高考数学一轮总复习课件第2章函数导数及其应用第十讲变化率与导数导数的运算（含解析）

第十讲变化率与导数、导数的运算课标要求考情分析1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.通过函数图象直观理解导数的几何意义.1.从考查内容上看，导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查.课标要求考情分析3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数[限于形如

f(ax＋b)]的导数.会使用导数公式2.题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度(续表)1.函数导数的定义

2.导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

(2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的路程随时间变化的规律是s＝s(t)，那么该物体在t0时刻的瞬时速度为v＝s′(t0)；②如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在t0时刻的瞬时加速度为a＝v′(t0).基本初等函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝ex3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln

af(x)＝lnxf(x)＝logax(a>0，a≠1)(续表)4.导数的运算法则5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.题组一走出误区1.(多选题)下列结论错误的是()

A.在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同 B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线答案：ABC题组二走进教材2.(教材改编题)曲线

y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与)B.－3D.15y轴交点的纵坐标是( A.－9 C.9

答案：C

3.(教材改编题)(一题两空)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝_____m/s，加速度a＝_____m/s2.答案：－9.8t＋6.5－9.8题组三真题展现答案：1答案：5x－y＋2＝0考点一导数的运算1.(多选题)(2021年襄城月考)下列各式正确的是()答案：BC2.设f(x)在x0

处可导，下列式子与f′(x0)相等的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③④所以①③正确.故选B.答案：B答案：D【题后反思】导数的运算

(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.

(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.

考点二导数的几何意义考向1求切线方程[例1]设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y＝－2xC.y＝2xB.y＝－xD.y＝x

解析：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.答案：D考向2求切点坐标答案：A答案：(1,1)考向3求参数的值或取值范围[例3](1)函数

f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y)＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( A.(－∞，2]

C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)解析：由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.当直线2x－y＝0就是f(x)＝lnx＋ax的切线时，设切点坐标为(m，lnm＋am)，答案：B答案：－8【题后反思】

(1)求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.

(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1【考法全练】1.(考向1,3)(2019年全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln

x在)点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1解析：y′＝aex＋ln

x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，故选D.答案：D∴a＝e－1.将(1,1)代入y＝2x＋b得2＋b＝1，b＝－1.D正确.2.(考向1)(2020年全国Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为___________.答案：y＝2x答案：2⊙两曲线的公共切线问题[例4]若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝()A.1C.1－ln2

1B. 2D.1－2ln2答案：C【高分训练】答案：D2.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.

在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.

②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12