法1：连接OD，OE，OF，设OD=r在Rt△ABC中，AC=10，BC=24∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于D,E,F∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF连接OA，OB，OC又∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO∴r=4即⊙O半径为4例1：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径。解法2：连接OD，OE，OF，设OD=r在Rt△ABC中，AC=10，BC=24∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于D,E,F∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BE=BD，AF=AD，CE=CF又∵∠C=90°∴四边形OECF为正方形∴EC=FC=r∴BE=24-r,AF=10-r∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r=26∴r=4即⊙O半径为4变式1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。(知识技能2)变式2：如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O切于A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C，PA=PB=5cm，求△PDE的周长。(知识技能1)OABDCEP随堂练习已知O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过P作O的两条切线，求这两条切线的长。OPAB知识技能33.如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA和PB，点A、点B为切点，∠P=40°，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE，BD＝AF，求∠EDF。12345数学理解44.如图，有一张四边形ABCD纸片，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，且∠B=90°（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能，请你度量出圆的半径。（2）计算出最大的圆形纸片的半径。ABCDOE这节课有何收获？！你2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.课堂小结1.切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.3.切线是到圆心距离等于圆的半径的直线4.圆的外切四边形的两组对边的和相等.OPAB三、应用新知，体验成功1、填空：如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO=

；（2）若PO=10，AO=6，则PB=

；（3）若PA=4，AO=3，则PO=

；PD=

；58