山西省太原五中2023届高三4月月考数学理试题

1/1山西省太原五中2023届高三4月月考数学理试题太原五中

2022-2023年学年度其次学期月考(4月)

高三数学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

留意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码精确     粘贴在条形码区域内；

2．选择题必需用2B铅笔填涂；非选择题必需使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰；

3．请根据题号挨次在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑；

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R为全集，{|(1)(2)0}Axxx=-+≤,则RCA=（）（A）{|21}xxx或（B）{|21}xxx≤-≥或（C）{|21}xx-取得最小值，则函数34yfxπ??

=-

???

是

79

8638

939884151031114

（）

A.奇函数且图像关于点,02π??

???

对称B.偶函数且图像关于点,0π对称C.奇函数且图像关于直线2

xπ

=

对称D.偶函数且图像关于点,02π??

???

对称7.设G为△ABC的重心，且0sinsinsin=?+?+?GCCGBBGAA，则B的大小为（）A．450B．600C．300D．150

8．左图是某高三同学进入高中三年来的数学考试成果的茎叶图，图中第1次到14次的考试成果依次记为1214,,

,.AAA右图是统计茎叶图中成果在肯定范围内考试次数的一个算法流

程图。那么算法流程图输出的结果是（）A．7

B．8

C．9

D．10

9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不行能是（）（A）1（B）1.5（C）2（D）3

10.2013年第12届全国运动会进行期间，某校4名高校生申请当A，B，C三个竞赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个竞赛项目至少安排一人，每人只能服务一个竞赛项目，若甲要求不去

服务A竞赛项目，则不同的支配方案共有（）

11.

已知F1、F2分别是双曲线122

22=-b

yax的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点.

主视图左视图俯视图

2

（第9题图）

若

aPFPF8|

|||22

1=，则双曲线离心率的取值范围是（）A.(1,2]B.[2+∞)C.(1,3]D.[3，+∞)

12.已知数列{}na满意：nnnaaaa+==+2

11,2

，则11112023321++++++++aaaa的值所在区间是（）

A.)1,0(

B.)2,1(

C.)3,2(

D.)4,3(

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。13.设?

=

π

sinxdxa，则二项式6)1(x

xa-

的绽开式中的常数项等于.

14.设实数x，y满意约束条件2220,

20,220,xyxyxyxy?-≤?

-≥??+--≤?

，则目标函数zxy=+的最大值

为.

15.在等比数列{}na中，若tsr,,是互不相等的正整数，则有等式1=??rtstsrs

rt

aaa成立.

类比上述性质，相应地，在等差数列{}nb中,若tsr,,是互不相等的正整数，则有等式________成立.

16.已知x∈R,用符号x表示不超过x的最大整数。函数(0)xfxa

xx

=-≠有且仅有3

个零点，则a的取值范围是__________.

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在?ABC

中，ABC∠∠∠，，所对边分别为abc、、，且满意

25

cos

25

A=.6=+cb3.A

BA

C?=（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求

A

CBA2cos1)

4sin4sin(2-+++π

π的值.

18．（本小题满分12分）

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象消失增多，大气污染危害加重．大气污染可引起

P

A

BCD

心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对

患心肺疾病不患心肺疾病合计男5

女10

合计50

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为

5

．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列，数学期望以及方差．

2

PKk

≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（参考公式

2

2

nadbc

K

abcdacbd

-

=

++++

其中nabcd

=+++）

19．（本小题满分12分）

如图：四棱锥PABCD

-中，

PAAD

⊥,

1

3

2

ADBC

==5

PC=

．AD∥BC，

ABAC

=．150

BAD

∠=?30

PDA

∠=?．（Ⅰ）证明:PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于1

4

，若存

在，指出F点位置，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆E：)0(122

22>>=+bab

yax的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E

相交于A，B两点，且22=+BFAF，AB最小值为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若圆:3

2

2

2

=

+yx的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数2

122

fxaxx=+，

gxlnx=.(1)设函数)(xgxfxF-=，求函数)(xF的单调区间；

(2)是否存在实数0a>，使得方程(21)gxfxax'=-+在区间1

(,)ee

内有且只有两个不

相等的实数根？若存在，恳求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做第一题记分。22.（本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图,ABC?内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过点A的直线,且

ABCPAC∠=∠.

