一元二次方程应用题专题讲练课件

数字与方程1.两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.快乐学习1[例2]

三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.

1、偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为(x

1)和(x

1).2、奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为(x

2)和(x+2)又如三个连续自然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数分别为(x

1)和(x

1).解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为(x

2)和(x

2),根据题意，得(x

2)2+(x

2)2

x2

332整理，得x2

324

x

18当x

18时，x

2

16,x

2

20；当x=

18时，x

2=

20,x

2

16.答：这三个连续偶数分别为16、18和20，或

20、

18和

16.

[例3]

一个两位数等于其各位数字之积的3倍，且其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.

解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为（x

2），根据题意，得10x

(x

2)

3x(x

2)整理，得3x2

5x

2

0解得∵不合题意，舍去；∴x

2,10x

(x

2)

24.答：这个两位数为24.（1）十位数字为a，个位数字为b的两位数是10a

b;（2）百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三位数是100a

10b

c.数字与方程3.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.快乐学习3数字与方程4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.快乐学习4例题解析1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?解:设苗圃的一边长为xm,则另一边长（18-x）m，依题意得答:应围成一个边长为9米的正方形.2、用20cm长的铁丝能否折成面积30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.解:设这个矩形的长为xcm,则宽为cm,依题意得即x2-10x+30=0这里a=1,b=－10,c=30,∴此方程无解.答：用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.

在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。XX30cm20cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5当x=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm探究1分析:本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积

要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)2721分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得解得故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:探究2

要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?2721分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得(以下同学们自己完成)方程的哪个根合乎实际意义?为什么?学校课外生物小组的实验园地是一块长40米，宽26米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为864平方米，求小道的宽？

解设小道的宽为x

米。根据题意得:(40－2x)(26－x)=864（不合题意，舍去）答：小道的宽为2米。小道小道26404026探究3

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.补充例题与练习(1)(2)(1)解:(1)如图，设道路的宽为x米，则化简得，其中的x=25超出了原矩形的宽，应舍去.∴图(1)中道路的宽为1米.则横向的路面面积为

，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、如图，设道路的宽为x米，32x米2纵向的路面面积为

。20x米2注意：这两个面积的重叠部分是x2

米2所列的方程是不是？图中的道路面积不是米2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是米2所以正确的方程是：化简得，其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：

=100(米2)草坪面积==540（米2）答：所求道路的宽为2米。解法二：

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）(2)(2)横向路面

，如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为

。20x米2草坪矩形的长（横向）为

，草坪矩形的宽（纵向）

。相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。练习：2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.ABCD解:设小路宽为x米，则化简得，答:小路的宽为3米.例3、求截去的正方形的边长用一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm２，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少cm？求截去的正方形边长解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得

(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解这个方程，得：x1=5,x2=19经检验：x2＝19不合题意，舍去．所以截去的正方形边长为５cm.例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总造价是8640元,求池底的边长.分析:池底的造价+池壁的造价=总造价解:设池底的边长是xm.根据题意得:解方程得:∵池底的边长不能为负数,∴取x=4答:池底的边长是4m.列一元二次方程解应题6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层?解:要放x层,则每一层放(1+x)

支铅笔.得x(1+x)=190×2

X＋X－380＝0解得X1＝19，

X2＝－20(不合题意)答:要放19层.2例4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？补充例题与练习分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．练习：5、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽.

几何与方程快乐学习66.一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,求两条直角边长度.几何与方程7.一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.快乐学习7201515+2x20+2x几何与方程8.如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.快乐学习3例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿PBQ的面积等于8cm2？解：设x秒后⊿PBQ的面积等于8cm2根据题意，得整理，得解这个方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm211.某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶200m需要多长时间?运动与方程开启智慧例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?……被传染人被传染人……被传染人被传染人…………xx开始传染源1被传染人被传染人则第一轮的传染源有

人，有

人被传染，x设每轮传染中平均一个人传染了x个人，开始传染源被传染人被传染人……x第二轮的传染源有

人，有

人被传染.

1xx+1x(x+1)例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：（3）如何理解经过两轮传染后共有121人患了流感？传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染数的总和是121人.例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：（4）如何利用已知数量关系列出方程，并解方程得出结论?解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.1+x+x(1+x)=121答:平均一个人传染了10个人.10-12(不符题意，舍去)列一元二次方程解应用题的一般步骤：第一步：审题，明确已知和未知；第二步：找相等关系；第三步：设元，列方程，并解方程；第五步：作答.第四步：检验根的合理性；(5)如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?121+121×10=1331人（6）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？x+1第三轮的传染源有

人，有

人被传染，共有

人患流感？x+1

+x(x+1)第二轮的传染源有

人，有

人被传染，共有

人患流感？第一轮的传染源有

人，有

人被传染，共有

人患流感？

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，1xx(x+1)x+1x+1

+x(x+1)〔x+1

+x(x+1)〕x+〔x+1

+x(x+1)〕xx+1

+x(x+1)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则

1+x+x·x=91

x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.2：甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？解：设每天平均一个人传染了x人。解得：（舍去）

或答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感既课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+a(1+10%)X10%=a（1+10%）2a（1+10%）课前热身2：某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为50(1+x)2=72

可化为：解得：答：二月、三月平均每月的增长率是20%例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增长21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析：a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增长的百分率为10%

．13.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?增长率与方程开启智慧14.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?增长率与方程开启智慧17.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了120000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少?开启智慧增长率与方程

1、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头二十年（2001年至2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的平均增长率为x，那么x满足的方程为_____________

相信自己(1+x)2=4

2、某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值达175亿元，问二、三月份平均每月的增长率为多少？设平均每月增长率为x，根据题意得方程：________________________

相信自己50+50(1+x)+50(1+x)2=175小结类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为其中增长取+,降低取－小结1、平均增长（降低）率公式2、注意：（1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般般用直接开平方法练习:1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720

D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为

.B18.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?开启智慧美满生活与方程19.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少?(精确到0.01%).开启智慧美满生活与方程

20.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?开启智慧经济效益与方程我也参与商场竟争2.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价多少元?源于生活,服务于生活我是商场经理例2新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?例题欣赏1我是商场经理例2新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?例题欣赏2我是商场精英1.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进台灯多少个?源于生活,服务于生活销售问题21.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?源于生活,服务于生活

22.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?开启智慧销售问题回味无穷小结拓展列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:找出相等关系.关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)知识的升华独立作业根据题意，列出方程：1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图。如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%。那么金边的宽应是多少？解：设金边的宽为xcm，根据题意得即x2+65x-350＝0.解这个方程,得x1

＝5;x2

＝-70(不合题意,舍去).答:金链的宽应是5cm.5xx

xx

（8－2x）（5－2x）8

镜框有多宽?

一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为18m2，则花边多宽?解：设镜框的宽为xm

，则镜框中央长方形图案的长为

m,

宽为

m,得

（8－2x）（5－2x）１８m2例1.