(1)求证:PA是⊙O的切线;

(2)假如弦CD交AB于点E,8=AC,

5:6:=EDCE,3:2:=EBAE,求直径AB的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线C的极坐标方程为θρcos4=，直线l的参数方程是：???

????+=+-=tytx225225（t为参数）.

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线l的一般方程；（Ⅱ）将曲线C横坐标缩短为原来的2

1

，再向左平移1个单位，得到曲线1C，求曲线1C上的点到直线l距离的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式|2|||2(0)axaxaa-+-≥>．（Ⅰ）当1a=时，求此不等式的解集；

（Ⅱ）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

一、CCBBDCBDDBCB

二、13.-16014.415.(r－s)bt＋(s－t)br＋(t－r)bs＝0

16.3/417.解：（I）

25cos

25A=∴23cos2cos125

AA=-=1分又

3,ABAC?=即cos3bcA=∴5bc=3分

又6bc+=∴51bc=??=?或1

5bc=??=?

由余弦定理得222

2cos20abcbcA=+-=∴25a=6分

（II）

A

CBA2cos1)

4sin4sin(2-+++π

π=

2sinsin

441cos2AAA

ππ

π+-+-=

2sinsin

441cos2AAA

ππ

+--8分=cos21cos2A

A

-

-

10分

3cos5A=∴27cos22cos125AA=-=-∴原式=77

25732125

-

-=+

12分

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计男20525女101525合计

30

20

50

（Ⅱ）解：由于2

nadbcKabcdacbd-=++++，所以28.333K≈

又2

(7.789)0.0050.5%Pk≥==．

那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．……4分

（Ⅲ）解：ξ的全部可能取值：0，1，2，3

37310357

(0)12024CPCξ====；

12373

106321

(1)12040CCPCξ?====；21373

10217

(2)12040

CCPCξ?====；333101

(3)120

CPCξ===

；………7分分布列如下：………8分

ξ

0123

P

72421407401120

则721719

012324404012023Eξ=?+?+?+?=

2222979219791

(0)(1)(2)(3)10241040104010120Dξ=-?+-?+-?+-?

49100

Dξ=ξ的数学期望及方差分别为910

Eξ=，49

100

Dξ=

………10分低碳生活，节能减排，掌握污染源，掌握排放．（回答基本正确就得分）…12分

19．（Ⅰ）证明：取线段BC中点E，连结AE．

由于3AD=30PDA∠=?所以1PA=……1分由于AD∥BC，150BAD∠=?所以30B∠=?，……2分又由于ABAC=，所以AE⊥BC，而23BC=所以230

BE

ACABcos?

==

=．……4分由于5PC=，所以2

2

2

PCPAAC=+即PAAC⊥由于PAAD⊥，且AD

ACA=

所以PA⊥平面ABCD……6分（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以,,AEADAP

所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系如图所示：则,,,PBCD四点坐标分别为：

(0,0,1)P；(1,3,0)B；3,0)C；3,0)D……8分

设111(,,)Fxyz；平面PBC的法向量(,,)uxyz=．

由于点F在线段PD上，所以假设PFPDλ=，所以111

031xyzλλ=??

=??=-?(01)λ-+=?=-+++mkmkmxxk令2211,,,yxQyxP，

2

21214kkm

xx+-=

+①22212122kmxx+-=②2

222

2121221212k

kmmxxkmxxkyy+-=+++=③10分0212

2321221222

22222222121=+--=+-++-=+=?kkmkkmkmyyxx

∴OQOP⊥12分

2.(本小题满分12分)

解